Conclusions, Implications, Recommendations, and Summary This section draws conclusions from the study, details the implications of the findings, and

La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. Así, la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valore que toman sus coordenadas articulares [II.7].

Existen dos problemas fundamentales para resolver la cinemática del robot [II.7]:

 Problema cinemático directo.- Consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los

 Problema cinemático inverso.- Resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocido.

Por otra parte, la dinámica trata con la formulación de las ecuaciones de movimiento; las ecuaciones dinámicas para un manipulador son un conjunto de expresiones matemáticas que describen su conducta y tales ecuaciones son útiles para la simulación del sistema [II.6].

Un eslabón puede ser considerado como un cuerpo rígido, el cual puede ser descrito por dos parámetros, la longitud del eslabón y el giro del eslabón. Estos parámetros definen la localización relativa de los ejes de articulaciones vecinas en el espacio [II.8].

Asimismo, las articulaciones pueden ser descritas también por dos parámetros, el descentramiento del eslabón, que es la distancia de un eslabón a otro próximo, a lo largo del eje de la articulación; y el ángulo de la articulación, que es la rotación de un eslabón con respecto al próximo, alrededor del eje de la articulación [II.8].

A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot. Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se suele denominar matriz i-1Ai. Denominado 0Ak a las matrices resultantes

del producto de matrices i-1Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la

cadena cinemática que forma el robot. (II.7)

La representación de Denavit-Hartenberg de un cuerpo rígido depende entonces, de cuatro parámetros geométricos asociados a cada elemento, estos describen completamente la relación espacial entre sistemas de coordenadas. Estos parámetros pueden resumirse como (Figura II.3):

 Longitud del eslabón ai: distancia desde el origen del sistema de coordenadas i hasta

la intersección de los ejes xi y zi−1, a lo largo del eje xi.

Zi-1 Xi Xi-1 Θi Zi-1 Xi Zi α1 Zi-1 Yi-1 Xi-1 Yi Xi Zi ai di

 Descentramiento del eslabón di: distancia desde el origen del sistema de coordenadas i

−1 hasta la intersección de los ejes xi y zi−1, a lo largo del eje zi−1.

 Ángulo de la articulación θi: ángulo de la articulación del eje xi−1 al eje xi respecto al

eje zi−1.

De esta forma, para una articulación de revolución, di, ai y αi son los parámetros de la articulación y

permanecen constantes, mientras que θi es la variable de la articulación. Para una articulación

prismática, la variable será di.

Figura II.3.- Parámetros de Denavit-Hartenberg

Los cuatro parámetros de transformación anteriores se multiplican mediante producto de matrices como se muestra en la Ecuación II.1.

_{( ) ( ) ( ) ( ) II.1}

Siendo la representación en matrices la Ecuación II.2.

[ _{] [ ] [ ] [} ] II.2

El producto matricial da por resultado una matriz 4x4 (Ecuación II.3) que da la orientación y posición del eslabón siguiente respecto al anterior, llegando a obtener los parámetros del último eslabón respecto al primero.

_{[ ]} II.3 Donde:

 C es la función trigonométrica coseno del ángulo.

 S es la función trigonométrica seno del ángulo.

 θi, αi, di, ai, son los parámetros del eslabón i.

De este modo, basta con identificar los parámetros θi, αi, di, ai, para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot. Como se ha indicado, para que la matriz, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas. Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinemático directo [Tabla II.1]:

Tabla II.1.- Parámetros de Denavit-Hartenberg [II.9]

DH1 Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot.

DH2 Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

DH3 Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. DH4 Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1.

DH5 Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0. Los ejes

X0 e Y0 se situaran dé modo que formen un sistema dextrógiro con Z0.

DH6 Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1. DH7 Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi.

DH8 Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi.

DH9 Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

DH10 Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

DH11 Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados.

DH12 Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi- 1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). DH13 Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a Xi (que ahora coincidiría

con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). DH14 Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

DH15 Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0Ai, 1A2... n-1An.

DH16 La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares.