Además de VIII, V y IV, de razón igual a las pitagóricas,
2:
l ,3:2
y4:3,
los nuevos intervalos de la justa entonación son los siguientes:Tercera mayor
5:4
Si afinamos cuatro quintas justas, el resultado (pitagórico) es, como he mos visto, un di tono de razón
8 1 :64
Sol La Mi
Do--Mi justo: 5:4 Do-Mi pitagórico: 8 1 :64.
La IIIM justa es más corta que el ditono pitagórico en
81/64 : 5/4,
=8 1 :80, el
comma sintónico,
o «comma de Dídimo»(21 ,5
cents). Si el afinador quiere hacer justa la IIIM, tendrá que restar el comma en algún lugar de las cuatro quintas.Si nos remitimos a la cuarta, el semitono Mi-Fa aumenta en el comma de Dídimo y da lugar al de razón
1 6: 1 5 (4/3 : 5/4
=1 6/1 5):
Do 9:8 Re 9:8 Mi 256:243 Fa Do 9:8 Re 10:9 Mi 1 6: 1 5 Fa
IIIM
--le.¡
El comma sintónico que expresa la incompatibilidad entre quintas y ter ceras justas será uno de los microintervalos a eliminar en el temperamento.
Equivale a 2 1 ,5062896 .. . cents (2 1 ,5). A pesar de su denominación no co rresponde al comma pitagórico que expresaba la incompatibilidad entre quintas y octavas.
Tercera menor 6:5
También en una razón superparticular, la tercera menor ha sido siempre un intervalo menos decisivo que la tercera mayor. Su razón (6:5) es 1 comma mayor que la del semiditono pitagórico (32:27), ya que si disminuimos en le la IIIM manteniendo igual la V, el intervalo complementario, la Illm, au menta en la misma cantidad:
Re 9/8 Mi 256/243 Fa Re 9/8 Mi 16/ 1 5 Fa Af.
pitagórica
Af. justa
En el círculo de quintas acudimos a su intervalo complementario, la VIM, para no atravesar la V del lobo. Ésta se compone de 3 quintas, justas en la afinación pitagórica, con 1 c menos en una de ellas en la justa (entre Do-Sol o Sol-Re en el ejemplo). Como las quintas que hacen falta para la IIIM son
4,
se da una nueva incompatibilidad entre terceras mayores y menores. Si al hacer una IIIM rebajamos una de las quintas puede ser que la Illm que se construya con 3 quintas justas será pitagórica; si reducimos una quinta de cada 3 para tener terceras menores justas, habrá terceras mayores con 2 quin tas reducidas en un comma (-2c), siendo menores que las justas en l e. Apa rece una nueva incompatibilidad entre consonancias a añadir a los ya conoci dos entre octavas-quintas y quintas-tercerasTerceras mayores
-le
Fa --Dº---sol/
�
Sib Re(
\
-le Mib . La3
/,./J
Sol# ./ Mi""
Do# / _/,././
-le
IIIM Fa-La: justa Illm Fa#-La: pitagórica
Terceras menores --Do ___
-le
Fa�
ol-
le
/
¡ �
Sib : Re(
\ \
: : La3
\ J
Sol# i Mi-le""
Do#\ /le
Illm Do-La: justa61
Este difícil equilibrio entre los intervalos de
V,
IIIM y Illm es un elemen to más en la valoración de los diferentes temperamentos. Cuantos más nos acercamos a unas consonancias, más nos desviamos de otras.Sextas, VIM, 5:3; Vlm, 8:5.
Las sextas son los intervalos complementarios a la octava, 2/ 1 :6/5 = 5:3;
2/ 1 :5/4 = 8:5. Como hemos indicado, la VIM es muy útil como equivalente
a la Illm para los cálculos en el círculo de quintas. El Senario
Las razones de las nuevas consonancias, terceras y sextas, llevaron a G. Zar lino (1 558, ce. 1 3- 1 5) a explorar el mismo problema que los pitagóricos: por qué las razones de las consonancias se encuentran dentro de unos pocos núme ros y más allá comienza el reino de la disonancia. Así como los pitagóricos veían en el número cuatro
(tetractys
de la década) el recinto sagrado de la con sonancia, Zarlino lo extiende alsenario (el
número 6), que aparece en las nue vas consonancias. ¿Por qué el 6 constituye un límite? Zarlino intenta encontrar respuestas de tipo metafísico o numerológico: es el primero de los números «perfectos» en el que la suma de sus divisores es igual a su producto, 1 +2+3 =lx2x3; es además un número «circular»: las sucesivas multiplicaciones por 6 siempre dan números terminados en 6, 6x6 = 36, 36x6 = 216, etc. Zarlino,
muy influido por el neoplatonismo florentino, veía la esencia numérica inmersa en todas las cosas. El c. xiv de las
lstitutioni
presenta una relación de la presencia del senario en el mundo: signos del wdíaco en cada hemisferio, nú mero de planetas, cualidades sustanciales de los elementos, especies de movi miento, líneas de la pirámide triangular, superficies del cubo, trascendentales, número de modos ... , etc. Zarlino mantendrá frente a V. Galilei una visión na turalista de la música; las razones y leyes musicales son leyes naturales.Las razones del senario incluyen las consonancias clásicas y las nuevas: Consonancias pitagóricas: VIII: 2: l , V: 3:2, IV: 4:3
Consonancias de la polifonía: IIIM: 5:4, lllm:6:5, VIM: 5:3, Vlm: 8:5 Pero hay un problema: una de las consonancias, la sexta menor (8:5): tie ne uno de sus términos (8) que no pertenece al
senario.
¿Por qué no poner elottonario
como recinto de las consonancias? Porque habría que dar cabida al número 7 y los intervalos compuestos con este número (7:6, 8:7) se conside raban disonancias. Zarlino acudirá a la distinción aristotélica de «potencia» y «acto» para decir que la Vlm se encuentra en el senario «en potencia», no en acto, lo cual, claro está, no soluciona nada. Posteriormente ( 1 57 1 ) se enfren ta de nuevo al problema considerando las potencialidades delottonario,
pri-mer número cúbico (23), y distinguiendo entre «consonanza propriamente detta» (las del senario) y «consonanza comunmente detta» (sexta menor). Otros autores no se plantean el problema o si lo hacen, pueden decir, como Salinas (1 577,
11,
13-14), que la VIm es la complementaria a la octava de la IIIM y puede reducirse a esta última que sí entra en los seis primeros núme ros. Kepler ( 1 6 1 9) recurre a la geometría y a las características peculiares del heptágono para invalidar el número 7 como generador de consonancias. Hoy puede parecer una cuestión superada o carente de interés pero sigue latiendo el problema. ¿Por qué el intervalo de razón 8:5 es más consonante que 7:4 o 7:5 si sus términos son mayores y están más alejados del unísono?Tonos y semitonos
Hemos visto ya cómo los tonos y semitonos se encuentran en razones mucho más sencillas y siempre superparticulares en la justa entonación que en la afinación pitagórica. La diferencia entre un tono grande de razón 9:8 y uno pequeño de razón 1 0:9 es un comma de razón 8 1 :80 (el comma sintóni co) que va a ser un intervalo a eliminar para hacer tonos iguales. Así como los dos tonos salen de la división de la IIIM, de la división del tono menor ( 1 0:9) salen los semitonos, diatónico, ahora mayor, 16: 1 5, y cromático o menor, 25:24. No ha dejado de sorprender a algunos teóricos renacentistas como Salinas que si siempre era la división del intervalo mayor de donde sur gían los nuevos intervalos (en la VIII, de la