Para los procesos basados en planteamientos del tipo Perona-Malik es necesario establecer uncriterio de parada. El objetivo es que el proceso de difusión se detenga, evitando llegar a la imagen de un único nivel de gris, que coincide con el valor medio de los grises de la imagen. Esto es consecuencia de la ecuación (2.5) y las condiciones de contornoNeumann homogéneas, que puede interpretarse como la modelización de un sistema térmicamente cerrrado. En el contexto del problema de la eliminación del
Capítulo – 2. ESTADO DE LA TÉCNICA
ruido de una imagen se han propuesto diferentes criterios.
Sporring y Weickert en [86] estudian el comportamiento de las entropías generalizadas y conjeturan que los intervalos en los que se producen pequeños cambios indican escalas especialmente estables en la evolución con respecto al tiempo. Puesto que la entropía puede ser estable en intervalos, no es sencillo determinar un instante en el que detener el proceso de difusión.
La entropía también es utilizada por Awate y Whitaker en [12]. Empíricamente, han observado que el procesado de la imagen disminuye la aleatoriedad introducida por el ruido más rápidamente que la aleatoriedad inherente a la imagen. Por ello, proponen que un tiempo de parada adecuado será cuando la tasa relativa de cambio de la entropía sea inferior a un umbral fijado de antemano.
Algunos criterios asumen que la varianza del ruido, σ2, es conocida y que puede estimarse de la imagen que se va a procesar. Así, Weickert [101], introduce lavarianza relativa, que es el cociente entre las varianzas de la imagen procesadau(x, t)en el instantety la imagen inicial ruidosau0(x) =u(x,0)
r(t) = Var(u(x, t))
Var(u0(x))
Como la varianzaVar(u(x, t))de una imagen decrece monótonamente y converge a cero cuandot→
+∞, el valor de la varianza relativa,r(t), decrece de 1 a 0. Se establece un tiempo de parada,TW, fijando un valor umbral sobre la varianza relativa. Dicho umbral se propone basándose en el conocimiento a priorisobre la varianza del ruido.
En [32], Gilboa, Sochen y Zeevi, suponen que la imagen a procesaru0(x) es la suma de la imagen ideal,s(x), y de ruido aditivo,n(x), devarianza conociday tal queCorr(s(x), n(x)) = 0.
u0(x) =s(x) +n(x)
Durante el proceso de difusión,
u0(x) =u(x, t) +v(x, t) dondev(x, t)es la llamada parte residual deu0(x).
El criterio propuesto se basa en maximizar la relación señal/ruido (SNR) deu(x, t).
SNRopt≡máxtSNR(u(x, t)) donde SNR(u(x, t))≡10 log Var(s(x)) Var(u(x, t)−s(x)) = 10 log Var(s(x)) Var(n(x)−v(x, t))
Entonces, maximizar el SNR es equivalente a minimizarVar(n(x)−v(x, t))por serVar(s(x))cons- tante. Sustituyendo
Var(n(x)−v(x, t)) = Var(n(x)) + Var(v(x, t))−2 Cov(n(x), v(x, t))
obtienen el siguiente tiempo de parada,
TGSZ = m´ın t { 1 2∂tVar(v(x, t))>C(t) }
dondeC(t)es una estimación de la covarianza den(x)yv(x, t). Este criterio también se ha utilizado en [31].
Un criterio que no requiere el conocimiento a priori de la varianza de la imagen es el criterio de decorrelaciónpropuesto por Mrázek y Navara [55]. Parten de la hipótesis de que la imagen original (libre de ruido) y el ruido están incorrelacionados. Entonces la imagen procesada óptima será aquella cuya correlación con la parte residual de la imagen sea mínima, es decir,T =argmint{Corr(u(x, t), v(x, t))}.
Los autores indican que la hipótesis de que la imagen original y el ruido no estén correlacionados puede
2.3. Métodos basados en EDP’s
ser cierta al principio del proceso, pero, en general no será cierta para las imágenes filtradas y la parte residual, por tanto, no existe un único mínimo y en la práctica el tiempo de parada viene dado por:
TM N = m´ın
t {∂tCorr(u(x, t), v(x, t))>0}
Bazán y Blomgren [13] proponen un tiempo de parada basado en la observación del comportamien- to de la correlación entre la imagen ideal u(x), es decir, sin ruido, y la imagen filtrada, u(x, t), y la correlación entre la imagen inicialu0(x) y la imagen filtrada. En las etapas iniciales del proceso de di- fusión la correlación entre la imagen ideal y la imagen filtrada,Corr(u(x), u(x, t)), crece a medida que se va eliminando el ruido. Este crecimiento alcanza un máximo y comienza a decrecer a medida que la imagen va tendiendo a la imagen con un único valor de gris. Por otra parte, durante el mismo pro- ceso, la correlación entre la imagen inicial y la imagen filtrada, Corr(u0(x), u(x, t)), decrece desde el valor uno hasta un valor constante próximo a la correlación entre la imagen ideal y la imagen inicial,
Corr(u(x), u0(x)). Experimentalmente observan que el máximo deCorr(u(x), u(x, t))se obtiene cuan- do la funciónCorr(u(x), u0(x))pasa de cóncava a convexa, es decir, cuando la derivada segunda de la funciónc(t) = Corr(u0(x), u(x, t))alcanza un máximo.
Vanhamelet al.[93] proponen un criterio basado en la maximización de una estimación de la corre- lación entre la imagen procesada y la imagen original.
En los trabajos publicados que se han revisado, los tiempos de parada se han propuesto y utilizado para resolver el problema de eliminación del ruido, que se supone que es ruido blanco o que no está correlacionado con la imagen. En el contexto de la descomposición de una imagen en estructura-textura, únicamente se ha encontrado una aplicación del método de decorrelación (véase Mrázek y Navara [55]). En este caso el objetivo es diferente, pues se utiliza para determinar el parámetro de ponderación entre las componentes detexturaycartoon, en los métodos variacionales aplicados (véase Aujolet al.[11]).
Platero et al.[72], sugieren un tiempo de parada para procesos de difusión no lineal (2.5) para di- fusividades del tipog(r) = (r+ε)1 p. En este caso, siguiendo el trabajo de Welket al.[105], se utiliza una aproximación en diferencias finitas, basada en la distancia promedio entre cada dos píxeles, que de lugar a un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales, que puede resolverse y genera una discretización que se ajusta a un modelo deescala-espaciopropuesto por Weickert [100,103]. A partir de aquí, se llega a una discretización semi-implícita, cuya matriz de coeficientes al ser tridiagonal, definida positiva y es- trictamente diagonalmente dominante se puede invertir. Este proceso inicialmente planteado para tres píxeles, posteriormente se generalizaba paranpíxeles (véase Plateroet al.[71]). Observando el aspecto de la matriz inversa durante el proceso de evolución se propone como tiempo de parada el valor
TP SV =
αpth
5
siendoαpth un valor umbral, determinado por la pendiente a partir de la cual se considera que se pro- duce un realce. Este tiempo de parada se ha utilizado experimentalmente para el pre-procesado de imágenes procedentes de TAC abdominales con buenos resultados, pero es importante tener en cuenta su dependencia de una función de difusión específica.
En el contexto de laestadística robusta[30], Blacket al.[14] plantean un enfoque diferente en cuanto a la necesidad de fijar, con precisión, un tiempo de parada. Adoptan un modelo simplificado de la imagen, suponiendo que la imagen original es de intensidad constante a trozos y que ha sido corrompida con ruido blanco de varianza pequeña, de manera que las discontinuidades (o bordes) de la imagen son considerados datos atípicos del modelo. Entonces, interpretan la ecuación de difusión de Perona-Malik desde el punto de vista de la estimación robusta con el fin de analizar, según la función de difusión utilizada, la influencia de esos datos atípicos en el proceso de difusión. Con este tipo de enfoque y determinadas funciones de difusión basta con fijar una cota superior del tiempo de parada.
CAPÍTULO
3
FORMULACIÓN INTRÍNSECA.
FUNCIONES DE DIFUSIVIDAD
3.1.
Introducción
En este capítulo, primeramente se establecerá una formulación intrínseca relacionada con la difusión no lineal mediante la ecuación, ya planteada (véase página11)
(3.1) ∂tu= div ( g(∥∇u∥2)∇u) si (x, t)∈ΩT u(x,0) =uo(x) si x∈Ω Condiciones iniciales ∂nu= 0 si (x, t)∈∂Ω×(0, T] Condiciones de contorno
El objetivo con esta formulación es buscar las condiciones, que debe cumplir la funciónρ (1.3) o bien
g(1.6), para que permita homogeneizar y aumentar el contraste entre las diferentes regiones de la ima- gen. Con este propósito, se justificará de una manera formal las condiciones de realzado de una imagen en 2D y 3D, que habitualmente se extraen directamente del caso unidimensional. A partir de aquí, se deducirán las condiciones que deben tener las funciones de difusividad, para aumentar el realce entre las regiones.
Por último se propondrá una función de difusividadg, que permita descomponer la imagen inicial en una imagen constante a trozos.
3.2.
Expresión intrínseca de la difusión no lineal
A partir del concepto defunción potencial de difusión escalar, introducido anteriormente (1.6) como:
(3.2) ρ(s) = 1 2 ∫ s2 0 g(t)dt se tiene: ρ′(s) =g(s2)s y ρ′′(s) =g(s2) + 2g′(s2)s2
Esta expresión da pie a definir, de manera más general, elflujo de difusióncomo F(u) =g(∥∇u∥2)· ∇u
Seguidamente, se designa porη = ∇u/∥∇u∥con∥∇u∥ ̸= 0. A partir de aquí, y con otro vectorξ unitario, normal y positivamente orientado respecto deηse forma el sistemaBb ={ξ,η}en el plano. En