Un espacio-tiempod-dimensional se diceKundtsi admite una congruencia de geodésicas nulas que es shear-free, expansion-free, y twist-free. Usando (6.8), esto implica que, si `a es el tangente a esta congruencia, tenemos
ρij ≡0, κi ≡0. (6.48)
La clase Kundt ha atraído atención en años recientes ya que las geometrías cerca del horizonte (NHGs por sus siglas en inglés) de todas las soluciones conocidas de agujeros negros extremos pertenecen a la misma; ver e.g. [54, 86, 44, 126]. De hecho estos espacio-tiempos extremos son más especiales ya que son doble-Kundt: ambas direcciones nulas, `a y na, son shear-free,
expansion-free, y twist-free, ρij =κi = ρ0ij = κ0i = 0. Espacio-tiempos doble-
Kundt son algebraicamente especiales de tipo D u O. Las NHGs resultan ser importantes desde distintos puntos de vista; por ejemplo en el contexto de la correspondencia Kerr/CFT [80, 44] (que es una versión de AdS/CFT para la geometría cerca del horizonte de un agujero negro de Kerr extremo), y también son interesantes en el sentido de que una inestabilidad de la NHG puede implicar inestabilidades del agujero negro extremo completo [54, 86].
6.4.1.
Campos conformes de Killing con peso
En esta sección daremos algunas relaciones interesantes entre la derivada covariante modificada (6.23) que produce el operador de onda generalizado
6.4. La clase Kundt y geometrías cerca del horizonte 135
T(b,s) =DaDa, y tensores asociados a distinto tipo de simetrías de Killing con
respecto a Da.
Lo primero a notar es que la WAND de un espacio-tiempo Kundt es un vector de Killing con respecto a Da:
Lema 6.4.1. Sea `a un campo vectorial alineado a la WAND de un espacio-
tiempo Kundt, y consideremos la derivada covariante modificada (6.23). En- tonces `a es un vector de Killing con respecto a Da:
D(a`b) = 0. (6.49) Si el espacio-tiempo no es Kundt, puede mostrarse fácilmente que `a será un
vector conforme de Killing con respecto a Da siempre que `a sea geodésico y
la congruencia asociada sea shear-free (i.e. σij = 0 en (6.8)).
Consideremos ahora la 2-forma de tipo {1,1}
Uabi := 2`[amib], (6.50) donde `a está alineado a la WAND del espacio-tiempo. Entonces tenemos:
Lema 6.4.2. En un espacio-tiempo Kundt, la 2-forma Uabi es un tensor con- forme de Killing-Yano con respecto a Da:
D(aUbi)c=gabξci −gc(aξib), (6.51) donde ξi a= 1 (d−1)D bUi ba.
En la sección 6.6 veremos una interpretación de los resultados 6.4.1 y 6.4.2.
6.4.2.
Campos de Maxwell
Recordar la definición de la 2-forma Uabi dada en (6.50). Tenemos:
Teorema 6.4.1. SeaFab una 2-forma arbitraria (de tipo{0,0}) en un espacio-
tiempo Einstein-Kundtd-dimensional, y consideremos el operador de Laplace- de Rham modificado de spin 1 (6.43). Entonces tenemos la identidad
−Uiab[(D1D?+D?1D)F]ab = [T(1,1)+V]ij[UjabFab], (6.52)
donde el operador de onda generalizado T(1,1) está definido en (6.30), y el
potencial en el lado derecho está dado por Vij = 2ΦSi j+ 4ΦA i j+ (d−4)τ iτj+ Φ− 2λ (d−2) δij, (6.53)
Demostración. Ver Teorema 3.1 en [10].
Corolario 6.4.2. Sea Aa una 1-forma arbitraria, de tipo {0,0}, sobre un
espacio-tiempo Einstein-Kundtd-dimensional. Entonces tenemos la siguiente igualdad:
donde los operadores diferenciales lineales están definidos por
S(Jb) :=−Uibc(∇c−2Ac)Jb, (6.55)
E(Aa) :=Ab− ∇a∇bAa, (6.56)
O(φi) :=[T(1,1)+V]ijφj, (6.57)
T(Aa) :=2Uiab∇aAb. (6.58)
Demostración. Definir la 2-forma Fab = 2∇[aAb]. Entonces D?1DF = 0, y la identidad (6.54) se sigue de (6.52).
Corolario 6.4.3. Sea ψi un campo escalar GHP de tipo {−1,1} tal que es
solución de la ecuación adjunta de Teukolsky d-dimensional para spin s= 1
T(−1,1)ψi+ψjVji = 0, (6.59)
sobre un espacio-tiempo Einstein-Kundt. Entonces Fab(ψ) = 2∇[a[A(ψ)]b] es
una solución de las ecuaciones de Maxwell, donde
Aa(ψ) := (∇b+ 2Ab)(Uabi ψi). (6.60)
Demostración. Tomando la ecuación adjunta a (6.54), E†S†(ψ) = T†O†(ψ) , usando el hecho de que E = E†, y la identidad para el adjunto de T(b,s), el resultado sigue luego de definir [A(ψ)]a := [S†(ψ)]a.
6.4.3.
Perturbaciones gravitacionales
Usando la 2-forma Ui
ab introducida en (6.50), definimos el tensor de tipo
{2,2} Uabcdij :=UiabU cd j +U ab j U cd i . (6.61)
Para el caso actual, encontramos que off shell es más conveniente trabajar con el tensor de Riemann en lugar de con el tensor de Weyl para describir las perturbaciones. Notemos que la componente con peso de boost b = +2 del tensor de Riemann es
e
Ωij = 18UabcdijRabcd. (6.62)
La relación con la correspondiente componente del Weyl es
e
Ωij = Ωij + (d−12)ωδij, (6.63)
donde ω =Rab`a`b (adoptamos la notación en [52] para las componentes del
tensor de Ricci en el vielbein GHP). Tenemos:
Teorema 6.4.4. Consideremos perturbaciones gravitacionales de un espacio- tiempo Einstein-Kundt d-dimensional, y recordemos el operador de Laplace- de Rham modificado de spin 2 (6.44), actuando sobre el tensor de Riemann. Entonces tenemos la siguiente igualdad off shell:
− 1 8 d dε|ε=0 Uabcdij[(D2D?+D?2D)R]abcd =T(2,2) ˙ e Ωij +Vijkl ˙ e Ωkl (6.64)
6.4. La clase Kundt y geometrías cerca del horizonte 137
donde el operador de onda generalizado T(2,2) está definido en (6.30), y el
potencial Vijkl en el lado derecho es
Vijkl:=2[2Φ−τmτm− (d−1)(4λd−2)]δi(kδjl)+ 4[ΦS(i (k + 4Φ(Ai(k+(d−22)τ(iτ(k]δ l) j) +h−2Φ(kijl)−2δijτkτl+ (−ΦSij + 2λ (d−1)(d−2)δij−2τiτj)δ kli. (6.65)
Demostración. Ver apéndice B.1 en [10].
Si las ecuaciones linealizadas de Einstein se satisfacen, G˙ab +λhab = 0,
entonces el lado izquierdo de (6.64) es cero, y las componentes linealizadasΩe˙ij
yΩ˙ij coinciden. Usando las expresiones para el operador de onda generalizado
T(2,2) y el potencial Vijkl dado antes, la ecuación
T(2,2)Ω˙ij+VijklΩ˙kl= 0 (6.66)
en términos de derivadas GHP es explícitamente
[2þ0þ+ðkðk+ρ0þ−6τkðk+ 4Φ− (d−4(1)(d+2)d−2)λ] ˙Ωij
+ 4[τkð(i−τ(iðk+ ΦS(i k
+ 4ΦA(ik] ˙Ωj)k+ 2ΦikjlΩ˙kl = 0. (6.67)
La ecuación desacoplada que el teorema (6.4.4) da on shell es entonces equi- valente a la ecuación encontrada en [53].
Corolario 6.4.5. Consideremos perturbaciones gravitacionales de un espacio- tiempo Einstein-Kundt d-dimensional, y seahab= ˙gab. Definimos la siguiente
variante del tensor (6.61):
˘
Uabcdij =Uabcdij − (d−22)δij`agbc`d. (6.68)
Entonces tenemos la identidad off shell
SE[hab] =OT[hab], (6.69)
donde los operadores diferenciales lineales están definidos por
S[Tab] := −12U˘abceij(∇e−4Ae)∇aTbc, (6.70)
E[hab] := ˙Gab[h] +λhab, (6.71)
O[φij] :=T(2,2)φij +Vijklφkl, (6.72)
T[hab] := 18dεd|ε=0(UabcdijRabcd). (6.73)
Demostración. La prueba de este resultado es similar a la prueba de (6.47), pero reemplazando el tensor de Weyl por el tensor de Riemann. Recordando la forma contraída de la identidad de Bianchi, tenemos ∇dR
abcd =−2∇[aRb]c.
forma Rab =Gab+(2−1d)gabG (con G=gabGab), con lo cual el lado izquierdo
de la identidad (6.64) toma la forma
Uabceij(∇e−4Ae)∇dRabcd =−2Uabceij(∇e−4Ae)∇a[Gbc+(2−1d)gbcG]
=−2hUabceij −(2−2d)δij`a`egbc
i
(∇e−4Ae)∇aGbc
=−2 ˘Uabceij(∇e−4Ae)∇a(Gbc+λgbc),
donde en la segunda línea hemos usado la identidad Uabce
ijgbc = −2δij`a`e,
y en la tercera usamos la definición del tensor U˘abcdij, y el hecho de que
∇a(λgbc) = 0para agregar el término con la constante cosmológica. Finalmen-
te, linealizando, usando (6.64) y las ecuaciones de Einstein del background
(Gbc+λgbc)|ε=0 = 0, obtenemos el resultado (6.69).
Notemos que, de la prueba anterior, vemos que el segundo término en la definición (6.68) de U˘abcd
ij se necesita para obtener el tensor de Einstein a
partir de la identidad (6.64).
Como corolario de los resultados previos, podemos ahora construir, de una forma muy compacta, soluciones de las ecuaciones linealizadas de Einstein a partir de soluciones de la ecuaciónd-dimensional de Teukolsky:
Corolario 6.4.6. Sea ψij un campo escalar GHP de tipo {−2,2} tal que
satisface la ecuación adjunta de Teukolsky d-dimensional para spin s= 2,
T(−2,2)ψij +ψklVklij = 0, (6.74)
sobre un espacio-tiempo Einstein-Kundt. Entonces el campo tensorial
hab[ψ] =∇c[(∇d+ 4Ad) ˘Uc(ab)dijψij] (6.75)
es una solución de las ecuaciones linealizadas de Einstein, G˙ab[h] +λhab = 0.
Demostración. Tomar la identidad adjunta a (6.69), usar el hecho de que el operador de Einstein linealizado es autoadjuntoE† =E, y recordar el adjunto del operadorT(b,s); el resultado se sigue luego de definirhab[ψ] = [S†(ψ)]ab.
Notamos que existen otras fórmulas de reconstrucción conocidas en la literatu- ra, ver [76, 86], no obstante dichas fórmulas son notablemente más complejas que (6.75).