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21.0 Completion certificate:
El método de penalización es una de las herramientas que pueden ser utilizadas para resolver problemas de optimización con restricciones. Este método es comúnmente usado en diversos trabajos para el manejo de las restricciones tanto de igualdad como de desigualdad [5]. Los métodos de penalización son procedimientos para aproximar los problemas de optimización restringidos por problemas sin restricciones. Esta aproximación se realiza añadiendo a la función objetivo un término que representa un alto costo de violación de las restricciones. Cuando se presenta un problema que involucra restricciones como el planteado en (2.16), es necesario intentar resolverlos mediante técnicas que brinden resultados confiables. Uno de los métodos de mayor aplicabilidad es el método de penalización. El procedimiento general del método consiste en reemplazar el problema (2.16) por un problema de la forma:
) ( ) (
min f z +γp z (2.43) en donde se encuentra asociado un parámetro constante positivo γ que determina la severidad de la penalización, p(z) es una función real de n variables reales que satisface:
i) p(z) es continua
ii) p(z) ≥ 0, ∀ z con componentes reales
iii) p(z) = 0 si z está en la región factible
Considerando el problema planteado en (2.16), una función de penalización útil que incluya las m restricciones de igualdad y las p restricciones de desigualdad puede ser el siguiente:
( )
(
( )
)
(
[
( )
])
2 1 1 2 0∑
∑
= = − + − = p i i i m i i i z b h z c g z p max , (2.44)La función γ p(z) se ilustra en la Fig. 2.2 en la que se tienen dos restricciones de
desigualdad: z – b ≤ 0, y a – z ≤ 0.
Figura 2.2. Aproximación de la función p(z) a las restricciones originales del problema
para valores crecientes de γ se espera que los puntos correspondientes a la solución se aproximarán a la región factible, lo cual tenderá a minimizar a la función f(z).
Entre las formas para penalizar a una función de acuerdo a la violación de ciertas restricciones impuestas para un problema se pueden mencionar [1, 9]:
• Puede penalizarse una solución simplemente por no ser factible. No se requiere conocer qué tan cerca se encuentra de la región factible.
• Puede usarse el valor de infactibilidad de una solución para determinar la penalización correspondiente, y
• Puede repararse dicha solución, lo que implica un costo para hacerla factible.
En el capítulo 3 se revisarán diversas variantes de la función de penalización que se han propuesto en la literatura comentando sus ventajas y desventajas.
2.8 Técnicas Heurísticas.
Existen muchos problemas prácticos de optimización del área de ingeniería, en particular los sistemas de manufacturas que son muy complejos por naturaleza y resultan difíciles de resolver usando las técnicas convencionales de optimización [8-9]. En la literatura se definen tres tipos principales de métodos de búsqueda de la solución óptima. Métodos basados en cálculos, enumerativos y las técnicas aleatorias.
Los métodos basados en cálculo se subdividen en dos categorías: directos e indirectos. Los métodos indirectos buscan un punto extremo local resolviendo un conjunto de ecuaciones no lineales derivados de igualar a cero el gradiente de la función objetivo. Esta es una generalización del cálculo elemental para encontrar puntos óptimos; considerando una función suave, sin restricciones, encuentra un posible punto óptimo restringiendo la búsqueda a todos aquellos puntos en todas direcciones con pendiente igual a cero. Los métodos de búsqueda directa encuentran puntos óptimos locales basados en la función y moviéndose en la dirección del gradiente.
La diferencia entre las técnicas de búsqueda local y global es que las técnicas locales producen resultados que son altamente dependientes del punto de arranque o de las condiciones de operación inicial. Uno de los problemas de las técnicas clásicas de optimización es que suelen requerir información que no siempre se encuentra disponible. Por ejemplo, métodos como el del gradiente conjugado requieren de la primera derivada de la función objetivo. Otras técnicas como la de Newton requieren de la segunda derivada, por consiguiente, si la función objetivo no es derivable estos métodos no pueden ser aplicados [3-4]. Muchos problemas prácticos se caracterizan por ser no-diferenciables, discontinuos y no-convexos en algunos puntos [9]. Si las técnicas de programación convencionales fueran usadas para este tipo de problemas, resultarían ser ineficientes, con un alto costo computacional y en muchos casos, podrían encontrar un óptimo relativo
cercano al punto de operación de arranque. Cuando las técnicas de búsqueda clásicas y de optimización son insuficientes para resolver de una manera satisfactoria el problema, es cuando las técnicas heurísticas son una buena alternativa para resolverlos. Los algoritmos de búsqueda aleatoria han alcanzado una creciente popularidad entre los investigadores en fechas recientes motivados por ser técnicas eficientes, globales y robustas.
Templado Simulado (Simulated Annealing), Redes Neuronales, Búsqueda Tabú
(Tabu Search), Escalando la Colina (Hill Climbing) y Algoritmos Genéticos representan una nueva clase de técnicas de programación matemática que se han considerado prometedores durante la última década.
El templado simulado es un método de búsqueda global que usa variaciones estocásticas para aceptar o rechazar nuevas soluciones para evitar quedar atrapado en mínimos locales; es una técnica que ha brindado resultados útiles para localizar el mínimo global de una función objetivo o función de costo derivados de sistemas complejos no- lineales. El método de templado simulado fue propuesto por Kirkpatrick, Gelattt y Vecchi en 1983 como un algoritmo de optimización combinatorio [13]. El método de templado simulado es análogo a considerar un proceso físico de templado de materiales sólidos basado en el enfriamiento de los cristales. El algoritmo requiere de una temperatura inicial, una temperatura final y una función de variación de la temperatura. Una de las ventajas de este método es que no requiere mucho espacio de almacenamiento en memoria.
El método de Redes Neuronales está basado en una estructura de procesamiento de información paralela, distribuida, que consiste de elementos de procesamiento (puede tener una memoria local y realizar operaciones de procesamiento de información localizada) inter-conectados vía canales de señales uni-direccionales llamadas conexiones [6]. Cada elemento de procesamiento tiene muchas entradas y una sola salida que se ramifica con tantas conexiones colaterales como se desee. El elemento de procesamiento de salida puede ser de la forma
( )
z v f x& = ,donde x es el estado interno de excitación de la neurona, z es el valor de la conexión de la entrada i a la neurona j-esima, y v es la salida de la neurona definida como v = f(x) donde f es una función no- lineal que mapea la señal de excitación interna a la salida. El comportamiento entrada-salida del elemento de procesamiento depende de los valores (pesos) de los parámetros z.
En forma general, las redes neuronales artificiales se pueden definir como [14]:
a) El elemento de procesamiento o las características de la neurona
(
x& = f( )
z,v)
es lo que determina qué puede hacer la neurona.b) Regla de aprendizaje. En este caso, está definido por z&=g
(
z,x,v)
, esto es, cambia el peso de la conexión de acuerdo con los estímulos.c) Topología de la red neuronal. Se refiere a cómo están conectadas las neuronas. El método de la Búsqueda Tabú fue originalmente propuesto por Glover en 1977 [12]. La búsqueda Tabú emplea una memoria a corto plazo para guiar la búsqueda, de tal forma que algunas soluciones examinadas recientemente se memorizan y se vuelven tabú (prohibidas) al tomar decisiones acerca del siguiente punto de búsqueda. De manera general, al método de búsqueda tabú se le asocia la habilidad para escapar de óptimos locales usando la memoria de recientes soluciones conocidas como lista tabú [15]. El método de búsqueda tabú funciona con dos principales características que son: las restricciones como lista tabú y el criterio de aspiración de las solución asociada con los movimientos almacenados [11]. Esta técnica no es estocástica y se le clasifica dentro de las técnicas determinísticas; el término determinístico significa que sin importar lo que haga el algoritmo, sólo hay una cosa que puede hacer a continuación (es decir, el paso siguiente se determina por los anteriores).
Escalando la colina es una técnica de búsqueda local, se aplica a un punto a la vez. A
partir de ese punto, se generan diversas soluciones posibles y se selecciona al mejor de ellos. Este algoritmo no tiene retroceso ni guarda ningún tipo de información pasada. El algoritmo puede fácilmente quedar atrapado en óptimos locales. Asimismo, está considerado como un algoritmo determinístico [8-10].
Los Algoritmos Genéticos son técnicas de búsqueda basadas en la mecánica de selección natural y de la genética natural [8-9]. Filosóficamente, los algoritmos genéticos están basados en la teoría de Darwin o en la supervivencia del más apto. Los elementos básicos de la genética natural, reproducción, mutación y cruzamiento son operadores que se utilizan en el procedimiento de búsqueda del algoritmo [10, 18]. Algunos de los atractivos de los algoritmos genéticos son:
(1) Los algoritmos genéticos son robustos en el sentido que son aplicables a una gran variedad de problemas con una pequeña o sin modificación de la técnica.
(2) Los algoritmos genéticos pueden manejar todos los espacios de búsqueda, incluyendo los espacios no-suaves, discretos continuos, discontinuos aún pertenecientes a espacios no convexos.
(3) Pueden manejar funciones multi-objetivos sin necesidad de definir una función objetivo compuesta.
(4) Los algoritmos genéticos pueden identificar múltiples soluciones óptimas en un amplio espacio de búsqueda.
(5) Los algoritmos genéticos pueden usarse para la optimización en programación dinámica [16-17].
Motivado por lo anterior, los algoritmos genéticos se han popularizado en los últimos años para la solución de problemas de optimización; esta técnica usa una función objetivo cuando el problema es analizado sin restricciones. Con la incorporación de las restricciones,
el conjunto de la función objetivo y el término de penalización para la violación de restricciones forman la función de aptitud del problema planteado [8].
2.9 Resumen.
En este capítulo se resumen algunas de las técnicas clásicas para optimizar problemas lineales y no lineales. Las técnicas de programación no lineal convencionales se pueden utilizar para la solución de problemas específicos, aunque pueden resultar ineficientes, con un alto costo computacional y en algunos casos pueden quedar atrapados en mínimos locales, condición no deseable en problemas de optimización. Se describen algunas técnicas heurísticas como una buena alternativa para solucionar problemas que por su complejidad no pueden ser resueltos de manera precisa por los métodos clásicos. Se presenta asimismo un método para incluir restricciones en la función de optimización; este método se basa en la pena lización de violaciones de restricciones. Como una alternativa confiable, aparecieron los algoritmos genéticos desarrollados por Holland en 1960.
En este trabajo la metodología desarrollada se basa en un algoritmo genético como una técnica robusta aplicada a la coordinación de estabilizadores en los sistemas eléctricos de potencia, y la inclusión de restricciones de seguridad (como una aportación importante del trabajo) para mantener al sistema de potencia dentro de la región estable de operación, que permita garantizar un suministro de potencia seguro y confiable a los consumidores aún cuando el sistema esté sujeto a perturbaciones.
Referencias
[1] David G. Luenberger, “Introduction to Linear and Nonlinear Programming”. Addison- Wesley Publishing Company, 1973.
[2] G. S. G. Beveridge and R. S. Schechter, “Optimization: Theory and Practice”. McGraw- Hill, New York, 1970.
[3] Singiresu S. Rao, “Engineering Optimization, Theory and Practice”. Third Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1996.
[4] Singiresu S. Rao, “Optimization: Theory and Applications”. Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1984.
[5] A. J. Morris, “Foundations of Structural Optimization”. John Wiley & Sons, Inc. New York, 1982.
[6] A. K. Dhingra and S. S. Rao, “A Neural Network based Approach to Mechanical Design Optimization”. Engineering Optimization, Vol. 20, Pp. 187-203, 1992.
[8] D. E. Goldberg, “Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning”. Addison-Wesley, 1989.
[9] M. Gen and R. Cheng, “Genetic Algorithms & Engineering Design”. John Wiley & Sons, Inc. 1997.
[10] Melanie Mitchel, “An Introduction to Genetic Algorithms”. A Bradford Book, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, Fifth Printing, 1999.
[11] A. H. Mantawy, Y. L. Abdel-Magic and Shokri Z. Selim, “Integrating Genetic Algorithms, Tabu Search, and Simulated Annealing for the Unit Commitment Problem”. IEEE Transaction on Power Systems, Vol. 14, No. 3, Pp 829-836, August 1999.
[12] F. Glover, “A user guide to Tabu Search”. Annals of Oper. Reas., Vol. 41, Pp 3-28, 1993. [13] S. Kirkpatrick, Jr. C. D. Gelatt, and M. P. Vecchi, “Optimization by simulated
annealing”. Science, 220(4598), Pp. 671-680, 1983.
[14] Behnam, Bavarian, “Neural Networks”. Electrical Engineering, Handbook, Editor–in- Chief, Richard C. Dorf, Pp. 420-429, 1993.
[15] Y. L. Abdel-Magic, M. A. Abido and A. H. Mantawy, “Robust Tuning of Power System Stabilizers in Multimachine Power Systems”. IEEE Transaction on Power Systems, Vol. 15, No. 2, Pp 735-740, May 2000.
[16] G. N. Taranto and D. M. Falcao, “Robust decentralized control design using genetic algorithms in Power Systems”. IEEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 145, No. 1, Pp 1-6, Jan 1998.
[17] M. A. Abido and Y. L. Abdel-Magic, “A genetic -based Power Systems stabilizer”. Electric Machines and Power Systems, Vol. 26, No. 6, Pp 559-571, 1998.
[18] John H. Holland, “Adaptation in natural and artificial systems”. Ann Harbor: University of Michigan, Press, 1975.
CAPÍTULO 3
Algoritmos Genéticos
3.1 Introducción
Existen diversas técnicas de optimización que han sido desarrolladas para buscar la optimalidad de una función. Sin embargo, se conoce una gran variedad de problemas que no se pueden solucionar de manera exacta debido a su complejidad. El tiempo de ejecución de cualquier algoritmo preciso para la solución de estos problemas depende del tipo de problema, llegando a tener un tiempo de solución exponencial en algunos casos. Los métodos convencionales que ut ilizan el conocimiento del problema reducen la complejidad del mismo para algunos casos particulares utilizando herramientas heurísticas. El conocimiento del problema mejora en parte el proceso de su ejecución, pero la complejidad del problema mismo es fija por lo que los esfuerzos son aún insuficientes y la solución que se logra no es precisa. Por consiguiente, se requieren de otras técnicas que brinden mejores resultados para solucionar problemas de gran complejidad. Los métodos evolutivos constituyen uno de estos métodos usados para la búsqueda de las soluciones óptimas mediante algún proceso de búsqueda aleatoria. Una característica relevante de los métodos evolutivos es que buscan soluciones sin tener conocimiento previo del problema. Los métodos evolutivos también son conocidos como métodos heurísticos y tienen como ventaja el reducir los inconvenientes que se presentan al usar las técnicas convencionales de optimización debido a que utilizan un espacio de búsqueda generado aleatoriamente.
En este trabajo se analiza y se aplica el algoritmo genético como un método evolutivo para resolver el problema de la coordinación de estabilizadores y el mejoramiento de la seguridad en los sistemas de potencia.