Chapter 4 Technical Coordination
4.3 Conference services
REPASO DEL CAPÍTULO 2
Las respuestas a los problemas con número imparcomienzan en la página RES-3.
Responda los problemas 1 a 4 sin consultar las respuestas del libro. Llene los espacios en blanco o responda si es verdadero o falso.
1. La ED lineal, y ⬘⫺ky⫽A, donde k y A son constantes,
es autónomo. El punto crítico de la ecuación es un (atractor o repulsor) para k⬎ 0 y un
(atractor o repulsor) para k⬍ 0. 2. El problema xdy⫺ 4y⫽ 0,y(0)⫽k
dx , tiene un número
infi nito de soluciones para k⫽ y no tiene so-
lución para k⫽ . 3. La ED lineal, y ⬘⫹k
1y ⫽k2, donde k1 y k2 son constantes
distintas de cero, siempre tiene una solución constante.
4. La ED lineal, a1(x)y⬘⫹a2(x)y⫽ 0 es también separable.
En los problemas 5 y 6 construya una ecuación diferencial de primer orden dydx⫽ f (y) cuyo esquema de fase es consis-
tente con la fi gura dada.
5.
1 3
y
FIGURA 2.R.1 Gráfi ca del problema 5.
6.
0 2 4
y
FIGURA 2.R.2 Gráfi ca del problema 6.
7. El número 0 es un punto crítico de la ecuación diferen- cial autónoma dxdt⫽xn, donde n es un entero positivo.
¿Para qué valores de n es 0 asintóticamente estable?
¿Semiestable? ¿Inestable? Repita para la ecuación dife- rencial dxdt⫽⫺xn.
8. Considere la ecuación diferencial dP/dt⫽f (P), donde
f (P) ⫽⫺0.5P3⫺ 1.7P⫹ 3.4.
La función f (P) tiene una raíz real, como se muestra en la
fi gura 2.R.3. Sin intentar resolver la ecuación diferencial, estime el valor de límt→⬁P(t).
FIGURA 2.R.4 Parte de un campo direccional del problema 9.
P 1 1
f
FIGURA 2.R.3 Gráfi ca del problema 8.
9. La fi gura 2.R.4 es una parte de un campo direccional de una ecuación diferencial dydx⫽f (x, y). Dibuje a mano
dos diferentes curvas solución, una que es tangente al ele- mento lineal que se muestra en negro y el otro que es tan- gente al elemento lineal que se muestra de color (rojo).
10. Clasifi que cada ecuación diferencial como separable, exacta, lineal, homogénea o Bernoulli. Algunas ecuacio- nes pueden ser de más de una clase. No las resuelva.
a) dy dx⫽ x⫺y x b) dy dx⫽ 1 y⫺x c) (x⫹1)dy dx⫽ ⫺y⫹10 d) dy dx⫽ 1 x(x⫺y) e) dy dx⫽ y2⫹y x2⫹x f) dy dx⫽5y⫹y 2 g) y dx⫽ (y⫺xy2) dy h) xdy dx⫽ye x/y⫺x i) xy y⬘⫹y2⫽ 2x j) 2xy y⬘⫹y2⫽ 2x2 k) y dx⫹x dy⫽ 0 l)
x2⫹2y x dx⫽(3⫺lnx 2)dy m) dydx⫽x y⫹ y x⫹1 n) y x2 dy dx⫹e 2x3⫹y2 ⫽0En los problemas resuelva la ecuación diferencial dada. 11. (y2⫹ 1) dx⫽y sec2x dy 12. y(ln x⫺ ln y) dx⫽ (x ln x⫺x ln y⫺y) dy 13. (6x⫹1)y2dy dx⫹3x 2⫹2y3⫽0 14. dx dy⫽ ⫺ 4y2⫹6xy 3y2⫹2x 15. tdQ dt ⫹Q⫽t 4lnt 16. (2x⫹y⫹ 1)y⬘⫽ 1 17. (x2⫹ 4) dy⫽ (2x⫺ 8xy) dx
18. (2r2 cos u sen u⫹r cos u) du
⫹ (4r⫹ sen u⫺ 2r cos2u) dr⫽ 0
En los problemas 19 y 20 resuelva el problema con valores iniciales dado e indique el intervalo I más largo en el que la
solución está defi nida.
19. senxdy dx (cosx)y 0, y 7 6 2 20. dy dt 2(t 1)y 2 0, y(0) 1 8
21. a) Sin resolver, explique por qué el problema con valores iniciales
dy
dx⫽ 1y, y(x0)⫽y0
no tiene solución para y0⬍ 0.
b) Resuelva el problema con valores iniciales del inciso a) para y0⬎ 0 y determine el intervalo I más largo en
el que la solución está defi nida.
22. a) Determine una solución implícita del problema con valores iniciales . dy dx⫽ y2⫺x2 xy , y(1)⫽ ⫺12
b) Determine una solución explícita del problema del inciso a) e indique el intervalo de solución más largo de I en el que la solución está defi nida. Aquí puede
ser útil un programa de grafi cación.
23. En la fi gura 2.R.5 se presentan las gráfi cas de algunos miem- bros de una familia de soluciones para una ecuación dife- rencial de primer orden dydx⫽f (x, y). Las gráfi cas de dos
soluciones implícitas, una que pasa por el punto (1, ⫺1) y la
otra que pasa por (⫺1, 3) se muestran en rojo. Reproduzca
la fi gura en una hoja. Con lápices de colores trace las curvas solución para las soluciones y⫽y1(x) y y⫽y2(x) defi nidas
por las soluciones implícitas tales como y1(1) ⫽⫺1 y y2(⫺1) ⫽ 3, respectivamente. Estime los intervalos en los que las
soluciones y⫽y1(x) y y⫽y2(x) están defi nidas.
x y
FIGURA 2.R.5 Gráfi ca para el problema 23.
24. Utilice el método de Euler con tamaño de paso h⫽ 0.1
para aproximar y(1.2), donde y(x) es una solución del pro-
blema con valores iniciales y 1 x1y, y(1) 9.
En los problemas 25 y 26 cada fi gura representa una parte de un campo direccional de una ecuación diferencial de primer orden dydx⫽f (y). Reproduzca esta fi gura en una hoja y des-
pués termine el campo direccional sobre la malla. Los puntos de la malla son (mh, nh) dondeh⫽21,m y n son enteros, ⫺7
ⱕmⱕ 7, ⫺7 ⱕnⱕ 7. En cada campo direccional dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos sólidos mostrados en rojo. Analice: ¿parece que la ED tiene puntos críticos en el intervalo ⫺3.5 ⱕmⱕ 3.5? Si es así, clasifi que los puntos críticos como asintóticamente estables, inestables o semiestables.
25.
26.
FIGURA 2.R.7 Parte de un campo direccional del problema 26.
x 3 2 1 _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 y x 3 2 1 _1 _2 _3 _3 _2 _1 1 2 3 y
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3.1 Modelos lineales
3.2 Modelos no lineales
3.3 Modelado con sistemas de ED de primer orden
REPASO DEL CAPÍTULO 3
En la sección 1.3 vimos cómo se podría utilizar una ecuación diferencial de primer orden como modelo matemático en el estudio de crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo, interés compuesto continuo, enfriamiento de cuerpos, mezclas, reacciones químicas, drenado del fl uido de un tanque, velocidad de un cuerpo que cae y corriente en un circuito en serie. Utilizando los métodos del capítulo 2 ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (sección 3.1) y ED no lineales (sección 3.2) que aparecen comúnmente en las aplicaciones. El capítulo concluye con el siguiente paso natural: en la sección 3.3 examinamos cómo surgen sistemas de ED como modelos matemáticos en sistemas físicos acoplados (por ejemplo, una población de predadores como los zorros que interactúan con una población de presas como los conejos).