Estos métodos utilizan la relación entre la subsidencia y el fenómeno que la produce. Aunque la relación no es estrictamente teórica, sino más bien aparente, aún puede ser usada para estimar la tendencia.
Modelo de Wadachi, 1939. Wadachi (1940) señaló que la tasa de subsidencia, no la cantidad de asentamiento, es proporcional al cambio en el nivel de agua y propuso la siguiente ecuación. 𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑝𝑜 − 𝑝) Ecuación 10 Donde 𝑑𝐻
𝑑𝑡 es la tasa de subsidencia, p0 es el nivel de agua de referencia, p el nivel de agua y k es una constante.
Lo anterior sugiere que existe un nivel de agua de referencia, lo cual quiere decir que si el nivel de agua p se recupera hasta el nivel de agua po no ocurre asentamiento. Pero de acuerdo con estudios realizados por Yamagushi (1969) no hay tal nivel de referencia. En lugar de la ecuación de Wadachi, Yamagushi propone la siguiente ecuación
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑘 ∙ 𝑠𝑐 𝑝𝑜 − 𝑝 𝑡 − 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑒 −𝑘 𝑝𝑜−𝑝 𝑡 Ecuación 11 Donde 𝑑𝑠
𝑑𝑡 es la tasa de subsidencia, sc es la cantidad final de asentamiento, t es el tiempo, las demás variables representan los mismo que en la ecuación anterior.
Resolviendo estas ecuaciones, se gráfica en el eje de las abscisas la cantidad (po- p)
contra 𝑙𝑜𝑔 𝑑𝑠𝑑𝑡/ 𝑝𝑜− 𝑝 𝑡 −𝑑𝑝𝑑𝑡 para obtener sc.
Relación del volumen de subsidencia con el líquido extraído. De acuerdo con Yamamoto, la relación entre la producción de líquido y la subsidencia en el campo de gas en Niigata ha sido expresada por la siguiente ecuación, con buenos resultados:
𝑠 = 𝑎𝑄 − 𝑏, 𝑜 𝑠 = 𝑎 𝑄 + 𝑏 Ecuación 12 Donde
Castle, Yerkes y Riley (1969) declararon que la comparación directa entre varias mediciones de producción de líquido y la subsidencia en seis campos de petróleo muestra una cercana relación. Sin embargo la correlación entre la disminución de la presión en el reservorio y la subsidencia no fue buena, la explicación que dieron fue
“el avance en la teoría general de la explicación de la compactación de reservorios y la resultante subsidencia de campos de petróleo (Gilluly y Gran, 1949) es, en términos generales, más que un desafío. Así, el principio de Terzaghi, el cual relaciona el incremento de esfuerzo efectivo directamente al descenso de presión de poros, probablemente es válido aplicado a sistemas de múltiples fases fluidas. Sin embargo en aparente oposición a esta generalización, la disminución de presión del reservorio dentro de una zona específica fue desproporcinadamente alta respecto a la subsidencia ocurrida durante los primeros años de producción; cualquiera que sea la relación entre la disminución de presión medida en el reservorio y la compactación, estas dos cantidades no son directamente proporcionales.
La explicación más probable para la pobre correlación entre la subsidencia y la disminución de presión en el reservorio es que la ésta última fue medida en pozos de producción individual y generalmente no es representativa de la disminución promedio o sistémica sobre la totalidad del campo. Miller y Somerton (1955) observaron que la reducción de presión promedio en el reservorio es virtualmente imposible de determinar dentro del grado de precisión satisfactorio. Esta deducción, acoplada con lo observado en la linealidad entre la producción de líquido y la subsidencia, sugieren que la producción de líquido puede constituir un mejor indicador de la presión promedio en el reservorio que lo obtenido directamente por medición en un pozo.
La Figura 16 muestra la relación entre el hundimiento del terreno en mm/año y la descarga anual en millones de metros cúbicos al año en Shiroishi, Japón. La Figura 17 muestra la relación esfuerzo-deformación obtenida al graficar la descarga en miles de metros cúbicos al año contra la subsidencia del terreno en mm por mes en Osaka, Japón, para el periodo 1954-1958. La Figura 18 muestra la relación entre el volumen acumulado de hundimiento y el volumen acumulado de agua subterránea bombeada en el área de los Banos, California, desde 1926 hasta 1968. El volumen de subsidencia para este caso igual a un tercio del volumen de bombeo a lo largo de un periodo de 42 años.
Figura 16. Relación entre el hundimiento anual del terreno y la correspondiente descarga (Kumai, 1969)
Figura 17. Correlación entre el hundimiento y la descarga de agua subterránea (Comité Editorial de subsidencia del terreno en Osaka, 1969)
Figura 18. Volumen acumulado de subsidencia y bombeo, Los Banos-Kettleman City, California. Los puntos en la curva de subsidencia indican los tiempos de control de
nivelación (Poland, 1975)
Relación de hundimiento del terreno con el descenso en la cabeza hidráulica. Es la relación entre la subsidencia del terreno y el descenso de cabeza en lechos grueso granulares permeables de los sistemas de acuíferos, para un intervalo de tiempo común. Esto representa el cambio en el espesor por unidad de cambio en el esfuerzo efectivo (Δb/Δ’). Esta relación es útil para predecir el límite inferior para la magnitud de subsidencia en respuesta a un incremento a lo largo de la curva de esfuerzo virgen. Si la presión de poros en el acuitardo compactado alcanza el equilibrio con la presión en los acuíferos adyacentes, entonces la compactación se detendrá y la relación subsidencia/descenso de cabeza hidráulica será una medida verdadera de la compresibilidad virgen del sistema. Hasta que no se alcance el equilibrio de la presión de poros, la relación entre subsidencia y descenso de cabeza es variable.
Las relaciones subsidencia/descenso de cabeza piezométrica pueden derivarse para un punto si el cambio en el nivel de agua para el sistema compactado y el estudio periódico de las elevación de un nivel de referencia están disponibles para un periodo común, por ejemplo, la Figura 14 muestra los registros de subsidencia y el descenso de cabeza para un par de puntos de referencia cercanos a pozos en Houston, Texas. En la gráfica de la izquierda se muestra el descenso de cabeza, en la gráfica de la derecha se muestra el hundimiento medido, se observa que las curvas graficadas coinciden bastante bien, con una relación de escala 1/100 entre las mediciones de subsidencia y las mediciones de descenso de cabeza.
La Figura 14 es otro ejemplo de la cercana relación que existe entre la subsidencia y el descenso de cabeza hidráulica. El intenso bombeo de agua subterránea por más de dos décadas causó un descenso en la cabeza artesiana en cerca de 90m (300pies), produciendo el hundimiento del terreno en cerca de 5.5m (18pies). La relación subsidencia/descenso de cabeza fue en este caso de 1/16 (Lofgren, 1969).