En este capítulo se han estudiado los modelos que separan los parámetros de dimensión fractal y de dependencia a largo alcance. Primero, se han explicado ambas características para identificar la irregularidad local y el comportamiento asintótico y después la caracterización de las familias asociadas de las funciones de covarianza con la separación de sus dos parámetros (clase Dagum, función generalizada de Cauchy y clase Moak) y los comportamientos locales y asintóticos para las anteriores familias. Éstos son modelos fractales fuertemente dependientes, débilmente estacionarios e isotrópicos gaussianos.
Las observaciones funcionales representan un problema importante para problemas de ingeniería y varios científicos han dedicado considerables esfuerzos para abordar el problema de superficies de respuesta. El método
de superficie respuesta (RSM) se usa para aliviar el cómputo de carga del análisis de ingeniería. Se enfatiza en el uso de los métodos de regresión ponderada con el propósito de aproximación funcional [41],[42]. El RSM es consumidor de tiempo para aplicaciones de gran escala y, a veces, muestra grandes errores en el cálculo de la sensibilidad del índice de fiabilidad con respecto a variables aleatorias. Para superar estos problemas, se proponen un eficiente RSM aplicando una aproximación de movimiento de mínimos cuadrados (MLS) en lugar de la tradicional aproximación de mínimos cuadrados generalmente usada en el RSM.
Se considera un modelo de observación funcional del tipo:
n R D N X K Y(
ε
)= ( )(ε
)+ (ε
),ε
∈ ⊂Donde el proceso de interés X es definido como un RF Gaussiano con alguna ordinaria o generalizada función de covarianza. El operador integral K establece la dependencia funcional paramétrica lineal entre la superficie de respuesta Y y las realizaciones de la muestra de X(·)∈HX, con HX el espacio de Hilbert separable donde las trayectorias de X se hallan. El término de error funcional N se modela como un valor Gaussiano de Hilbert (valor-HN) variable aleatoria, con el operador de covarianza RNN =E [N⊗N] y varianza funcional
∞ < 2 N H N E con ⋅HN .
El modelo representado es un problema de regresión lineal típica con variables respuesta y explicativas funcionales. Se adopta una formulación diferente (formulación inversa) que tiene su origen en las propiedades geométricas de las variables funcionales involucradas en esta ecuación, es decir, el espacio Hilbert (Sobolev) asociado con ellos. Las clases de covarianzas para el problema de estimación funcional permiten identificar la dimensión fractal y el efecto de Hurst de los procesos asociados.
La formulación anterior tiene un inmediato efecto en la ecuación de Wiener- Hopf [38], implícitamente definiendo el filtro L involucrado en la definición del
estimador de mínimos cuadráticos X =LY
∧
de X. La formulación funcional de la ecuación en términos de operador basado en identidades funcionales es: RXY=LRYY donde RXY=E [X⊗Y] construido a partir del producto tensorial de
los valores funcionales de X e Y, denota el operador de la covarianza cruzada entre X e Y y RYY= E [Y⊗Y]= RXX+ RNN representa el operador de covarianza de Y modelando la estructura de dependencia espacial de la superficie de respuesta.
Lo anterior puede ser equivalente a:
1 −
=R
XYR
YYL
Donde la definición estable del operador L depende de la inversión limitada del operador RYY. El siguiente resultado ofrece las condiciones que garanticen una definición estable del filtro L definiendo el estimador funcional de mínimos cuadrados X=LYdeX
∧
.
En el caso en el que el proceso de interés viene dado por un RF Gaussiano con una covarianza Dagum , el cálculo estable del operador L se obtiene cuando (n+γβ)/2>α .Para la estimación funcional estable de la clase auxiliar Gaussiana RF teniendo su covarianza definida por la clase Moak , consideramos (γβ)/2 en lugar de (n+γβ)/2.Esto proporciona el escenario del óptimo parámetro funcional para una estable definición del filtro (operador) que define el estimador funcional del RF Dagum de Gauss, con el modelo de covarianza paramétrica dado en términos del vector de parámetros (β, γ).
Se puede llevar a cabo mediante simulación un diseño adecuado del espacio de parámetros funcionales [38].
Se considera un estudio de simulación en el que el RF Dagum Gaussiano está afectado por un ruido fractal aditivo, dado por el RF de Cauchy Gaussiano con su función de covarianza paramétrica caracterizado por el vector de parámetros (α~, θ). Se consideran los distintos valores de (α~, θ,
βy).Las estimaciones funcionales del proceso Dagum , los errores promedios
funcionales cuadráticos y las varianzas estimadas funcionales error se calculan a partir de una muestra de N observaciones funcionales de la superficie respuesta , con K el operador identidad, donde la red inicial regular considerada por aproximación de los datos funcionales es de talla M x M .Los errores cuadráticos funcionales medios (AFQEs) y las varianzas error estimadas funcionales ( EFEVs) son:
Donde, para i =1,…,N, Xi denota la superficie de la muestra definiendo la i- ésima realización del RF Dagum Gaussiano y
∧
i
X
representa su estimación funcional de mínimos cuadráticos. Del mismo modo, para j, k=1,…,M Xi (j,k) denota el valor de la i-ésima realización del RF Dagum de Gauss en la localización espacial (j,k) y Xi(j,k)
∧
representa el valor de su estimación funcional en una ubicación. Al aumentar los valores del parámetro βγ en el
modelo Dagum, la norma del operador de covarianza del RF Gaussiano Dagum se hace más pequeño, ya que la singularidad local del espectro disminuye. Por lo tanto, la estabilidad del filtro estimador funcional
incrementa mejorando la calidad de las estimaciones funcionales. α~ = α - n, para α denotando el orden del espacio fraccional Sobolev identificado con el RKHS del ruido Cauchy aditivo fractal.
Al aumentar los parámetros α~ y βγ hay un comportamiento de cola más
ligero de la función covarianza del proceso de Dagum, es decir, casos menos redundantes. Este hecho también mejora la calidad de las estimaciones funcionales (es decir, los valores estimados de las varianzas error funcionales son más pequeños).
Con referencia a las aplicaciones en términos generales, la introducción de nuevos modelos fractales y con dependencia fuerte , y en particular, la caracterización de sus dependencias locales y globales, en términos de los parámetros adecuados de dependencia fractal y de largo rango tiene un claro interés para problemas relacionados con disciplinas tan diversas como ingeniería mecánica, geología, geografía,…Podemos modelizar eventos extremos (con baja probabilidad de ocurrir) usando la distribución Dagum, como es el caso de campos como la ciencia del medio ambiente (nivel del mar, velocidad del viento,..), oceanografía(corrientes marinas extremas), climatología (velocidades extremas de huracanes), finanzas(compañías de seguros en riesgo de quiebra ante grandes siniestros), en hidrología (niveles de ríos o presas, ver [30]), en ingeniería [25],[26],[27],[28] (construcción de edificios resistentes a sismos), la ciencia del deporte,…Las estadísticas de extremos son útiles sobre todo para variables que poseen una distribución de cola pesada ( Dagum y familias de co varianza auxiliares) [21].