COMMON WORK RESULTS FOR HVAC

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COMMON WORK RESULTS FOR HVAC

Caso 1: Datos sin agrupar

El procedimiento para determinar el valor de cualquier cuantil se presenta a continuación. 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Calcular la posición del cuantil contada a

partir del dato menor: Posición Donde:

r: Número del cuartil, decil o percentil a calcular.

n: Cantidad de datos o tamaño de la muestra. k: Número de partes en que el cuantil divide al conjunto de datos.

V alores Cuartiles Deciles Per centiles

r 1,2,3 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,…….,99

k 4 10 100

Tabla 1: Cálculo para datos sin agrupar

3. Si la posición es un número entero entonces el valor del cuantil se encuentra a la mitad del valor de la posición encontrada y el valor de la siguiente posición, luego obtener el valor del cuantil buscado como el promedio de ambos valores. Es decir el cuantil buscado es: 1

2

i i

X

X



Si la posición no es un número entero re- dondear al siguiente entero más grande y el valor del cuantil será el valor ubicado en dicha posición.

Ejemplo 1: Las temperaturas promedios (0C) registradas durante el mes de noviembre de 2011, reportadas por la estación meteorológi- ca: 786630 (MSSS) con sede en Ilopango son: 24.4, 24.6, 25.4, 25.6, 25.5, 25.4, 25.1, 24.7,

24.4, 25.6, 24.4, 23.8, 24.5, 24.6, 25.0, 23.8, 24.1, 25.0, 24.5, 24.8, 25.8, 25.5, 24.9, 23.6, 24.4, 23.6, 25.1, 22.8, 20.9, 21.2

a) ¿Qué valor de la temperatura promedio supera la primera cuarta parte de ellas?

b) ¿Qué valor de la temperatura promedio que supera el cuarenta por ciento de ellas?

c) ¿Qué valor de la temperatura promedio es superado por el treinta y cinco por ciento de ellas?

Solución

Datos ordenados de manera ascendente: 20.9, 21.2, 22.8, 23.6, 23.6, 23.8, 23.8, 24.1, 24.4, 24.4, 24.4, 24.4, 24.5, 24.5, 24.6, 24.6, 24.7, 24.8 ,24.9, 25.0, 25.0, 25.1, 25.1, 25.4, 25.4, 25.5, 25.5, 25.6, 25.6, 25.8 Solución a) Corresponde a Q1 o P25 Calculando Q1 En este caso r = 1 k = 4 y n = 30 Posición Encontrando la posición de Q1: = 7.50, como este valor no es un número entero se aproxima al siguiente entero más próximo; entonces en la posición 8 se encuentra el Q1 contada del menor valor. Es decir, Q1 =24.10C. Por lo tanto, de los 30 días que tiene el mes de noviembre, el 25% de los ellos se tuvo una temperatura promedio menor a 24.10C y el 75% de los días una temperatura promedio mayor a 24.10C.

Solución b) Corresponde a D4 o P40 Calculando D4

74 En este caso r = 4 k = 10 y n = 30

Posición

Encontrando la posición de D4: = 12, como este valor es un número entero, entonces D4 se encuentra a la mitad de la posición 12 y la po- sición 13. Entonces corresponde al promedio de los valores de la posición 12 y 13. Es decir,

24.4 24.5

24.45

2 D







Por lo tanto, de los 30 días que tiene el mes de noviembre, el 40% de los ellos se tuvo una temperatura promedio menor a 24.450C y el 60% de los días una temperatura promedio mayor a 24.450C.

Solución c) Corresponde al P65

En este caso r = 65 k = 100 y n = 30 Posición

Encontrando la posición de P65: = 19.5, como este valor no es un número entero se aproxima al siguiente entero más próximo, entonces la posición 20 es donde se encuentra el valor del P65 contada a partir del menor valor. Es decir, P65 =25.0 0C.

Por lo tanto, de los 30 días que tiene el mes de noviembre, el 65% de los ellos se tuvo una temperatura promedio menor a 25.0 0C y el 35% de los días una temperatura promedio mayor a 25.0 0C.

Caso 2: Datos agrupados en tablas de frecuencias.

El procedimiento para determinar el valor de cualquier cuantil es similar al que se utilizó para el cálculo de la mediana y se presenta a continuación.

En términos de frecuencias Absolutas Acumula- das.

1. Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas.

2. Calcular posición Donde:

r: Número del cuartil, decil o percentil a calcular.

n: Cantidad de datos o tamaño de la muestra. k: Número de partes en que el cuantil divide al conjunto de datos.

V alores Cuartiles Deciles Per centiles

r 1,2,3 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,…….,99

k 4 10 100

Tabla 2: Cálculo para frecuencias absolutas acumuladas

3. Comparar el valor de con los valores de la frecuencia absoluta acumulada (Ni):  Para encontrar el lugar que ocupa el cuan-

til, se busca en la columna de frecuencias absolutas acumuladas el valor que sea igual o inmediatamente superior a ; luego el cuantil buscado será el valor Xi de la variable que corresponde a la frecuencia absoluta acumulada Ni. Es decir el cuantil buscado es Xi que corresponde a Ni si

*

i i

r n

N

k





 Si un valor de la frecuencia absoluta acumulada coincide con , entonces el cuantil será el promedio del valor de Xi que corresponde a Ni y el valor siguiente Xi+1. Es decir el cuantil buscado es 1

2

i i

X

X

_ si = Ni

En términos de Frecuencias Relativas Acumula- das.

1. Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas.

2. Calcular la posición . Donde:

r: Número del cuartil, decil o percentil a calcular.

k: Número de partes en que el cuantil divide al conjunto de datos.

Valores Cuartiles Deciles Percentiles R 1,2,3 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,…….,99

K 4 10 100

Tabla 3: Cálculo para frecuencias relativas acumuladas

1. Comparar el valor de con los valores de la frecuencia relativas acumulada (Fi):  Para encontrar el lugar que ocupa el cuan-

til se busca en la columna de frecuencias relativas acumuladas (Fi), el valor que sea igual o inmediatamente superior a , entonces el cuantil será el valor de la variable Xi que corresponde a Fi . Es decir el cuantil buscado es Xi si Fi-1< < Fi

 Si un valor de la frecuencia relativa acumulada (Fi) coincide con , entonces el cuantil será el promedio del valor de Xi que corresponde a (Fi) y el valor siguientes Xi+1. Es decir el cuantil buscada es 1

2

i i

X

X

_ si

= Fi

Ejemplo 2: Retomando el ejemplo 14 de la uni- dad anterior: Se les pregunto a 60 alumnos de primer año de bachillerato general, el número de asignaturas reprobadas en el primer trimes- tre de este año; y obtuvo la siguiente tabla de distribución de frecuencias Número Asignaturas Reprob adas xi Cantidad de Alumnos ni Ni 0 8 8 1 11 19 2 13 32 3 15 47 4 10 57 5 3 60 n 60

a) Encontrar el número de asignaturas reprobadas que supera y es superado por la mitad de los alumnos.

b) Encontrar el quinto decil y realizar su res- pectiva interpretación.

c) Encontrar el número de asignaturas reprobadas que es superada por el quince por ciento de los alumnos.

Solución

En términos de frecuencias absolutas acumuladas. Solución a) Corresponde a Q2 o D5 o P50 Calculando Q2 En este caso: r=2 k=4 y n=60 Posición Encontrando la posición de Q2: = 30, al comparar este valor en la columna de Ni se observa que

193032

_{, entonces Q}2 =2; ya que N3 = 32 es el primer valor que supera a 30. Por lo tanto, el 50% de los alumnos han reprobado dos o menos asignaturas y el otro 50% ha reprobado dos o más asignaturas.

Solución b) Corresponde a D5

En este caso: r=5 k=10 y n=60 Posición

76 Encontrando la posición de D5: = 30, al

comparar este valor en la columna de Ni se observa que

193032

_{, entonces D5 =2; ya} que N3=32 es el primer valor que supera a 30. Por lo tanto, el 50% de los alumnos han reprobado dos o menos asignaturas y el otro 50% ha reprobado dos o más asignaturas (igual que en el literal anterior).

Solución c) Corresponde al P85

En este caso: r = 85 k = 100 y n = 60 Posición

Encontrando la posición de P85: = 51, al comparar este valor en la columna de Ni se observa que

4751 57

_{, entonces P85 =4; ya} que N5=57 es el primer valor que supera a 51. Por lo tanto, el 85% de los alumnos han reprobado cuatro o menos asignaturas y el otro 15% ha reprobado cuatro o más asignaturas.

Caso 3: Datos agrupados en tablas de frecuencia por intervalos.

El procedimiento para determinar el valor de cualquier cuantil es similar al que se utilizó en el caso anterior, con la diferencia que en un primer momento se encontrara el intervalo [li-1,li[, donde se encuentra el cuantil y se presenta a continuación.

En términos de frecuencias Absolutas Acumula- das.

1. Obtener la tabla agrupada de frecuencias absolutas y relativas acumuladas.

2. Calcular la posición Donde:

r: Número del cuartil, decil o percentil a calcular.

n: Cantidad de datos o tamaño de la muestra. k: Número de partes en que el cuantil divide al conjunto de datos.

Valores Cuartiles Deciles Percentiles r 1,2,3 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,…….,99

k 4 10 100

Tabla 4: Cálculo para frecuencias absolutas acumuladas

1. Comparar el valor de con los valores de la frecuencia absoluta acumulada Ni:  Para encontrar el intervalo [li-1,li[ , donde se

encuentra el cuantil, se busca en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas (Ni) el valor que sea igual o inmediatamente superior a .

 Si Ni-1 < ≤ Ni , entonces el cuantil se encuentra en [li-1,li[ que corresponde a Ni y luego se utiliza la siguiente fórmula que representa el cuantil r de orden k:

Donde:

Li-1: Límite inferior del intervalo donde se ubica el cuantil.

N : Número total de observaciones.

Ni-1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior de donde se ubica el cuantil. Ni : Frecuencia absoluta del intervalo donde se ubica el cuantil.

Ci : Amplitud del intervalo donde se ubica el cuantil.

Si Ni-1 = < Ni entonces el cuantil se encuentra en [li-1,li[ que corresponde a Ni y el cuantil buscados es igual a li-1. Es decir,

1 / 1

*

i r k i i i

r n

N

k

Q

L

c

n

 









En términos de frecuencias relativas acumuladas.

1. Obtener la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas.

2. Calcular la posición Donde:

r : Número del cuartil, decil o percentil a calcular

k : Número de partes en que el cuantil divide al conjunto de datos.

Valores Cuartiles Deciles Percentiles R 1,2,3 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,…….,99

K 4 10 100

Tabla 5: Cálculo para frecuencias relativas acumuladas

Comparar el valor de con los valores de la frecuencia relativas acumuladas Fi.

Para encontrar el intervalo [li-1,li[ donde se encuentra el cuantil, se busca en las frecuencias relativas acumuladas (Fi), el valor que sea igual o inmediatamente superior a .

Si Fi-1 < ≤ Fi , entonces el cuantil se encuentra en [li-1,li[ que corresponde a Fi y luego se utiliza la siguiente fórmula que representa el cuantil r de orden k:

Donde:

Li-1: Límite inferior del intervalo donde se ubica el cuantil.

Fi-1: Frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior de donde se ubica el cuantil.

fi: Frecuencia relativa del intervalo donde se ubica el cuantil.

ci : Amplitud del intervalo donde se ubica el cuantil.

 Si Fi-1 = < Fi entonces el cuantil se encuentra en [li-1,li[ que corresponde a Fi y el cuantil buscado es igual a li-1.

Es decir,

Ejemplo 3: En un programa de autocontrol per- sonal del peso, aplicado a 90 personas, los kilo- gramos que estas perdieron al terminar dicho programa se muestran en la siguiente tabla.

Peso Perdido Xi Número de personas ni Ni fi Fi 5 - 9 9 9 0.1 0.1 10 - 14 19 28 0.21 0.31 15-19 33 61 0.37 0.68 20 – 24 15 76 0.17 0.85 25 – 29 10 86 0.11 0.97 30 -34 2 88 0.02 0.98 35 - 39 0 88 0 0.98 40 - 44 2 90 0.02 1 n 90 1

a) ¿Cuál es el valor del peso perdido que supera la tercera parte de las personas? b) ¿Cuál es el valor del peso perdido que es

superado por el setenta por ciento de las personas?

c) ¿Cuál es el valor del peso perdido que supera el noventa por ciento de las personas?

Solución

Solución a) Corresponde al Q3 o P75 Calculando Q3

En términos de frecuencias absolutas acumuladas. 1 / 1 i r k i i i

r

F

k

Q

L

c

f

 









/ 1 r k i

Q

L

_

78 En este caso: r=3 k=4 y n=90

Posición

Encontrando la posición de Q3: = 67.5, al comparar este valor en la columna de Ni se observa que

61 67.25

76

_{, entonces C3 se} encuentra en el intervalo [20,24]; ya que N4=76 es el primer valor que supera a 67.25. Entonces: N3 =61 n4=15 c4=5 L3= 20 Sustituyendo se tiene:

Por lo tanto, el 75% de las personas han perdido 22.08 kg o menos del peso en el programa, y el 25% de las personas han perdido 22.8 kg o más del peso en el programa.

Solución b) Corresponde al D3 o P75 Calculando D3

En términos de frecuencias relativas acumuladas.

En este caso: r=3 k=10 y n=90 Posición

Encontrando la posición de D3:

= 0.3, al comparar este valor en la columna de Fi se observa que 0.1 0.30 0.31  _{, entonces D3 se}

encuentra en el intervalo [10,14]; ya que F2=0.31 es el primer valor que supera a 0.30. Entonces: L1= 10 F1= 0.1 f2=0.21 c1= 5 Sustituyendo se tiene:

Por lo tanto, el 30% de las personas han perdido 14.76 kg o menos del peso en el programa

y el 70% de las personas han perdido 14.76 kg o más del peso en el programa.

Solución c) Corresponde a P90 o D9 Calculando P90

En términos de frecuencias absolutas acumuladas.

En este caso: r=90 k=100 y n=90 Encontrando la posición P90:

= 81, al comparar este valor en la columna de Ni se observa que

7681 86

_{, entonces P90 se} encuentra en el intervalo [25,29]; ya que N5=86 es el primer valor que supera a 81. Entonces: N4 =76 n5=10 c5=5 L4= 25 Sustituyendo se tiene:

Por lo tanto, el 90% de las personas han perdido 27.50 kg o menos del peso en el programa y el 10% de las personas han perdido 27.50 kg o más del peso en el programa.

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS CUAN- TILES

(Datos agrupado en tablas de frecuencias) 1. Encontrar las frecuencias absolutas y rela-

tivas acumuladas.

2. Determinar la posición del cuantil a calcular.

3. Identificar la posición del cuantil en el valor o próximo mayor de la frecuencia absoluta o relativa acumulada.

4. Obtener los datos respectivos del intervalo o valor correspondiente de la variable. 3

67.25 61

20

5

20

2.08

15 Q







 



3 22.08 Q  3 3 0.1 10 10 5 10 4.76 0.21 D       3 14.76 D  90 81 76 25 5 25 2.5 10 P       90

27.5 P



5. Aplicar fórmula para obtener el cuantil deseado.

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS CUAN- TILES

Datos sin agrupar

1. Ordenar los valores de la variable o datos de menor a mayor (orden ascendente). 2. Determinar la posición del cuantil a calcu-

lar.

3. Identificar la posición del cuantil según orden de los datos.

4. Obtener el valor del cuantil buscado.

UTILIDAD DE LOS CUANTILES Los cuartiles se utilizan:

 Para identificar el porcentaje igual o me- nor que el valor de un cuartil.

 Para construir la curva endémica.

 Para describir el 50% central de las observaciones.

 Elaboración de gráficos de caja.

Los percentiles se utilizan:

 Para comparar un valor de un individuo con un conjunto de normas

 Para determinar rangos normales de análi- sis de laboratorio, los límites normales de muchos análisis se ubican entre el percentil 2.5 y 97.5

 También se usa para establecer el rango intercuartílico.

APLICANDO LO APRENDIDO

1. En la columna vacía escriba una C o una I si el enunciado es correcto o incorrecto. 1 El cuartil 2 divide a la serie en dos partes iguales

2 El decil 5 de la siguiente serie: 18,17,15,14,13,12 es 14 3 El Percentil 50 de la serie anterior es 3.5

4 El cuartil 3 de la serie anterior es 12.5 5 El valor del percentil 80 es igual al decil 8 6 El cuartil 3 es diferente al percentil 75 7 El valor de la mediana es igual al cuartil 2 8 El valor de decil 6 es igual al percentil 6 9 E valor de la mediana es igual al percentil 50 10 El percentil 99 deja a la derecha un 10%

2. En una colonia de San Salvador se investigo sobre el número de horas que 60 niños ven televi- sión diariamente. En la siguiente tabla se presenta la información de esta investigación.

No. Horas 1 2 3 4 5 6

No. Niños 10 12 15 8 6 9

80 b) ¿Cuál es el número de horas que ven televisión diariamente la cuarta parte de los niños?

R/2 horas

c) ¿Cuál es el número de horas que ven televisión diariamente los niños que supera el cuarenta por ciento de ellos? R/3 horas

d) ¿Cuál es el número de horas que ven televisión diariamente los niños que es superado por el treinta por ciento de ellos? R/4 horas

e) ¿Cuántas horas ven televisión diariamente los niños que es superado por el treinta y ocho por ciento de ellos? R/4 horas

3. En la siguiente tabla se encuentran registrados el número de lesionados por accidentes de trán- sito registrados en San Salvador durante el primer semestre del año 2008, organizados por rango de edades reportados por CNIP policía nacional civil.

Edad [0 – 11] [12 – 17] [18 – 25] [26 – 30] [31 – 40] [41 – 50] [51-60]

No. Lesionados 16 19 32 27 39 18 7

a) ¿Cuál es la edad que supera las tres cuartas partes de los lesionados? b) Encontrar la edad que supera a la mitad de los lesionados

c) ¿Cuál es la edad que supera los ochenta por ciento de los lesionados? d) ¿Cuál es la edad que es superada por el cincuenta y cinco de los lesionados?

En la siguiente tabla se encuentran registrados el número de fallecidos por accidentes de tránsito registrados en Sonsonate durante el primer semestre del año 2008, organizados por rango de edades reportados por CNIP policía nacional civil.

Edad [0 – 11] [12 – 17] [18 – 25] [26 – 30] [31 – 40] [41 – 50] [51-60]

No. fallecidos 4 3 9 4 14 10 6

e) Calcular el cuartil 3 e interprételo.

f) ¿Cuál es la edad que supera las tres cuartas partes de los fallecidos? Compare con el resulta- do de b) que observa.

g) Encontrar la edad que es superada por el noventa por ciento de los fallecidos h) ¿Cuál es la edad que supera el setenta por ciento de los fallecidos?

4. En una competencia de tiro olímpico, 30 tiradores han obtenido las siguientes puntuaciones: 10, 9, 6, 8, 9, 5, 3, 8, 9, 7, 10, 10, 9, 6, 8, 7, 6, 10, 9, 8, 5, 3, 1, 8, 8, 9, 7, 8, 9 y 10.

a) ¿Cuál es la puntuación mediana?

b) Hallar el percentil 30 y 60 e interprételo.

c) ¿Qué valor toma la puntuación que es superada por el veinte por ciento?

d) Encontrar el valor de la puntuación que supera las tres terceras partes de los datos.

5. Las edades de veinte jóvenes son: 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula:

81 2. Los deciles 1 y 6

3. Los percentiles 35 y 80.

6. El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Calcular e interpretar:

a) Los cuartiles 2 y 3 b) Los deciles 2 y 7 c) Los percentiles 35, 60 y 95

7. A los 50 alumnos de primer año de bachillerato se les realizó una prueba de matemática y se obtuvieron los siguientes resultados.

Puntajes (Xi) Número de alumnos (ni) [60 – 65[ 5 [65 – 70[ 5 [70 – 75[ 8 [75 – 80[ 12 [80 – 85[ 16 [85 – 90[ 4 n 50 a) Calcular e interpretar: Q1, D4, P65 y P80.

b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados.

c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una disminución de su cuota escolar.

d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no asistir a un taller de refuerzo.

e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50% superior).

BIBLIOGRAFIA

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2. Pérez C., (2003).Estadística. Problemas Resueltos y Aplicaciones. Madrid: Pearson Educación, S.A.

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