PAPER 1: THE EFFECTS OF VERTICAL INTEGRATION ON AUCTION
5. CONCLUSION
rinf11 pIq qIp rinf12 pIq p⊃q
Derivación: Derivación:
hip pIq hip pIq
(2) pIq⊃.qIp A108 (2) qIp hip,rinf11
qIp rinf01, hip, (2) (3) qIp⊃.p⊃q A103 p⊃q (2),(3),rinf01 rinf13 p, pIq q (Derivación: rinf12, rinf01)
rinf15 pIq, qIr pIr Derivación:
hip2ª qIr hip1ª pIq
(2) rIqI.pIr hip1ª, A101, rinf01 (3) rIq⊃.pIr (2), rinf12
(4) rIq hip2ª, rinf11 pIr (4), (3), rinf01
rinf16 pIq q↓rI.r↓p Derivación:
hip pIq
(2) p∧pIq A119, hip, rinf15 (3) q↓rI.r↓p∨.r↓p (2), A120, rinf01 (4) r↓p∨(r↓p)I.r↓p A118
q↓rI.r↓p (3), (4), rinf15
rinf16bis pIq p∨rI.q∨r Derivación:
hip pIq
(2) q↓rI.r↓p hip, rinf16 (3) r↓pI.p↓r A121
(4) q↓rI.p↓r (2), (3), rinf15 (5) p↓rI.q↓r (4), rinf11 (6) N(p↓r)IN(q↓r) (5), A114,rinf01
p∨rI.q∨r (6), df04
rinf17 pIq p∧rI.q∧r Derivación:
hip pIq
(2) NpINq hip, A114, rinf01 (3) Nq↓NrI.Nr↓Np (2), rinf16 (4) Nr↓NpI.Np↓Nr A121
(5) Nq↓NrI.Np↓Nr (3), (4), rinf15 (6) q∧rI.p∧r (5), df05
p∧rI.q∧r (6), rinf11
rinf18 pIq q∧rI.p∧r Derivación: rinf17, rinf11
rinf19 pIq q∨rI.p∨r Derivación: rinf16bis, rinf11
rinf20 pIq r∧pI.r∧q Derivación:
hip pIq
(2) p∧rI.q∧r hip, rinf17 (3) q∧rI.p∧r hip, rinf18 (4) q∧rI.r∧q A122 (5) r∧pI.p∧r A122
(6) r∧pI.q∧r (5), (2), rinf15 r∧pI.r∧q (6), (4), rinf15
rinf21 pIq r∨pI.r∨q Derivación: hip pIq rinf22 p∧q q Derivación: hip p∧q (2) p∧qI.q∧p A122
(2) p∨rI.q∨r hip, rinf16bis (3) q∨rI.r∨q A123 (4) p∨rI.r∨q (2), (3), rinf15 (5) r∨pI.p∨r A123 r∨pI.r∨q (5), (4), rinf15 rinf24 p , p⊃q , q⊃r r Derivación: hip1ª p hip2ª p⊃q hip3ª q⊃r
(2) q hip1ª, hip2ª, rinf01 r (2), hip3ª, rinf01
rinf25bis pIq ¬pI¬q Derivación:
hip pIq
(2) NpINq hip, A114, rinf01 (3) HNpIHNq (2), rinf25 ¬pI¬q (3), df03 (3) q∧p hip, (2), rinf13 q (3), A01, rinf01 rinf23 p∧q p Derivación: hip p∧q (2) p∧q⊃p A01
p hip, A01, rinf01
rinf25 pIq HpIHq Derivación:
hip pIq
(2) Hp∨HqIH(q∨q) hip, A150/1, rinf0 (3) H(q∨q)IHq A150/3
(4) Hp∨HqIHq (2), (3), rinf15
(5) qIp hip, rinf11
(6) Hq∨HpIHp (de (5), como (4) de hip) (7) HpI.Hq∨Hp (6), rinf11
(8) Hq∨HpI.Hp∨Hq A123 (9) HpI.Hp∨Hq (7), (8), rinf15
HpIHq (9), (4), rinf15
rinf26 pIq , pIr qIr Derivación:
hip1ª pIq hip2ª pIr
(2) qIp hip1ª, rinf11
qIr (2), hip2ª, rinf15
rinf27 qIp , rIp qIr Derivación:
hip1ª qIp hip2ª rIp
(2) pIr hip2ª, rinf11
qIr hip1ª, (2), rinf15
rinf27bis pIq p↓rI.q↓r Derivación:
hip pIq
(2) qIp hip, rinf11
rinf28 p , q p∧q Derivación: hip1ª p hip2ª q
(3) p↓rI.r↓q (2), rinf16 (4) r↓qI.q↓r A121
p↓rI.q↓r (4), (3), rinf15
(2) q⊃.p∧q hip1ª, A150/9, rinf01 p∧q hip2ª, (2), rinf01 rinf29 p→q , q→p pIq Derivación: hip1ª p→q hip2ª q→p (2) p∧qIp hip1ª, df14 (3) q∧pIq hip2ª, df14 (4) pI.q∧p (2), A122, rinf20
pIq (4), (3), rinf15
rinf30 pIq p⊃rI.q⊃r Derivación:
hip pIq
(2) ¬pI¬q hip, rinf25bis (3) ¬p∨rI.¬q∨r (2), rinf16bis
p⊃rI.q⊃r (3), df06
rinf31 pIp’ , p’Ip’’ , p’’Ip’’’, …, p-¹Ip pIp
Derivación: hip1ª pIp’ hip2ª p’Ip’’ hip3ª p’’Ip’’’ . . hipnª p-¹Ip
(2) pIp’’ hip1ª, hip2ª, rinf15
(3) pIp’’’ (2), hip3ª, rinf15
.
(n) pIp (n-1), hipnª, rinf15
rinf32 pIq rIr’ (si r es una fórmula en la que p figura afectado sólo por ocurrencias de ‘I’, ‘H’, ‘↓’, mientras que r’ sólo difiere de r por el reemplazamiento de un número finito cualquiera de ocurrencias de p en r por otras tantas ocurrencias respectivas de q )
Efectúase la derivación por inducción matemática. La inducción matemática es un procedimiento que se funda en el principio siguiente (principio de inducción matemática). Supongamos que se quiere probar que un teorema vale para un número cualquiera de entes que satisfagan determinada condición. Para probarlo basta demostrar:
1º) que para al menos un ente que satisfaga la condición en cuestión el teorema es correcto;
2º) que, si es correcto para un número n —cualquiera que sea n— de entes que satisfagan la condición, también valdrá para n+1.
Ahora bien, derivar una regla de inferencia es probar un teorema sintáctico —o, si se quiere, metalingüístico— que dice: si una o varias fórmulas de tal y/o cual tipo son dadas como premisas, entonces otra fórmula de determinado tipo es obtenida como conclusión.
La regla rinf32 nos dice: si una fórmula del tipo pIq es una premisa, entonces una fórmula del tipo rIr’ es obtenible de ella como conclusión válida (siempre y cuando r y r’ sean como se indica en la explicación añadida a la regla).
Voy a probar, en primer lugar, que la regla vale para el caso en que r’ sólo difiera de r en la sustitución de una sola ocurrencia de p por otra de q ; y luego que, si la regla vale para n sustituciones, entonces vale también para n+1 sustituciones.
Por supuesto, al valer la regla para ocurrencias afectadas por los functores ‘I’, ‘H’ y ‘↓’, vale también para ocurrencias afectadas por cualesquiera functores definidos sólo a partir de esos tres. Por todo lo cual vale la regla para cualesquiera contextos en que una de las dos fórmulas cuya equivalencia se supone en la premisa esté afectada por alguno de los siguientes functores: ¬,∨,∧,⊃, &, N, S,≡,
→, L, Z, \, P, , Q, M. (Luego demostraré que vale la regla también para functores definidos a partir de ‘a’ y de ‘•’; pero no es eso lo que ahora se prueba.)
Voy a derivar la regla por partes. Primero la probaré para el caso de que r’ sólo difiera de r por el reemplazamiento de una sola ocurrencia de p en r por una ocurrencia respectiva de q . Pero también aquí iré por partes, y acudiré a una inducción matemática particular incrustada dentro de la inducción matemática general en que consiste toda la derivación.
Esta inducción matemática particular estriba en lo siguiente: Se prueba, primero, que la regla vale para el caso de que p esté afectada en r por una sola ocurrencia de uno de los tres functores primitivos. (Una fórmula, p , está afectada por una ocurrencia de un functor ‘ ’ ssi p es miembro —derecho o izquierdo— de un miembro —derecho o izquierdo— de un miembro —derecho o izquierdo— … de la mencionada ocurrencia de ‘ ’ —o sea: de una fórmula cuyo functor principal es dicha ocurrencia de ‘ ’; y diremos que una fórmula cualquiera precedida inmediatamente por una ocurrencia de un functor monádico es miembro derecho de tal ocurrencia.)
En segundo lugar, pruébase que, si la regla de inferencia restringida a una sola sustitución de p por q vale para el caso de que p esté afectado en r por n ocurrencias de cualesquiera de los tres functores primitivos, entonces también vale para el caso de que p esté afectado en r por n+1 ocurrencias de cualesquiera de esos tres functores primitivos.
Así pues, empecemos haciendo la derivación para el primer caso del primer caso: hip pIq
(2) p↓rI.q↓r hip, rinf27bis
(3) HpIHq hip, A160, rinf01
(4) rIqI.pIr hip, A101, rinf01
(5) pIrI.rIq (4), rinf11 (6) rIqI.qIr A107 (7) pIrI.qIr (5), (6), rinf15 (8) pIrI.rIp A107 (9) rIqI.rIp (4), (8), rinf15 (22) rIpI.rIq (9), rinf11 (23) q↓rI.r↓q A121 (24) r↓pI.p↓r A121
(25) r↓pI.q↓r (24), (2), rinf15 (26) r↓pI.r↓q (25), (23), rinf15
Así pues, he demostrado que de la premisa pIq se desprenden las conclusiones: p↓rI.q↓r (2); r↓pI.r↓q (26); pIrI.qIr (7); rIpI.rIq (22); HpIHq (3). Ahora bien, esas cinco fórmulas son todas las fórmulas del tipo rIr’ en las que r difiere de r’ por la sustitución de una sola ocurrencia de p por una sola ocurrencia de q , y estando en cada caso afectado p , en r , sólo por los functores ‘↓’, ‘I’ y ‘H’, ya sea como miembro derecho ya sea también —en los casos de ‘↓’ y ‘I’— como miembro izquierdo. Por tanto, para una sola ocurrencia de p en r , y para el caso de que p esté afectado en
r por una sola ocurrencia de alguno de esos tres functores, la regla de inferencia es válida.
Veamos ahora cómo se generaliza, suponiendo siempre que la sustitución se efectúa sobre una sola ocurrencia de p en r . Lo que ahora hay que probar es que, si la regla vale —siempre para una sola sustitución de p por q — cuando r contiene n ocurrencias de cualesquiera de esos tres functores que estén afectando a p , también vale entonces para cuando r contiene, además, una ocurrencia suplementaria de ‘H’, ‘↓’ o ‘I’.
Supongamos, pues, que se ha probado ya que la regla es válida para n ocurrencias de cada uno de esos functores, o sea que, de la hipótesis, se ha deducido (27), a saber:
(27) rIr’
(siendo r’ el resultado de reemplazar una ocurrencia de p por otra de q , y estando afectado p en r por n ocurrencias de cualesquiera de esos tres functores).
(28) sIs’
(siendo s una de estas fórmulas: Hr , p’↓r , r↓p’ , p’Ir , rIp’ ; y siendo s’ el resultado de reemplazar r por r’ en s —o sea: el resultado de reemplazar una ocurrencia de p en s por una ocurrencia de q ).
Pues bien, se pasa de (27) a (28) del mismo modo que de la hipótesis originaria se pasaba a (3), (26), (2), (22) y (7).
Así pues, de la premisa pIq he deducido (suponiendo que la fórmula r’ difiere de r tan sólo por la sustitución de una ocurrencia de p en r por otra de q ) que:
1º) Si p está afectado en r por una sola ocurrencia de cualquiera de esos tres functores, podemos concluir rIr’ ;
2º) Si concluir rIr’ está justificado cuando p está afectado en r por n ocurrencias de cualesquiera de esos tres functores, entonces el concluir rIr’ estará también justificado cuando p esté afectado en r por n+1 ocurrencias de cualesquiera de esos tres functores.
Por consiguiente —y en virtud del principio ya explicado de inducción matemática—, el tránsito de la premisa pIq a la conclusión rIr’ está siempre justificado, siendo r una fórmula cualquiera en la cual no esté afectado p sino por functores definidos a partir de ‘H’, ‘↓’ y/o ‘I’ —incluyendo esos tres functores mismos—, con tal que r’ sólo difiera de r por la sustitución de una ocurrencia de p en r por una ocurrencia respectiva de q .
Nos falta ahora probar el segundo paso de la inducción matemática general en que consiste nuestra derivación. Supongo el antecedente (y sigo suponiendo la hipótesis originaria, o sea: la premisa pIq ); ese antecedente será (29)):
(29) rIr’
(siendo r una fórmula cualquiera, y difiriendo r’ de r por la sustitución de n ocurrencias de p en r por n ocurrencias respectivas de q , y no estando afectado p en r más que por ocurrencias de los tres functores considerados).
pIq sIs’
(O sea: queremos deducir sIs’ , ya que seguimos estando suponiendo la hipótesis pIq ). La fórmula s’ diferirá de s por la sustitución de n+1 ocurrencias de p en s por otras tantas ocurrencias respectivas de q .
Sea s’’ resultado de sustituir n ocurrencias de p en s por n ocurrencias respectivas de q . Ya sabemos (en virtud de (29) que:
(32) sIs’’
Pero s sólo difiere de s’’ por la sustitución de una ocurrencia de p por una ocurrencia respectiva de q . Luego —en virtud de la hipótesis originaria ( pIq ) y del primer paso, ya demostrado, de toda la derivación:
(33) s’’Is’
(34) sIs’ (32), (33), rinf15
Por consiguiente, de (29) se infiere (34); o sea: si la regla vale para el caso de que r’ sólo difiera de r por la sustitución de n ocurrencias de p por n ocurrencias respectivas de q , entonces también vale para el caso de que r’ difiera de r por la sustitución de n+1 ocurrencias de p por n+1 ocurrencias respectivas de q . Y con ello ha quedado demostrado el segundo paso de la inducción matemática general.
Con lo cual queda concluida la inducción matemática general que habíamos abordado. Es decir, queda derivada la regla rinf32.
rinf33 p⊃q , q⊃r p⊃r Derivación: hip1ª p⊃q hip2ª q⊃r (2) p⊃q⊃.q⊃r⊃.p⊃r A172 (3) q⊃r⊃.p⊃r (2), hip1ª, rinf01 p⊃r (3), hip2ª, rinf01 rinf34 p⊃p’ , p’⊃p’’ , … p-¹⊃p p⊃p Derivación: hip1ª p⊃p’ hip2ª p’⊃p’’ . . . hipnª p-¹⊃p
(2) p⊃p’’ hip1ª, hip2ª, rinf33 .
. . (n-1) p⊃p-¹ hip(n-1)ª, (n-2), rinf33 p⊃p (n-1), hipnª, rinf33 rinf35 p⊃.q⊃r , r⊃r’ , r’⊃r’’ , …, r-¹⊃r p⊃.q⊃r Derivación: hip1ª p⊃.q⊃r hip2ª r⊃r’ hip3ª r’⊃r’’ . . hip(n+1)ª r-¹⊃r
(2) r⊃r hip2ª… hip(n+1)ª, rinf34
(3) q⊃r⊃.q⊃r A173, (2), rinf01 (4) p⊃(q⊃r)⊃.p⊃.q⊃r (3), A173, rinf01 p⊃.q⊃r (4), hip1ª, rinf01
rinf36 r⊃r’ , r’⊃r’’ , …, r-¹⊃r , p⊃.q⊃.q’⊃r p⊃.q⊃.q’⊃r
Derivación: A181, rinf34
rinf37 r⊃r’ , r’⊃r’’ , …, r-¹⊃r , p⊃.q⊃.q’⊃.q’’⊃r p⊃.q⊃.q’⊃.q’’⊃r
Derivación: A182, rinf34
rinf38 p , ¬p q (Derivación: rinf28, A207, rinf01) rinf39 p p∨q (Derivación: A162, rinf01)
rinf40 p∨q , ¬p q (Derivación: A128, rinf13, rinf01, A207) rinf41 p⊃r , q⊃s , p∨q r∨s (Derivación: A221, rinf28, rinf01) rinf41/1 p⊃r , p∨q r∨q (Derivación: rinf41, A116)
rinf42 p⊃r , q⊃r , p∨q r (Derivación: A221/2, rinf28, rinf01) rinf43 p Lp (Derivación: A194, rinf01)
rinf44 Lp p (Derivación: A200, rinf01) rinf45 p⊃q , ¬q ¬p (Derivación: A214, rinf01) rinf46 p q⊃p (Derivación: A164, rinf01) rinf47 p→q p⊃q (Derivación: A218, rinf01)
rinf48 Si r es una fórmula en la cual figura una ocurrencia de Lp afectada sólo por functores (de- finidos a partir de ‘↓’, ‘H’ y/o ‘I’, se puede reemplazar tal ocurrencia de Lp por una ocurrencia) de
HLp . Derivación: A151, rinf32
rinf49 Como rinf 48, sólo que, en lugar de hablarse de una sola ocurrencia de Lp se habla de cualquier número de las mismas; y, en vez de hablarse de ocurrencias respectivas de HLp se habla de ocurrencias respectivas de H…HLp , o sea: del resultado de prefijar a Lp cualquier número de ocurrencias del functor ‘H’. Se deriva de rinf47 por inducción matemática.
rinf50 Como rinf48 invirtiendo ‘H’ y ‘L’. (Derivación a partir de A254 y rinf32)
rinf51 Como rinf49, invirtiendo ‘H’ y ‘L’ (Derivación a partir de rinf50 por inducción matemática.)
rinf52 q pIp’∧(rIr’)⊃s
(donde s no difiere de q más que por el reemplazamiento de n ocurrencias de p en q por ocurrencias respectivas de p’ , y de m ocurrencias de r en q por ocurrencias respectivas de r’ y no estando afectadas esas ocurrencias de q y de r por otros functores que ‘↓’, ‘H’, ‘I’ y los definidos a partir de esos tres). Derivación: A242, rinf01