Diremos que un punto de equilibrio de una ecuación diferencial es hiperbólico si la matriz Ja- cobiana de las ecuaciones no tiene valores propios con parte real nula. El Teorema de Hartmann- Grobman establece que para cada punto de equilibrio hiperbólico de la ecuación diferencial existe una vecindad V del punto y un homeomor…smo de…nido en V que manda las soluciones de la ecuación diferencial original sobre las de su linealización y las de la ecuación diferencial original tienen el mismo comportamiento cualitativo.
Como el Sistema es No Lineal, por lo cual procederemos a su respectiva linealización para poder analizarlo cualitativamente. Por ende, hallaremos el Jacobiano del Sistema.
J(S; I) = I S
I S ( + ) (3.3) Teniendo el Jacobiano del Sistema podremos hallar el comportamiento de las soluciones bajo el análisis del punto de equilibrio.
Punto Libre de Infección
El punto libre de infección E1; representa cuando en un instante del tiempo ya no hay infec-
tados, solamente hay susceptibles. Analizaremos este punto de equilibrio para saber como es su comportamiento a través del tiempo.
J( N;0) =
" N 0 N ( + )
#
(3.4)
Luego para saber si el punto de equilibrio puede ser estable o inestable o centro, debemos garantizar que la determinante del Jacobiano sea no nula.
Sea la consideración auxiliar: R = N ( + ):
J( N;0) = N+ ( + ) > 0
J( N;0) > 0 , N
J( N;0) > 0 , RS RI <1
Por consiguiente J( N;0) es positivo, debido que se ha impuesto que eR <1
Ahora que la determinante es positiva, analizamos la traza del Jacobiano
traza J( N;0) = + N ( + )
Si deseamos que el punto libre de infección sea estable, la traza del Jacobiano debe ser negativa, por lo cual analizaremos bajo que condición se cumple.
luego, N < ( + ) + 2() N ( + ) < 2
) traza J( N;
0) < 0 () RS RI 1 < +
Por consiguiente, las condiciones para que el punto libre de infección, E1= N; 0 sea estable
localmente se tiene que cumplir las siguientes condiciones.
e R <1 e
R < + + 1 Punto Endémico
El punto Endémico E2; representa cuando hay interacción entre los susceptibles e infectados
pero esta interacción se mantiene constante, es decir no cambia a través del tiempo. Analizaremos este punto de equilibrio para saber como es su comportamiento a través del tiempo.
J( + ; R ( + )) = " R ( + ) ( + ) R ( + ) 0 # (3.5)
Luego para saber si el punto de equilibrio puede ser estable o inestable o centro, debemos garantizar que la determinante del Jacobiano sea no nula.
J( + ; R
( + )) = R > 0 J( + ; R
( + )) > 0
Por consiguiente J( N;0) es positivo, debido que se ha impuesto que R sea positivo (R > 0).
Ahora que la determinante es positiva, analizamos la traza del Jacobiano
traza J( + ; R
( + ) =
R
Por consiguiente, las condiciones para que el punto endémico, E2 = RI1; ( eR 1) sea
estable localmente se tiene que cumplir las siguientes condiciones. R= N ( + ) > 0 (estabilidad)
Teorema 3.2 (Estabilidad)
Sea eR= RS RI; y el Modelo representado en (3.1).
1. Si eR <1 ; el punto Libre de Infección E1= N; 0 ; es localmente Estable.
2. Si eR >1; el punto Endémico E2= RI1; ( eR 1) ;es localmente Estable.
Después de haber realizado el análisis de las Soluciones Uniformemente Acotadas del Sistema (3.1) donde se enunció un corolario 3.1, donde se determinaba hacia donde convergía el sistema a largo plazo, luego se realizo el análisis cualitativo donde se determinó los puntos de equilibrio y sus condiciones para que el sistema pueda ser localmente estable en cada punto estacionario. Por lo cual, ahora presentaremos el siguiente Teorema que complementará todo el análisis realizado buscando la situación epidemiológica adecuada donde se llegue que la infección generada por la enfermedad haya desaparecido.
Teorema 3.3 (Soluciones Uniformemente Acotadas y Estabilidad del Punto Libre de Infección) Si eR <1 ; entonces el Modelo (3.1) en el Punto Libre de Infección E1= N; 0 ; es asintóti-
camente Estable, y además posee Soluciones Uniformemente Acotadas que convergerán al Estado Estacionario del Punto Libre de Infección.
Número Básico de Reproducción
El número Básico de Reproducción Efectiva <e;es sin duda la cantidad más importante en la
epidemiología de enfermedades infecciosas. Es una de las cantidades estimadas con mayor urgencia para enfermedades infecciosas emergentes en situaciones de brote, y su valor proporciona una visión en el diseño de las intervenciones de control de infecciones establecidas. Desde un punto de vista teórico <ejuega un papel vital en el análisis de modelos de las enfermedades infecciosas. El Número
Básico de Reproducción Efectiva, <e, se de…ne como el número esperado de infecciones secundarias
producidas por un caso índice en una población completamente susceptible. Este número es una medida del potencial de propagación de la enfermedad dentro de una población epidemiológica. Si <e < 1, entonces algunos individuos infectados introducidos en una población completamente
susceptible será, en promedio, la cual interactuarán entre sí pero la enfermedad no se propagará. Si, por el contrario, <e > 1, entonces el número de individuos infectados aumentará con cada
generación y la enfermedad se extenderá. [29,30].
Se ha demostrado que <e se caracteriza matemáticamente con respecto a la transmisión de la
infección como un "proceso demográ…co", donde la producción de descendencia no es visto como dar a luz en el sentido demográ…co, pero como causantes de una nueva infección a través de la transmisión (que se referirá a esto como un "nacimiento epidemiológico"). En una forma natural esto conduce a la visualización del proceso de infección en términos de "generaciones de individuos infectados" consecutivos, en completa analogía a las generaciones demográ…cos. Teniendo en cuenta que el número de reproducción básica es un parámetro de umbral para la invasión de un organismo de la enfermedad en una población completamente susceptible; una vez que la enfermedad ha comenzado a extenderse, condiciones que favorecen la propagación va a cambiar y <e ya no puede
los modelos de transmisión de enfermedades, la prevalencia máxima de huéspedes infectados y el tamaño …nal de la epidemia está aumentando las funciones de <o, por lo que es una medida útil de
para conocer la posible propagación de la enfermedad. [31].
Por lo cual hallaremos el respectivo Número Básico de Reproducción Efectiva de nuestro modelo. 8 > > < > > : S0 = N S I S I0 = S I ( + )I S(0) = So 0 I(0) = Io 0 ; ; ; >0 (3.6)
De la ecuación (3.6), analizaremos la parte de la variación de la población de los Infectados
I0 = S I ( + )I (3.7) Matemáticamente sabemos que una función es decreciente, si su derivada es negativa, es decir, I 0<0: Para lo cual, debería cumplirse: S I ( + )I < 0:
Epidemiológicamente, signi…caría el decrecimiento de la población de los Infectados a lo largo del tiempo.
I0 = I ( S ( + ))
Como I representa una población epidemiológica, tiene que ser necesariamente no negativo, por lo cual quien determinará el signo será la expresión: S ( + ):
Luego, S ( + ) < 0 () S < ( + ): () + S <1
Por consiguiente, la expresión + S debe ser negativa para conseguir el decaimiento de los Infectados, a esta expresión llamamos Número Básico de Reproducción Efectiva.
<e=
+ S (3.8)
Donde <edeterminará cuando la población de los Infectados crece o decrece para poder analizar
su desarrollo a través del tiempo. Es decir, si <e<1; la población de los Infectados decrecerá con
el tiempo por mientras que si <e>1; la población de los Infectados crecerá con el tiempo.