Si tenemos una curva el´ıptica definida por una ecuaci´on de Weierstrass con coeficientes enteros, una forma de estudiarla es considerar la curva definida por dicha ecuaci´on m´odulo un primo p. Cuando p divide al discriminante de la ecuaci´on obtenemos una curva singular, por lo que conviene estudiar este tipo de curvas un poco m´as a fondo. En primer lugar observamos que hay dos tipos de singularidades:
Definici´on 2.25 Si P es un punto singular de una c´ubica plana C, diremos queP es unnododeCsiP tiene dos tangentes distintas enP, mientras queP
Notemos que la c´ubica no puede tener tres tangentes, porque entonces ser´ıa reducible. Las figuras siguientes muestran c´ubicas con una c´uspide y un nodo en (0,0).
Y2=X3 Y2+XY −X3= 0
En general, si C/k es una c´ubica singular definida por una ecuaci´on de Weierstrass, el teorema 2.8 nos da que su punto singular es finito y racional, digamos (x0, y0). Entonces, la traslaci´on
X =X0+x0, Y =Y0+y0
transforma la ecuaci´on de Weierstrass en otra cuyo punto singular es (0,0). Entonces F(0,0) =a6= 0, ∂F ∂X Ø Ø Ø Ø (0,0) =a4= 0, ∂F ∂Y Ø Ø Ø Ø (0,0) =a3= 0,
luego la ecuaci´on se reduce a
Y2+a
1XY −a2X2−X3= 0.
Las tangentes en (0,0) se obtienen factorizando la formaY2+a
1XY−a2X2.
Para ello consideramos la ecuaci´onT2+a
1T −a2 = 0. Si llamamoss1 ys2 a
sus ra´ıces, entonces haciendoT =Y /X obtenemos que
Y2+a1XY −a2X2= (Y −s1X)(Y −s2X),
luego las tangentes sonY =siX. Ahora hemos de observar que los si no est´an necesariamente enk, sino que en principio pertenecen a una extensi´on cuadr´atica de k. Si la singularidad es una c´uspide, entoncess1 =s2, el discriminante del
polinomio T2+a
1T −a2 es nulo y s´ı que podemos asegurar que si ∈ k (si cark = 2 el argumento es distinto, pero llegamos a la misma conclusi´on). El problema puede aparecer cuando la singularidad es un nodo. Esto nos lleva al concepto siguiente:
Definici´on 2.26 Diremos que una curva C/k definida por una ecuaci´on de Weierstrass tiene un nodo racional si tiene un nodo y las pendientes de las tangentes por dicho nodo est´an enk. En caso contrario diremos que el nodo es irracional.
Con este matiz, podemos probar el teorema siguiente:
Teorema 2.27 Sea C/k una c´ubica singular definible por una ecuaci´on de Weierstrass y cuya singularidad sea una c´uspide o un nodo racional. Enton- ces C/k se transforma mediante un cambio de coordenadas sobre k en una de las dos ecuacionesY2=X3o bienY2+XY =X3. Ambas tienen a(0,0)como
´
unico punto singular.
Demostraci´on: La traslaci´on que lleva el punto singular a (0,0) transforma la ecuaci´on en otra con una singularidad en (0,0) del mismo tipo que la de partida. Seg´un hemos visto, dicha ecuaci´on es de la forma
Y2+a1XY −a2X2−X3= 0,
y existe uns∈ktal ques2+a
1s−a2= 0. Entonces el cambioY =Y0+sX0
reduce la ecuaci´on a
Y2+AXY −X3= 0.
SiA= 0 tenemos ya una de las curvas del enunciado. SiA 6= 0, el cambio
X =A2X0,Y =A3Y0 transforma la ecuaci´on enY2+XY −X3= 0.
Es claro que si la singularidad es un nodo irracional no es posible transformar la ecuaci´on enY2+XY−X3mediante un cambio de coordenadas enk, pues el
cambio inverso transformar´ıa las tangentes de esta curva en (0,0) —que tienen pendiente racional— en las tangentes de la curva dada en su punto singular, que por consiguiente tendr´ıan tambi´en pendiente racional.
Teorema 2.28 Una c´ubicaC definida por una ecuaci´on de Weierstrass puede clasificarse como sigue:
a) C es regular si y s´olo si ∆6= 0,
b) C tiene un nodo si y s´olo si∆ = 0y c46= 0,
c) C tiene una c´uspide si y s´olo si∆ =c4= 0.
Demostraci´on: El apartado a) ya est´a demostrado. Supongamos que C
es singular. La condici´onc46= 0 no se altera por cambios de coordenadas (sobre k), ni tampoco el tipo de singularidad, luego podemos suponer queCviene dada por una de las dos ecuaciones del teorema anterior. Ahora basta observar que la primera cumple c4 = 0 (y tiene una c´uspide en (0,0)) y la segunda cumple c4= 1 (y tiene un nodo).
Veamos ahora que la descripci´on geom´etrica de la suma en una curva el´ıptica proporciona tambi´en una estructura de grupo sobre cualquier c´ubica singular, siempre y cuando eliminemos su punto singular.
Definici´on 2.29 SiE/kes una curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass, llamaremos Er(k) al conjunto de los puntos regulares de E(k). Sabemos que
Er(k) coincide con E(k) salvo quiz´a por un punto, que puede ser un nodo (racional o irracional) o una c´uspide.
Teorema 2.30 Sea E/k una c´ubica definida por una ecuaci´on de Weierstrass con una c´uspide o un nodo racional S. Entonces la suma en Er(k) definida mediante la construcci´on descrita en el teorema 2.20convierte a Er(k) en un grupo abeliano.
a) Si S es un nodo racional con tangentes Y =α1X+β1, Y =α2X+β2,
entonces la aplicaci´onEr(k)−→k∗ dada por (x, y)7→ yy−α1x−β1
−α2x−β2
es un isomorfismo de grupos.
b) Si S es una c´uspide con tangente Y = αX +β, entonces la aplicaci´on
Er(k)−→k+ dada por
(x, y)7→ yx−x(S) −αx−β
es un isomorfismo de grupos.
Demostraci´on: Vamos a demostrar que la aplicaci´on descrita en cada apartado es biyectiva, as´ı como que si una recta corta aEr(k) en dos puntos no necesariamente distintos, el tercer punto tambi´en est´a en Er(k) y el producto (resp. la suma) de las im´agenes de los tres puntos es 1 (resp. 0). De aqu´ı se sigue inmediatamente que la aplicaci´on correspondiente conserva las operaciones, por lo que la suma enEr(k) cumple los axiomas de grupo.
Es claro que no perdemos generalidad cambiamos de sistema de referencia, por lo que podemos suponer que la ecuaci´on de E/k es una de las dos dadas por el teorema 2.27:
Y2−X3= 0, Y2+XY −X3= 0.
En ambos casos el punto singular es S = (0,0). Consideremos primero la curvaY2−X3= 0, que tiene una c´uspide con tangenteY = 0. La aplicaci´on es
(x, y)7→xy.
Si tomamos como coordenadas afinesX yZ en lugar deX, Y, la ecuaci´on se transforma en Z −X3 = 0 y la aplicaci´on en (x, z)7→ x. Ahora el punto
singularS= [0,0,1] est´a en el infinito yO= (0,0). La aplicaci´on biyectaEr(k) conk+, pues tiene inversat7→(t, t3).
Es claro que las rectas que pasan porS (las rectas verticales) cortan aEr(k) en un ´unico punto (contando multiplicidades), por lo que una recta que pase por dos puntos de Er(k) no puede pasar por S (no es vertical). Esto implica que la suma enEr(k) est´a bien definida y, dada una rectaZ=aX+bque pase por tres puntosP1,P2, P3∈Er, tenemos que las coordenadasxi dePi son las ra´ıces de la ecuaci´on
Como no hay t´ermino enX2, concluimos quex
1+x2+x3= 0.
Pasemos ahora a la ecuaci´onY2+XY −X3= 0, que tiene un nodo en (0,0)
con tangentesY = 0 eY =−X. La aplicaci´on es (x, y)7→1 +x/y. Si hacemos el cambioX =X0−Y0 la ecuaci´on se transforma en
XY −(X−Y)3= 0
y la aplicaci´on en (x, y) 7→ x/y. Conviene observar que ahora la ecuaci´on no es de Weierstrass. AhoraO = [1,1,0] yS = (0,0). Como en el caso anterior, tomamos como variables afinesX yZ, con lo que la curva se convierte en
XZ−(X−1)3= 0
y la aplicaci´on en (x, z)7→x. AhoraO = (1,0) y S= [0,0,1]. La aplicaci´on es biyectiva (como aplicaci´onEr(k)−→k∗), pues tiene inversa dada por
t7→(t,(t−1)3/t).
Como en el caso anterior, las rectas que pasan porSson verticales y cortan aEr(k) en un solo punto (o en ninguno en el caso de X = 0), por lo que la suma est´a bien definida y si una recta (no vertical)Z =aX+bcorta a Er(k) en tres puntosP1,P2,P3, las coordenadasxi correspondientes son las ra´ıces de la ecuaci´on
X(aX+b)−(X−1)3= 0.
Como el coeficiente deX3es−1 y el t´ermino independiente es 1, concluimos
quex1x2x3= 1.
Si la singularidad es un nodo irracional, se sigue cumpliendo parte del teo- rema anterior: el conjuntoEr(k) sigue siendo un grupo, aunque su estructura es un poco m´as delicada. LlamemosKa la extensi´on cuadr´atica dekque contiene a las pendientes de las tangentes a E por su nodo. Sea σ el k-automorfismo no trivial deK. Las pendientes de las tangentes son las ra´ıces de un polinomio dek[T], luego son conjugadas sobrek. Las dos tangentes son rectas que pasan por un mismo punto racional con pendientes conjugadas, luego σ(α1) = α2, σ(β1) =β2.
La curva E/K tiene un nodo racional, luego podemos aplicarle el teorema anterior. Si llamamosφ:Er(K)−→K∗ al isomorfismo correspondiente, para cadaP = (x, y)∈Er(K) tenemos que
φ(P)σ= y σ−ασ 1xσ−βσ1 yσ−ασ 2xσ−βσ2 = y σ−α 2xσ−β2 yσ−α 1xσ−β1 =φ(Pσ)−1.
Tenemos que P ∈Er(k) si y s´olo siP =Pσ, si y s´olo siφ(P) =φ(Pσ), si y s´olo si φ(P)φ(P)σ = 1, si y s´olo si NK
k (φ(P)) = 1. As´ı pues, los elementos de Er(k) se corresponden a trav´es de φ con el n´ucleo de la norma, que es un subgrupo de K∗, luego E
r(k) es un subgrupo de Er(K). Hemos probado el teorema siguiente:
Teorema 2.31 Sea E/k una c´ubica definida por una ecuaci´on de Weierstrass con un nodo irracional S. Entonces la suma en Er(k) definida mediante la construcci´on descrita en el teorema2.20convierte aEr(k)en un grupo abeliano isomorfo al n´ucleo de la norma de la extensi´onK/k, dondeK es la adjunci´on ak de las pendientes de las tangentes aE por su nodo.
El caso que m´as nos interesa es el de curvas definidas sobre cuerpos finitos:
Teorema 2.32 Si E/k es una c´ubica singular definida por una ecuaci´on de Weierstrass sobre un cuerpo finitokdem elementos, entonces
|Er(k)|=
m−1 siE/k tiene un nodo racional,
m+ 1 siE/k tiene un nodo irracional,
m siE/k tiene una c´uspide.
Demostraci´on: El caso del nodo irracional se sigue de que la norma de una extensi´on de cuerpos finitos es suprayectiva, luego, con la notaci´on del teorema anterior,|K∗|=m2−1 y el n´ucleo de la norma tiene (m2−1)/(m−1) =m+ 1
elementos.
Es claro que si la singularidad es un nodo entoncesEr(k) es un grupo c´ıclico, mientras que si es una c´uspide es un grupo elemental (producto de c´ıclicos de orden primo). Siktiene orden primoEr(k) es c´ıclico en cualquier caso.