El modelo pretende minimizar la función de consumo energético en llantas del tren. A continuación vamos a pasar a describir los datos, las variables y las restricciones del modelo.
Conjuntos:
Conjunto de open tracks, que a todos los efectos son los tramos entre cada par de estaciones. Se usará el índice para referenciar un open track genérico.
Conjunto de estaciones (la cardinalidad del conjunto estaciones es igual a la del conjunto de open tracks +1). Se usará el índice para referenciar una estación genérica.
Conjunto de segmentos dentro del open track . Se usará el índice para referenciar un segmento concreto dentro del open track . Los parámetros referentes a un segmento concreto llevarán por tanto dos índices , para identificar el open track y el segmento dentro del open track. El índice variará entre 1 y , un escalar que representa el mayor número posible de segmentos a definir dentro de un open track.
Parámetros: sirven para declarar una o varias listas de constantes numéricas asociadas a un índice o conjunto.
, Orden de los segmentos dentro del open track .
, Longitud de los segmentos en km.
, Velocidad más restrictiva en cada segmento m del open track en sentido up en km/h. Límite inferior de velocidades en el sistema. , Velocidad más restrictiva en cada segmento m del open track en
sentido down en km/h. Límite inferior de velocidades en el sistema. , Velocidad máxima en el segmento del open track en sentido up
en km/h.
, Velocidad máxima en el segmento del open track en sentido down en km/h.
34 , Pendiente de cada segmento en el open track en sentido up. Se
considera la pendiente inversa en sentido contrario.
Carga de pasajeros del tren en cada segmento entre dos estaciones en sentido up. Se obtendrá a partir de la matriz de demandas.
Carga de pasajeros del tren en cada segmento entre dos estaciones en sentido down. Se obtendrá a partir de la matriz de demandas. Carga máxima para el open track considerando ambos sentidos.
Carga máxima en el tren a lo largo de toda la línea.
Número de personas que llegan a la estación con destino a estaciones . (Movimientos en sentido up).
Número de personas que llegan a la estación con destino a
estaciones . (Movimientos en sentido down).
Número de personas que bajan en la estación procedentes de estaciones .
Número de personas que bajan en la estación procedentes de
estaciones .
Personas que se bajan al final de cada open track (estación
+1) en sentido up.
Personas que se bajan al final de cada open track (estación
+1) en sentido down.
Total de personas que han viajado en sentido up. Total de personas que han viajado en sentido down.
Longitud de la línea.
Tiempo necesario para recorrer la línea en un sentido.
Tiempo total en dar una vuelta completa, incluyendo paradas y doble sentido.
Escalares:
Tiempo de seguridad entre dos trenes consecutivos en cualquier
estación.
Número de personas que caben en un vagón. Factor de escala para hacer crecer la demanda. Flujo entrante de aire en m3/s.
35 Número de ejes de los vagones.
Coeficiente aerodinámico en daN/kg. Coeficiente de resistencia mecánica.
Número de locomotoras.
Peso de las locomotoras en toneladas. Peso de un vagón en toneladas.
Velocidad mínima de los trenes para la velocidad de equilibrio. Potencia máxima en llantas del tren.
Peso de las partes giratorias del tren.
Gravedad.
Peso de ATT en la función objetivo.
Peso del consumo energético en la función objetivo. Peso del número de vagones en la función objetivo. Peso del tamaño de flota en la función objetivo.
Coste del vagón.
Coste de las locomotoras.
Variables positivas:
Dwell, tiempo de parada en cada estación, bajada y subida de pasajeros, en minutos.
Tiempo empleado en dar la vuelta al tren en las estaciones inicial y final en minutos.
Tiempo total de ciclo suponiendo que las velocidades son variables.
, Velocidad en el segmento del open track en sentido up,
suponiendo que son variables y están acotadas por limitaciones máximas.
, Velocidad en el segmento del open track en sentido down,
suponiendo que son variables y están acotadas por limitaciones máximas.
Tiempo total promedio de viaje en sentido up para la línea completa.
Tiempo total promedio de viaje en sentido down para la línea
36 Tiempo promedio de viaje por pasajero en sentido up.
Tiempo promedio de viaje por pasajero en sentido down. Tiempo promedio de viaje (incluye tiempos de espera).
( , )
Pendiente de equilibrio sentido up.
( , ) Pendiente de equilibrio sentido down. ( , )
Velocidad de equilibrio sentido up.
( , ) Velocidad de equilibrio sentido down.
Variables binarias:
( , )
Comparador de pendientes para cada segmento en cada open track en dirección subida (up). Se usa para determinar si se supera o no la pendiente de equilibrio.
( , ) Comparador de pendientes para cada segmento en cada open
track en dirección bajada (down). Se usa para determinar si se supera o no la pendiente de equilibrio.
( , )
Comparador de diferencias de velocidades al cuadrado en la subida.
( , ) Comparador de diferencias de velocidades al cuadrado en la bajada.
Variable libre:
Valor de la función objetivo.
Tablas:
, Demanda de pasajeros que salen de la estación i y llegan a la estación
j.
Variables enteras
Headway de la línea, tiempo entre la salida de dos trenes consecutivos de la misma estación.
37 Frecuencia de la línea.
Número de vagones.
Fleetsize, número de trenes necesarios en la línea, también llamado tamaño de la flota.
Variables positivas referidas al consumo de energía:
, Consumo de energía mecánica en recta por segmentos en la subida. , Consumo de energía mecánica en recta por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía mecánica en curva por segmentos en la subida. , Consumo de energía mecánica en curva por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica por
segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria por
segmentos en la bajada.
, Consumo de energía disipada en el frenado por segmentos en la subida.
, Consumo de energía disipada en el frenado por segmentos en la
bajada.
, Consumo de energía debido al cambio de velocidad por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido al cambio de velocidad por segmentos
en la bajada.
Consumo de energía mecánica en recta de la línea en la subida. Consumo de energía mecánica en recta de la línea en la bajada.
38 Consumo de energía mecánica en curva de la línea en la subida. Consumo de energía mecánica en curva de la línea en la bajada. Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire de la
línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire de la línea en la bajada.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica de la línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica de la línea en la bajada.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria de la línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria de la línea en la bajada.
Consumo de energía disipada en el frenado de la línea en la subida. Consumo de energía disipada en el frenado de la línea en la bajada. Consumo de energía debido al cambio de velocidad de la línea en la
subida.
Consumo de energía debido al cambio de velocidad de la línea en la bajada.
Consumo de energía mecánica en recta total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía mecánica en curva total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía disipada en el frenado total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido al cambio de velocidad total sumando ambos sentidos.
39 Variables intermedias para el cálculo del consumo energético:
Número de ejes del tren. Masa del tren sin pasajeros. , Área de curvatura.
Restricciones del modelo en lo referente a la planificación ferroviaria:
1. Relación entre headway y frecuencia
La primera de las restricciones que vamos a tratar es la relación entre headway y la frecuencia, sabiendo que el headway es el tiempo que transcurre entre la salida de dos trenes de la misma estación o, lo que es lo mismo, la frecuencia con la que salen los trenes en el transcurso de una hora.
2. Capacidad suficiente para atender la demanda en el segmento más cargado de la línea
Para satisfacer la demanda de pasajeros es necesario imponer una restricción respecto a la capacidad del tren y además hay que tener en cuenta para ello que dependerá del número de cabezas tractoras del tren y si llevan pasajeros o no. Así definimos dos restricciones a cumplir en el modelo, una con cabezas tractoras y otras sin estas.
( )
Esta restricción es válida sólo si los vagones tractores también llevan pasajeros. En caso contrario, queda de la siguiente manera:
( )
3. Relación entre headway, tiempo de ciclo y el tamaño de la flota que se necesita para cumplir con el horario durante el tiempo definido por la matriz de demanda.
Esta ecuación nos permite calcular el número de trenes necesarios, que depende del tiempo en realizar el recorrido completo de la línea y de la frecuencia de paso por hora.
40 4. Relación entre los diferentes tiempos
Para que no exista exceso en el número de trenes en una estación se tendrán en cuenta dos relaciones lógicas entre distintos tiempos. La primera, es que el tiempo de parada del tren en la estación tiene que ser menor que el tiempo que el tren tarda en dar la vuelta para cambiar su sentido.
s
En la segunda, el tiempo mínimo que debe existir entre dos trenes que salen consecutivamente de la misma estación tiene que ser, como mínimo, el tiempo que tarda un tren en dar la vuelta para cambiar su sentido añadiéndole la parada de dicho tren en esa estación.
s
Sólo si en la cabecera no hay sitio para más de un tren, es decir, si no se quiere que llegue a un extremo un segundo tren antes de que vuelva el primero, se impondrá la siguiente restricción adicional:
s 5. Calculo del tiempo de ciclo
El tiempo de ciclo será el tiempo de parada en cada una de las estaciones (nº de estaciones=card(s)), tanto de subida como de bajada. A esto también añadiremos los dos tiempos de vuelta del tren que habrá en cada uno de los ciclos. Igualmente, añadiremos el tiempo que tarda en realizar cada uno de los tramos el tren, tanto en sentido up como en sentido down.
c 2 ( ) , , , ,
6. Cálculo del tiempo promedio de viaje
El tiempo de viaje consta de tres factores. El primero es producto del tiempo de viaje por el volumen de pasajeros que circula en cada tramo. A continuación, le añadiremos el tiempo de espera de los pasajeros en cada estación, el cual se estima con el número de pasajeros que llegan a cada estación multiplicado por el headway/2. Por último, sumamos el tiempo de espera de los pasajeros en el interior del tren mientras los trenes están parados en cada estación.
, , 2 ( )
41 , , 2 ( )
Donde y son la carga de pasajeros en cada tramo y se pueden
obtener de acuerdo a las siguientes expresiones a partir de la matriz de demanda: Calculo de las cargas en doble sentido:
, , … ( )
( )
De la misma forma podemos calcular la carga de pasajeros en dirección bajada: , , … ( )
( )
En las siguientes expresiones, y se calcula el número de pasajeros que
se bajan en cada estación en función del open track, y, como se observa, estas pueden estar también referidas en función del número de la estación ( y ).
Donde es el número de pasajeros que se bajan en cada una de las estaciones del recorrido en dirección up referido al número de la estación (de forma similar se define para la dirección contraria):
Para calcular el número de personas que bajan en cada una de las estaciones procedentes de otra estación cualquiera en sentido up y down:
, … ( ) ( ) , ( ) ( ) …
Con estos datos ya podemos proceder a calcular los promedios, aunque previamente necesitamos conocer el número total de viajeros que utilizan en tren en un recorrido.
Esto lo conseguiremos sumando cada uno de los pasajeros que se suben en cada una de las estaciones, independientemente del destino del pasajero.
Para calcular las llegadas de los pasajeros a cada una de las estaciones con destino a otra cualquiera:
42 , ( ) … ( ) , … ( )
Ahora sumaremos todas estas llegadas a cada estación y obtendremos el valor total que buscamos.
7. Cálculo del tiempo promedio de viaje y espera ATT recoge el tiempo promedio total de viaje y espera.
Restricciones del modelo referidas al consumo energético:
En relación al consumo energético, es conveniente apuntar que primeramente se ha calculado para su obtención el consumo en sentido up de la línea y luego hemos realizado el mismo procedimiento en sentido down. El consumo total de la línea lo obtendremos sumando el consumo en ambos sentidos. Se muestran a continuación sólo las restricciones en sentido up, entendiendo que en las de sentido down, solo cambia la nomenclatura, sin afectar a la forma de su cálculo.
1. Consumo energético debido a la resistencia mecánica en recta
Así pues, como vimos anteriormente, la energía en llantas empleada en el tramo para vencer las resistencias mecánicas en recta se calcula de la siguiente manera: ( , ) , , ,
43 El número de ejes del tren lo calcularemos multiplicando dos veces el número de ejes de la locomotora y añadiéndole la multiplicación del número de vagones por número de ejes por vagón.
2
La masa total del tren, sin tener en cuenta los pasajeros, será el número de locomotoras por el peso de cada locomotora más el número de vagones por el peso de cada vagón.
Como hemos dicho antes, hay dos tipos de variables, , o , que indican el consumo energético por cada uno de los diferentes tramos de la línea y o , que son la suma de todos los tramos que componen la línea, con lo que obtenemos el consumo total de la línea en cada uno de los sentidos. Una vez obtenido esto, se sumarán ambos y se obtendrá el consumo total .
Con esta ecuación se calcula el consumo energético debido a la resistencia mecánica en recta de cada uno de los tramos en sentido up por separado.
, , , , , Procedemos a obtener el consumo total de la línea en sentido up
,
A continuación realizamos la misma operación, pero para el sentido down de la línea: , ( , ) , , ,
El consumo total de la resistencia mecánica en recta será:
2. Resistencia al avance por curva
De igual modo, hay dos tipos de variables, , o , , que indican el
consumo energético por cada uno de los diferentes tramos de la línea, y o , que son la suma de todos los tramos que componen la línea, con lo que obtenemos el consumo total de la línea en cada uno de los sentidos. Una vez obtenido esto, se sumarán ambos y se obtendrá el consumo total .
44 ,
3. Consumo energético debido a la resistencia a la entrada de aire
De igual modo, hay dos tipos de variables, , o , , que indican el
consumo energético por cada uno de los diferentes tramos de la línea, y o , que son la suma de todos los tramos que componen la línea, con lo que obtenemos el consumo total de la línea en cada uno de los sentidos. Una vez obtenido esto, se sumarán ambos y se obtendrá el consumo total .
La forma matemática de las operaciones quedaría de la siguiente manera: , . , , ,
,
4. Consumo debido a la resistencia aerodinámica (presión y fricción)
De igual modo, hay dos tipos de variables, , o , , que indican el
consumo energético por cada uno de los diferentes tramos de la línea, y o , que son la suma de todos los tramos que componen la línea, con lo que obtenemos el consumo total de la línea en cada uno de los sentidos. Una vez obtenido esto, se sumarán ambos y se obtendrá el consumo total .
Las ecuaciones correspondientes a este apartado son las siguientes: , , , ,
,
5. Consumo de energía disipada en el frenado
La energía disipada por el frenado se produce cuando el descenso de una pendiente es mayor (en valor absoluto) que el de la pendiente de equilibrio cuando se circula a la velocidad máxima permitida, procedemos a calcularlo por tramos, tanto en sentido de subida como en el de bajada y luego la sumaremos para
45 obtener las de línea, de la misma forma que venimos haciendo. Habrá que tener en cuenta que esto solo se producirá en los casos de las pendientes explicados anteriormente, por lo que se ha creado una variable binaria llamada ( , ) que se activará y desactivará según convenga mediantes unas ecuaciones implementadas en el modelo. Los consumos en sentido up serán los siguientes (los de sentido down se calculan de la misma forma):
, . , ( , ) , ( , ) , ,
Cabe recordar que , ( , ) , ya que en caso de no producirse eso, no se aplicaría el freno.
6. Consumo energético debido a la energía potencial gravitatoria
Finalmente, la energía en llantas consumida en el trabajo contra la gravedad se calculará de la siguiente manera, teniendo en cuenta que en el caso de subida la pendiente tiene que ser mayor que cero y en el de bajada la pendiente del tramo debe de ser menor que cero:
, ( . ) , , , , 7. Consumo asociado al incremento de la energía cinética
La energía en llantas consumida por este concepto es equivalente al sumatorio de los incrementos positivos de energía cinética entre tramos consecutivos, en donde no debemos omitir la energía de rotación de las partes giratorias del tren:
, 2 , , , , ( , ) , ,
46
Hay que tener en cuenta que al principio de cada open track, como hay una estación y el tren es detenido, hay que sumar directamente , , sin tener que restarle el término , .
Habrá que tener en cuenta también para aplicar esta ecuación la pendiente del tramo, como ya se explicó anteriormente, teniendo en cuenta que la velocidad que se va alcanzar en este tramo coincidirá si la pendiente es menor o igual que cero, y en el caso en el que la pendiente sea mayor que cero dicha velocidad será la mínima entre esa velocidad máxima y la velocidad de equilibrio. Esto lo conseguiremos mediante la variable binaria llamada ( , ) , que se activará y desactivará según convenga mediante unas ecuaciones implementadas en el modelo.
8. Función objetivo
El objetivo de este modelo es optimizar las variables que se muestran en las dos funciones objetivos de los dos modelos estudiados. A continuación, se presentan ambas funciones:
Modelo 1
Con este modelo lo que se consigue es optimizar el consumo energético y el