con una ecuaci´on lineal de orden n cuyo polinomio caracter´ıstico es p(λ) = det(A − λI).
3. Los teoremas de existencia y unicidad
En esta secci´on demostraremos la existencia y unicidad de soluci´on para un sistema lineal de ecuaciones de primer orden.
Teorema 5.1 (Existencia y Unicidad, caso lineal). Sea I un inter- valo cerrado y acotado. Si A ∈ C(I)m×m y B ∈ C(I)m, entonces dados
X0 ∈ Rm y t0 ∈ I, existe una ´unica soluci´on X ∈ C1(I)m del sistema
lineal
X′(t) = A(t)X(t) + B(t), t ∈ I
X(t0) = X0.
Entre las consecuencias m´as relevantes mencionamos las siguientes: 1. De aqu´ı se obtiene inmediatamente el Teorema 3.1, que da la exis- tencia y unicidad de soluci´on para la EDO lineal de orden n gracias a la identificaci´on presentada en el Cap´ıtulo 3.
2. La ´unica soluci´on de un sistema homog´eneo con condici´on inicial nula es la funci´on nula.
3. Si dos soluciones X e Y coinciden en un punto, entonces coinci- den en todo el intervalo. Esto dice que los gr´aficos de dos soluciones distintas no se cruzan, propiedad que se conoce como determinismo. Esto se debe a que si X(t1) = Y (t1) entonces la diferencia X − Y es
soluci´on de un sistema homog´eneo con condici´on inicial nula y por lo tanto X(t) = Y (t) para todo t.
4. Si A o B son continuas por pedazos, el Teorema 5.1 sigue siendo cierto, salvo porque X′ es s´olo continua por pedazos (se suele decir que
X es C1 por pedazos).
5. El Teorema es v´alido para cualquier tipo de intervalo. M´as aun, si A ∈ C(R)m×m y B ∈ C(R)m, entonces la soluci´on X queda definida en
todo R.
Veremos en realidad la existencia y unicidad de soluci´on en un con- texto m´as amplio que el de los sistemas lineales, en la l´ınea de los teoremas 1.1 y 1.2 (ver Teoremas 5.2 y 5.4).
112 5. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
Dada una matriz A = (aij) de tama˜no m × p, definimos su norma
de Frobenius como kAk = m X i=1 p X j=1 a2ij !1/2 .
Observe que coincide con la definici´on usual de norma euclideana para vectores (pensados aqu´ı como matriz fila o columna).
Lema 5.2. Si A ∈ M
m×p(R) y X ∈ Rp entonces
kAXk ≤ kAk kXk.
Demostraci´on. De la desigualdad de Cauchy-Schwartz vemos que kAXk2 = m X i=1 p X j=1 aijxj !2 ≤ m X i=1 p X j=1 a2ij ! p X j=1 x2j ! = kAk kXk. Observemos primero que la funci´on
F (t, X) = A(t)X + B(t)
es Lipschitz con respecto a su segunda variable. Es decir, existe L > 0 tal que
kF (t, X) − F (t, Y )k ≤ LkX − Y k para todo t ∈ I y para todos los X, Y ∈ Rn. En efecto,
|F (t, X) − F (t, Y )| ≤ kA(t)(X − Y )k ≤ n X i=1 n X j=1 a2ij(t) !1/2 kX − Y k.
Como los coeficientes de A son continuos (o al menos continuos por pedazos), est´an acotados en I. Luego,
|F (t, X)−F (t, Y )| ≤ L|X −Y |, donde L = sup
t∈I n X i=1 n X j=1 a2ij(t) !1/2 . Teorema5.2 (de Cauchy-Lipschitz-Picard, Existencia y Unicidad, caso general). Sea I un intervalo cerrado y acotado. Supongamos que F ∈ C0(I × Rm) es una funci´on Lipschitz con respecto a la segunda
variable. Para cada t0 ∈ I y cada X0 ∈ Rm, existe una ´unica soluci´on
X ∈ C1(I)m del problema de Cauchy
X′(t) = F (t, X(t)) para todo t ∈ I
3. LOS TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 113
Este resultado generaliza los Teoremas 3.1 y 5.1.
Para la demostraci´on del Teorema 5.2 primero observemos que, in- tegrando entre t0 y t la ecuaci´on diferencial, obtenemos
X(t) = X0+ Z t t0 F (s, X(s))ds. Definimos el operador T : C0(I)m → C0(I)m X 7→ T (X), donde T (X) es la funci´on definida por
(41) T (X)(t) = X0+
Z t t0
F (s, X(s))ds para t ∈ I.
Un punto fijo de T es una funci´on X ∈ C0(I)m tal que X = T (X).
Es decir,
X(t) = T (X)(t) = X0+
Z t t0
F (s, X(s))ds
para todo t ∈ I. Adem´as, todo punto fijo tiene que ser de clase C1, por
ser primitiva de una funci´on continua. Al derivar tenemos que todo punto fijo de T es soluci´on del problema de Cauchy
X′(t) = F (t, X(t)) para todo t ∈ I
X(t0) = X0.
Rec´ıprocamente, toda soluci´on del problema de Cauchy debe ser un punto fijo de T . Por lo tanto, para demostrar el Teorema 5.2 basta verificar que T tiene un ´unico punto fijo.
3.1. El Teorema del Punto Fijo de Banach. Primero recor- demos dos propiedades importantes de R:
1. Una sucesi´on {xn} es de Cauchy si para todo ε > 0 existe N ∈ N
tal que |xn − xk| < ε si k, n ≥ N. En R toda sucesi´on de Cauchy es
convergente. Es decir, existe x ∈ R tal que l´ımn→∞xn = x.
2. Una funci´on f : dom(f ) → R es contractante si existe K ∈ (0, 1) tal que |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y| si x, y ∈ dom(f). Sea C ⊂ R un con- junto cerrado y supongamos que f : C → C es contractante. Entonces f tiene un ´unico punto fijo.
Veremos que estas dos propiedades tambi´en son v´alidas en el con- junto de las funciones continuas de I en Rm. Comencemos por definir
114 5. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
lo que es una sucesi´on de Cauchy en este espacio. En primer lugar, la norma del supremo de una funci´on f ∈ C0(I)m es
kfk∞ = sup
t∈I kf(t)k.
Con esto, decimos que una sucesi´on de {fn} de funciones en C0(I)m es
de Cauchy si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que kfn− fkk∞ < ε si k, n ≥ N.
Diremos tambi´en que una sucesi´on {fn} en C0(I)m converge a f ∈
C0(I)m si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que kf
n− fk∞ < ε si
n ≥ N.
Teorema 5.3 (Banach). Sea I un intervalo cerrado y acotado. En el espacio C0(I)m todas las sucesiones de Cauchy son convergentes.
Demostraci´on. Sea {fn} una sucesi´on de Cauchy en C0(I). Fi- jamos t ∈ I y denotamos por fj
n(t) la j-´esima componente del vector
fn(t) ∈ Rm. Para cada j = 1, . . . , m la sucesi´on {fnj(t)} es de Cauchy
en R pues
|fnj(t) − f j
k(t)| ≤ kfn(t) − fk(t)k ≤ kfn− fkk∞
y esta ´ultima cantidad tiende a cero cuando n y k tienden a infinito. Esto nos dice que la sucesi´on fnj(t) tiene un l´ımite en R cuando n →
∞. Haciendo el mismo procedimiento para cada t ∈ I y cada j ∈ {1, . . . , m} vamos definiendo una funci´on f : I → Rm cuya j-´esima
componente es
fj(t) = l´ım
n→∞f
j n(t).
Veremos ahora que fn converge a f en C0(I)m. Esto nos dir´a autom´ati-
camente que f es continua por ser l´ımite uniforme de funciones conti- nuas (componente a componente). Dado ε > 0 existe N ∈ N tal que kfn− fkk∞ < ε/2 si n, k ≥ N. Por lo tanto, para cada t ∈ I se tiene
que
kfn(t) − fk(t)k < ε/2
si n, k ≥ N. Tomando el l´ımite cuando k → ∞ vemos que kfn(t) − f(t)k ≤ ε/2 < ε.
Observando que n ≥ N no depende de t, tomamos supremo para t ∈ I y vemos que
kfn− fk∞ < ε
3. LOS TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 115
Decimos que un operador T : C0(I)m → C0(I)m es contractante
si existe K ∈ (0, 1) tal que kT (f) − T (g)k∞ ≤ Kkf − gk∞ para todas
f, g ∈ C0(I)m.
Corolario 5.1 (Teorema del Punto Fijo de Banach). Cada ope- rador contractante de C0(I)m en C0(I)m tiene un ´unico punto fijo.
Demostraci´on. Sea T : C0(I)m → C0(I)m un operador contrac-
tante. En primer lugar observemos que T no puede tener m´as de un punto fijo. En efecto, si T (g) = g y T (h) = h con g 6= h, entonces
kg − hk∞= kT (g) − T (h)k∞ ≤ Kkg − hk∞ < kg − hk∞,
lo cual es imposible. Dicho esto, escojamos cualquier f ∈ C0(I)m y defi-
namos recursivamente la sucesi´on {fn} en C0(I)m mediante la relaci´on
f0 = f y fn = T (fn−1) = · · · = Tn(f ) para n ≥ 1.
Si T (f ) = f ya tenemos el punto fijo. Si no, probaremos que la suce- si´on {fn} es de Cauchy. El Teorema anterior nos dir´a entonces que fn
converge a una cierta f ∈ C0(I)m que tiene que satisfacer T (f) = f
pues fn= T (fn−1).
Sean n, k ∈ N. Sin p´erdida de generalidad suponemos que n ≥ k y escribimos la diferencia como una suma telesc´opica:
fn− fk = n X j=k+1 fj − fj−1 = n X j=k+1 Tj(f ) − Tj−1(f ). Tenemos entonces que
kfn− fkk∞ ≤ n X j=k+1 kTj(f ) − Tj−1(f )k∞ ≤ n X j=k+1 Kj−1kT (f) − fk∞ ≤ kT (f) − fk∞ Kk− Kn 1 − K ≤ kT (f) − fk∞ 1 − K K k.
Tomemos ε > 0. Dado que Kk → 0 cuando k → ∞ (pues K < 1), existe
N ∈ N tal que Kk < ε(1−K)
kT (f)−fk∞ para todo k ≥ N. Tenemos entonces
que kfn− fkk∞ ≤ ε si n, k ≥ N. Al ser una sucesi´on de Cauchy, el
Teorema 5.3 nos dice que es convergente. Como mencionamos arriba, el l´ımite es el ´unico punto fijo de T .
116 5. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
3.2. Demostraci´on del Teorema 5.2. Recordemos que s´olo nos resta probar que el operador T definido en (41) tiene un ´unico punto fijo. Para ello usaremos el Teorema del Punto Fijo de Banach, pero primero demostraremos un resultado auxiliar:
Lema 5.3. Supongamos que para cierto N ∈ N el operador TN = T ◦ · · · ◦ T| {z }
N n veces
tiene un ´unico punto fijo. Entonces lo mismo es cierto para T .
Demostraci´on. Sea X el ´unico punto fijo de TN. Como TN(X) =
X tenemos que
TN(T (X)) = TN +1(X) = T (TN(X)) = T (X),
de donde T (X) tambi´en es un punto fijo de TN(X). Como TN tiene
un ´unico punto fijo, tenemos que T (X) = X y as´ı F es un punto fijo de T . Para ver que es el ´unico, supongamos que Y es un punto fijo de T . Entonces Y tambi´en es punto fijo de TN y por lo tanto Y = X.
El Teorema 5.2 quedar´a demostrado si encontramos una potencia de T que sea contractante.
Lema5.4. Bajo las hip´otesis del Teorema 5.2, existe N ∈ N tal que TN es contractante.
Demostraci´on. Sean X, Y ∈ C0(I)m y sea L la constante de Lips-
chitz de la funci´on F con respecto a su segunda variable. Tenemos que kT (X)(t) − T (Y )(t)k = Z t t0 kF (s, X(s)) − F (s, Y (s))k ds ≤ L Z t t0 kX(s) − Y (s)k ds ≤ L(t − t0)kX − Y k∞. De manera similar, kT2(X)(t) − T2(Y )(t)k ≤ L Z t t0 kT (X)(s) − T (Y )(s)k ds ≤ L2 Z t t0 Z s t0 kX(σ) − Y (σ)k dσ ds ≤ L 2(t − t 0)2 2 kX − Y k∞.
3. LOS TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 117
Si repetimos este argumento vemos que para cada n ∈ N se tiene que kTn(X)(t) − Tn(Y )(t)k ≤ (t − t0)
nLn
n! kX − Y k∞.
Denotamos por M la longitud del intervalo I. Tenemos entonces que kTn(X) − Tn(Y )k∞ ≤
(ML)n
n! kX − Y k∞.
Como an!n tiende a cero cuando n → ∞ para cada a ∈ R, podemos escoger N ∈ N tal que (M L)N !N < 1, de donde TN resulta ser contractan-
te.
Esto termina la demostraci´on del Teorema 5.2. Observemos que, dada la funci´on constante eX(t) ≡ X0, la sucesi´on de funciones Xn =
Tn( eX) converge a la ´unica soluci´on del problema de Cauchy. Estas
funciones se llaman aproximaciones sucesivas de Picard. Algunas observaciones:
1. El Teorema 5.2 es v´alido para cualquier tipo de intervalo. Obser- vemos adem´as que la soluci´on del problema de Cauchy est´a definida en todo el intervalo I. Si la funci´on F est´a definida para todo t ∈ R entonces la soluci´on quedar´a definida en todo R.
2.El que la funci´on F sea Lipschitz con respecto a su segunda variable es una hip´otesis bastante restrictiva, que deja fuera muchos casos in- teresantes para los cuales tambi´en se tiene la existencia y unicidad de soluci´on. En el Cap´ıtulo 6 presentaremos una versi´on local de este teo- rema, que s´olo requiere que la funci´on F sea Lipschitz en un entorno de la condici´on inicial. El Teorema 5.4 garantiza la existencia y unicidad de soluci´on en las cercan´ıas de t0.
3.Tambi´en se puede demostrar el teorema en el caso en que la funci´on F es s´olo continua por pedazos con respecto a su primera variable. Esto se hace resolviendo la ecuaci´on por subintervalos y luego “pegando”las soluciones que se obtienen.
3.3. Existencia y unicidad locales. El Teorema 5.2 exige que la funci´on F sea Lipschitz. ´Esta es una hip´otesis demasiado restrictiva y el teorema tambi´en puede demostrarse bajo una condici´on m´as d´ebil. Sin embargo, s´olo se puede garantizar la existencia y unicidad de so- luci´on en un entorno de la condici´on inicial. Enunciaremos el Teorema
118 5. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
de Existencia y Unicidad en su versi´on local.
Sean I un intervalo abierto, t0 ∈ I, X0 ∈ Rn. Para r > 0 denotamos
Br(X0) = {Y ∈ Rn| kY −X0k ≤ r}. Suponemos que F : I ×Br(X0) →
Rn es una funci´on continua y que para ciertos r, δ > 0 se tiene
kF (t, X)−F (t, Y )k ≤ LkX−Y k si X, Y ∈ Br(X0) y t ∈ [t0−δ, t0+δ].
El siguiente teorema se refiere al sistema no lineal
X′(t) = F (t, X(t)), t ∈ I
X(t0) = X0.
Teorema 5.4 (Existencia y Unicidad, versi´on local). Con la nota- ci´on e hip´otesis descritas arriba, definimos
M = m´ax{kF (t, x)k | t ∈ I, |t − t0| ≤ δ, kx − x0k ≤ r}, δ0 = m´ın n δ, r M o y J = I ∩ (t0− δ0, t0+ δ0).
Entonces existe una ´unica soluci´on del problema de Cauchy, al menos en J.
Notemos que basta que la funci´on F sea Lipschitz en la segunda variable s´olo en un entorno de X0. Por otra parte, se garantiza la exis-
tencia de soluci´on en el intervalo I ∩(t0−Mr, t0+Mr ), que incluye puntos
que est´an suficientemente cerca de t0 (ver Ejemplo 5.2).
Ejemplo 5.2. Un interesante ejemplo en que no se cumple la con- dici´on de Lipschitz global (pero s´ı local) es el siguiente problema de Cauchy:
x′(t) = x2(t) t ∈ R
x(t0) = x0,
donde x0 > 0. Se trata de una ecuaci´on en variables separables cuya
soluci´on viene dada por
x(t) = 1 t0 +x01 − t
.
La soluci´on est´a definida en el intervalo (−∞, t0 + x−10 ) y explota al
acercarse al extremo derecho. Este modelo sirve para modelar una com- busti´on o explosi´on (observe que mientras m´as grande x0, m´as r´apido