Dado un modelo que representa a un sistema físico por medio de ecuaciones diferenciales y una cierta condición inicial, el primer análisis de las posibles soluciones es si tal solución realmente existe. Las variables de un sistema físico evolucionan sin ambigüedad a partir de una condición inicial. Sin embargo el modelo matemático puede presentar algunos inconvenientes. Una ecuación diferencial con una condición inicial dada puede tener una, ninguna, o varias soluciones. Además puede ocurrir que la solución exista sólo en un entorno del punto inicial (local) o puede tener solución global, es decir la solución existe para todo w> esto se entiende que vale en todo intervalo de tiempo [w0> w1] contenido en [w0>+4)= La continuidad de i(w> {)
asegura la existencia de al menos una solución y la condición de Lipschitz establece condiciones sucientes sobre la existencia y unicidad global de las soluciones como lo muestran los siguientes teoremas:
Teorema 1 Existencia y unicidad local. Sea i(w> {) una función continua en {
y en w, y tal que existen constantes w1> O> k, y % que satisfacen
ki(w> {)i(w> |)k Ok{|k (condición de Lipschitz)
ki(w> {0)k k
;w5[w0> w1]y;{> |5E%, dondeE% ={{5Rq| k{{0k? %}=Entonces la ecuación
de estado{ =i(w> {), con{(w0) ={0 tiene una única solución en el intervalo [w0> w1].
1.1. DESCRIPCIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS 11
{ y en w, tal que para cada w1 5[w0>4)> existen constantes O yk que verican
ki(w> {)i(w> |)k Ok{|k (condición de Lipschitz)
ki(w> {0)k k
;w 5[w0> w1] y;{> | 5Rq= Entonces la ecuación de estado { =i(w> {), con{(w0) ={0
tiene una única solución en cada intervalo [w0> w1].
En (Vidyasagar, 1993) se puede encontrar la demostración de estos teoremas utilizando el concepto de aplicaciones contraídas. La condición de continuidad de i con respecto a w se puede relajar a continuidad a tramos sin afectar la validez de los teoremas; en cambio la condición de Lipschitz implica la continuidad de i con respecto a{. Otra propiedad de interés en las soluciones es la continuidad sobre las condiciones iniciales y ciertas variables del sistema que se denominan parámetros. Estos parámetros son variables pero no dependientes del tiempo o bien su depen- dencia y variación es despreciable o no considerada. Se utilizan para describir una familia de sistemas, y cuando se les da un valor numérico sirven para identicar a un sistema de dicha familia. Si se modican levemente los valores de las condiciones iniciales o de los parámetros se espera que varíen poco las soluciones, al menos en un intervalo de tiempo dado, como lo muestra el siguiente teorema sobre la continuidad de las trayectorias:
Teorema 3 Dependencia de las condiciones iniciales y parámetros. Sea
i(w> {> ) continua en (w> {> ) y localmente Lipschitz en {(uniformemente en w y ) sobre [w0> w1]×G× {k0k f}> donde G Uq es un conjunto abierto conexo.
Sea |(w> 0) una solución de { = i(w> {> ) con |(w0> 0) = |0 5 G. Se supone que
|(w> 0) está denida y permanece en G para todo w5[w0> w1]. Dado un % A0, existe
un A0 tal que si
entonces existe una única solución }(w> ) de { = i(w> {> ) denida en [w0> w1], con
}(w0> 0) =}0, y }(w> ) satisface
k}(w> )|(w> 0)k? %, ; w 5[w0> w1]=
La interpretación de este teorema nos indica que el mapa que asocia a cada condición inicial la correspondiente solución en un intervalo[w0> w1]>es continuo. Re-
sumiendo, si i es una función continua y localmente Lipschitz, la solución en un intervalo de tiemponito (cerrado y acotado) existe, es única y varía en forma con- tinua con respecto a las condiciones iniciales y a los parámetros. Sin embargo esto no siempre se cumple si se considera un intervalo de longitud innita [w0>4)= En
este caso el concepto está asociado al de estabilidad como se verá más adelante. Del mismo modo, si se consideran pequeños cambios en los parámetros, el mapa que asocia a cada parámetro la solución particular para una condición inicial dada, en un intervalo de tiempo establecido [w0> w1]> es una aplicación continua. Sin embargo,
si se considera un intervalo de tiempo de longitud innita, otros fenómenos pueden ocurrir. En especial, para ciertos valores críticos de los parámetros el sistema puede cambiar su comportamiento en forma cualitativa (como por ejemplo que aparez- can o desaparezcan puntos de equilibrio y soluciones periódicas, o que cambien su estabilidad) y a este fenómeno se lo conoce como bifurcación.
Aunque el teorema de existencia y unicidad local muestra que el sistema (1.1) tiene solución única cuando i es localmente Lipschitz, este resultado sólo es su- ciente. En (Vidyasagar, 1993) se muestra que “prácticamente todas” las ecuaciones diferenciales tienen solución única. Orlicz (1932) demostró que el conjunto de fun- ciones i para los cuales la ecuación{ =i(w> {(w))tiene solución única es el comple- mento de un conjunto “magro” (Orlicz, 1932). Esta es una situación paradójica ya que el teorema de Orlicz establece que casi todas las ecuaciones diferenciales tienen solución única, pero “prácticamente ninguna” puede caracterizarse explícitamente (sólo las que son Lipschitz continuas).
1.1. DESCRIPCIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS 13
Aprendí que no se puede dar marcha atrás, que la esencia de la vida es ir hacia adelante. La vida, en realidad, es una calle de sentido único.
(Agatha Christie)
Trayectorias u órbitas
En esta sección se tratarán a las soluciones desde un aspecto más geométrico, como un conjunto de puntos en el espacio de estados. Seav(w> {0)la solución de (1.1)
correspondiente a la condición inicial {(0) ={0, evaluada en el tiempow= En otras
palabras, v satisface la ecuación gwgv(w> {0) =i(v(w> {0))> ;w0> v(0> {0) ={0=
Sea {0 5 Rq arbitrario; toda solución dene un conjunto de puntos llamado
trayectoria u órbita V+({0) que es la imagen en el espacio de estados del intervalo
[0>+4)al aplicar la función temporal {(w) =v(w> {0), es decir
V+({0) = ^
wD0v(w> {0)>
dene la trayectoria resultante vista como un subconjunto de Rq. Muchas veces es conveniente considerar también las soluciones para el intervalo de tiempo 4 ? w 0> con la condición de que allí existan interpretando a v(w> {0) como una curva
en Rq parametrizada enw, para
4? w ?4, es decir la órbita queda formada por el conjunto de puntos V({0) =
"
^
w=3"v(w> {0)= El punto {0 divide a la trayectoria en
dos mitades o semiórbitas: V+({0)y V3({0)=
Denición 6 Un conjuntoP Rqse denomina conjunto invariante de la ecuación
diferencial {(w) =i({(w)) ;w0 si para cada {0 5P,v(w> {0)5P> ;w 0.
En otras palabras un conjunto es (positivamente) invariante si para toda condi- ción inicial en el conjunto, la trayectoria resultante permanece en el conjunto en todo tiempo futuro. Algunos ejemplos ilustrativos son: el conjunto V({0), un punto
de equilibrio, y toda solución periódica. La imagen de una solución periódica en el espacio de estados es una trayectoria cerrada, generalmente llamadaórbita periódica
u órbita cerrada. Sin embargo no toda trayectoria cerrada es una órbita periódica, por ejemplo: en R2> {(w) = sen(w2),|(w) = cos(w2)=
Ejemplo 2 Para el péndulo no forzado sin fricción (t2 = 0)
{1 = {2>
{2 = t1sen{1>
considérese la función de energía Z({) = {2
2@2t1 + (1cos{1), donde el primer
término corresponde a la energía cinética y el restante a la energía potencial. El conjunto de puntos que verican Z({) = n> donde n es una constante positiva, forman un invariante pues gwg (Z[{(w)]) = 0>es decir Z se mantiene constante sobre toda la trayectoria. Estos invariantes corresponden a soluciones periódicas y puntos de equilibrio, como puede verse en la Fig.1.2, las simulaciones grácas de trayectorias en el espacio de estados.