El concepto de un diseño óptimo de estrategias de transporte, tiene su base en una serie de estudios que han demostrado que un enfoque integrado, en donde la provisión y gestión de la infraestructura y las medidas de pricing, entre otras, debe tener políticas coordinadas. Adoptar este concepto puede reducir significativamente los problemas del transporte urbano según el Department for Transport del Reino Unido (DETR, 1998).
La clave para el desarrollo exitoso de una estrategia de transporte integrado es la especificación de los objetivos y, demostrar que pueden obtenerse beneficios a partir de utilizar un enfoque integrado, en comparación con la implementación de medidas individuales (May et al., 2000b); es decir, demostrar la existencia de sinergias. Los objetivos estratégicos varían de un estudio a otro, aunque los más comunes y generales son la eficiencia en el uso de los recursos, la mejora de la accesibilidad, la protección ambiental, la sostenibilidad y la seguridad, teniendo presente una estabilidad financiera. Diversos estudios realizados en diferentes ciudades europeas con diferentes modelos, han demostrado que algunas estrategias óptimas son insensibles a los costes de las externalidades, ya que cuando estos costes se basan en valores aceptados y asimilados en la realidad, las estrategias óptimas son similares a aquellas que no dan valor a dichas externalidades (Timms et al., 2002). Entonces, podría decirse que las estrategias que son más efectivas en lograr un balance entre lo económico y la sostenibilidad, también se desempeñan mejor cuando los objetivos se amplían al medio ambiente y a la seguridad (reducción de accidentes), entre otros elementos.
Es probable que los niveles óptimos de algunas medidas sean políticamente imposibles de implementar, lo que puede causar un impacto negativo dentro de la meta de reducción de otros objetivos, como las emisiones, los accidentes, la mejora de la equidad, el equilibrio financiero, etc. De este modo, en la práctica es necesario buscar estrategias que optimicen los objetivos dentro de los límites aceptables, con valores y rangos de medidas reales (Vold, 2005).
En general, los estudios de transporte se han centrado en identificar listados de medidas y evaluarlas en una serie de combinaciones, utilizando un modelo estratégico. La experiencia profesional se usa para determinar el conjunto inicial de medidas a ser evaluadas, así como las variantes necesarias para mejorar el desempeño de dichas medidas. En este caso, se proponen dos métodos diferentes de evaluación por medio de funciones objetivo claras y analíticas, para la posterior optimización de las estrategias.
4.4.2 Funciones Objetivo
Visto lo anterior, es notable la necesidad de explorar herramientas alternativas que sirvan de apoyo en la evaluación de los complejos sistemas urbanos y las relaciones entre sus diferentes agentes. Aquí se utilizan funciones que sirvan de herramientas para este fin. Estas funciones son los vínculos que relacionan el procedimiento de optimización y el modelo LUTI, funcionando como ciclos de retroalimentación.
Una función objetivo es una función compuesta por una serie de elementos (indicadores, medidas, estrategias), la cual se utiliza para evaluar una serie de políticas mediante un proceso formal de optimización. En este caso, la función objetivo debe responder acerca de cuáles son las fortalezas del escenario evaluado frente a un escenario base o un punto de
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referencia. Para el propósito de esta investigación, partiendo de un proceso dinámico como una colección de ecuaciones diferenciales no lineales (ecuación (4.9)), se dispone de una función objetivo general con condiciones iniciales para cada estado (estrategias), de la siguiente manera:
𝑓𝑓(𝑋) =𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑼,𝑔,𝑡) 𝑈(𝑡) =𝑢𝑜,𝑢1, … ,𝑢𝑛 (4.11) Donde x es el vector de las variables de estado, U es el vector de control de inputs, g representa las variables exógenas y t es la variable independiente del tiempo. El vector U se selecciona de un espacio M de posibles medidas de control. M controla los valores de entrada de los parámetros de ui, con el fin de prevenir soluciones poco realistas. Para poner
en contexto al lector, x son las variables de estado que describen el sistema, U son las
estrategias sostenibles a implementar en el modelo, las cuales están compuestas por ui
medidas, cuyos valores se mueven dentro de un rango de valores M.
Así, optimizando la función ƒ(X) en una dirección, el problema se convierte en uno de una sola dimensión, lo que se podría considerar como una optimización lineal. La idea en este caso es tratar de encontrar cada mínimo de la función ƒ(X) en diferentes direcciones hasta que la función deje de disminuir. La forma en que se debe elegir la siguiente dirección de búsqueda del mínimo, es el principal argumento del método de Powell modificado y se ha demostrado que después de repetidos ciclos de evaluaciones, el proceso de optimización converge en su mínimo.
Dentro de este contexto, se empleará la técnica de optimización descrita en este capítulo con el fin de optimizar una función objetivo del tipo coste-beneficio (CBA) o multicriterio (MCA), sujeta a las restricciones inherentes a las medidas y a algunas limitaciones físicas. El enfoque que se le da a este problema es tratar a los componentes del vector U como un conjunto de parámetros constantes y luego utilizar el procedimiento de búsqueda multidimensional para encontrar el ajuste de valores que minimiza la función.
Los limitantes de una medida ui pueden ser tratados como los límites aceptables de las
estrategias a implementar o como restricciones del problema de optimización. Otro caso sería repetir el proceso de optimización sin estos límites para demostrar el beneficio de remover estos valores límites.
Al utilizar la convergencia cuadrática para alcanzar el mínimo global (si se quiere maximizar, se cambia de signo la función) por medio de la búsqueda de direcciones conjugadas, se sigue el esquema mostrado en la Figura 4.9, de tal forma que se buscan los valores óptimos dentro de la función objetivo.
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Se debe tener cuidado en incluir todos los indicadores relacionados con los objetivos dentro de la función. Si todos los indicadores se incluyen en la función, seremos capaces de evaluar todos los escenarios así como conocer las posibles restricciones en los procesos de optimización.
Las funciones utilizadas en este caso, están definidas en relación a una estrategia base, es decir una estrategia donde se proponer dejar la situación tal como está, lo que representa que sus planes en los próximos 30 años, serán mínimos. De esta manera, por definición, el valor de cada función objetivo evaluada en relación con la estrategia base, o punto de referencia es cero.
A continuación, se ha dispuesto de un par de funciones objetivo, las cuales incluirán los indicadores seleccionados, lo que nos llevará a tener una comprensión global de los escenarios y una completa clasificación de las estrategias implementadas. Existen las funciones de bienestar las cuales son diseñadas con el fin de estimar la eficiencia social de los objetivos, con base en un CBA estándar (Timms et al., 2002). Por otro lado, están las funciones de sostenibilidad, las cuales consisten en estimar los beneficios netos del transporte urbano, teniendo en cuenta otros indicadores que no pueden ser monetarizados, o que es muy difícil hacerlo. Por esta razón se le da un peso proporcional a cada uno de ellos dentro de la función objetivo. Así, es posible decir que estas funciones representan (dentro de los alcances de cada indicador) los intereses de las generaciones futuras, quienes deberán ajustarse a un consumo sostenible y a reducir, en la medida de lo posible, las emisiones relacionadas con el transporte urbano.
Función de Bienestar
La perspectiva en la evaluación de diferentes políticas de transportes en este punto es el beneficio de la sociedad en su conjunto. Esto significa que en la medida de lo posible, todos los costes y beneficios que se derivan de la implementación de una política de transporte deben incluirse dentro de la función objetivo, y además deben asignarse a su respectivo agente, en este caso, gobierno, operadores, usuarios del sistema o externalidades.
En el caso de la función objetivo tipo CBA, la cuestión de quién recibe los beneficios y quien debe incurrir en los costes debe dejarse claro. En este caso se hace la evaluación por sectores y también para la sociedad en su conjunto.
Como es sabido, el principio fundamental de un CBA es utilizar evaluaciones individuales (para determinar los impactos sobre la sociedad que causa la implementación de una estrategia cualquiera). Estos cambios en el bienestar de dicha sociedad se expresan en términos de dinero. Los beneficios netos de los usuarios de un sistema de transporte están asociados a los costes generalizados de viaje, los cuales incluyen los costes monetarios (tarifas, combustible, entre otros), el valor del tiempo utilizado en viajar, además de otros tiempos adicionales, como tiempos de espera, transbordo y caminata, entre otros. De esta manera, un viaje (ir del punto A al B) está definido como una función de los gastos del desplazamiento en sí, cuya curva de demanda está relacionada directamente con nuestro modelo de transporte, el cual puede utilizarse con costes generalizados diferentes.
La función objetivo CBA será enfocada desde el punto de vista de estimar el impacto que sobre el bienestar general influyen los diferentes actores del transporte y así obtener una clasificación general en términos de contribución. Aunque este análisis tiene algunas dificultades en el momento de establecer valores monetarios para algunos impactos ambientales y sociales, ya sea porque algunos indicadores son bastante difíciles de cuantificar, o porque cambian su valor a lo largo del tiempo, en esta investigación se utilizaron valores dados por la literatura existente.
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La función objetivo CBA facilita la incorporación de aspectos de sostenibilidad social y ambiental, así como evaluar la eficiencia económica y la equidad. Entonces, se define
𝑼𝒕= (𝑢𝑡1,𝑢𝑡2, … ,𝑢𝑡𝑛) como el vector de n diferentes medidas en el año t, y 𝑼= (𝑈1,𝑈2, … ,𝑈30) como el vector de vectores de estrategias durante todo el periodo de la evaluación. Cualquier variable U es lo que anteriormente se consideró como una estrategia. Así, la forma general en que se puede expresar la función objetivo de eficiencia económica a optimizar es de la siguiente manera: 𝑊(𝑈) =� �(1 +1𝑟)𝑡∙[𝑏𝑏𝑖𝑡(𝑈𝑡)− 𝑐𝑖𝑡(𝑈𝑡)− 𝐼𝑖𝑡(𝑈𝑡)− 𝑒𝑖𝑡(𝑈𝑡)]𝑑𝑡 𝑖 30 0 (4.12) Donde, i = Representa la medida i
bt = Beneficios totales en el año t
ct = Costes totales en el año t
It = Inversiones de capital en el año t
et = Costes por emisiones en el año t
r = Tasa social de descuento [%]
t = Tiempo
Como se puede ver, la ecuación está en función del conjunto de estrategias U, y no
necesariamente en función de políticas puntuales en un año en particular Ut.
El valor de la función objetivo se calculará para cada conjunto de estrategias U. El punto importante en este paso es identificar el conjunto de medidas que maximicen la función objetivo, en lugar de tratar de buscar un óptimo individual, al final del periodo de evaluación.
Función de Sostenibilidad
En este caso, la función de sostenibilidad se basa en un análisis multicriterio MCA. La denominada decisión multicriterio es un campo interdisciplinario alimentado por fuentes muy diversas. En esencia, el análisis multicriterio es una optimización con varias funciones objetivo simultáneas y un único agente decisor.
min𝐹(𝑈) =� 𝜔𝑖∙ 𝑦𝑖 𝑛 1 𝑢 𝜖 𝑀 (4.13) Donde,
U = Es el vector [u1, u2,...,un] de las variables de decisión. El problema de decisión es el de asignar los "mejores"
(mejores en el sentido que las funciones objetivo definen valores a estas variables).
M = Es la denominada región factible del problema (el conjunto de posibles valores que pueden tomar las variables).
yi = Es la variable de decisión. Variable sobre la cual se tiene control.
ωi = Parámetro numérico cuyos valores reflejan las contribuciones relativas de los cambios en cada una de las
variables de decisión, según el logro de los objetivos.
F(U) = Es el vector [f1(u), f2(u),...,fk(u)] de las k funciones objetivo que recogen los criterios u objetivos simultáneos del
problema. La formulación "min" (a minimizar), no es restrictiva pues siempre puede conseguirse mediante un adecuado cambio de signo
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No es frecuente que en un problema de este tipo exista una única alternativa o solución (un valor concreto del vector u de las variables), para la cual alcancen simultáneamente su valor óptimo todas y cada una de las medidas. Es más, suele ocurrir que debido al menor o mayor conflicto entre los diversos criterios, una solución sea mejor que las otras en algunos de ellos, mientras que para los restantes criterios sea superada por otras soluciones.
Sin embargo, es muy frecuente que existan soluciones dominadas, llamadas así porque hay otra u otras soluciones que las superan claramente en al menos un criterio, sin ser peor en los restantes. Generalmente, sólo las soluciones no-dominadas o eficientes serán las que nos interesará seguir considerando.
Es importante que precisemos exactamente este concepto de solución eficiente, dado su papel fundamental en la teoría del análisis multicriterio. Decimos que una solución a = [a1, a2,...,an] (a Є X) es eficiente cuando no existe otra solución b Є X tal que fk(b)≥fk(a), ∀k=1,p,
con al menos un q tal que fq(b)>fq(a) (Barba-Romero, 1998).
Debido a la definición anterior, si se pasa de una solución eficiente a otra igualmente eficiente y uno de los objetivos mejora, entonces al menos alguno de las otros objetivos debe empeorar (si no ocurriese así, la segunda solución dominaría a la primera, en contra de lo supuesto). La elección entre soluciones eficientes es el verdadero problema de este tipo de análisis (Dodgson et al., 2009), ya que en principio no hay ningún otro elemento de racionalidad ‘objetiva’ que podamos manejar para descartar más soluciones. Nos vemos obligados a tener que hacer intervenir consideraciones de tipo subjetivo: las preferencias del decisor.
4.4.3 Restricciones
Existen dos tipos de restricciones que afectan el proceso de optimización: la primera se refiere a los rangos de valores dados a los parámetros involucrados dentro de la función objetivo; y la segunda se relaciona con la evaluación MCA o con las metas generales, los cuales deberán reflejar los objetivos iniciales planteados por los planificadores.
Preferiblemente, los rangos de entrada dentro de los cuales pueden variar los parámetros a optimizar, deben limitarse de tal forma que el proceso de optimización no tome mucho tiempo y además, para que tome valores reales y prácticos.
Un segundo tipo de restricciones se basa en los datos de salida del modelo. Estas restricciones pueden expresarse como un parámetro dentro del modelo en cualquier periodo de tiempo, para así poder controlar un indicador y controlar el grado en que ha logrado su objetivo particular. A través de una adecuada selección de las restricciones se puede lograr la maximización de la función deseada.
4.4.4 Análisis de Sensibilidad
El análisis de sensibilidad tienen por finalidad mostrar los efectos que sobre los indicadores de sostenibilidad escogidos, tendría una variación o cambio en el valor de las variables exógenas que influyen en el modelo, y a la vez mostrar la holgura con que se cuenta para su realización ante eventuales variaciones de tales variables en el modelo. También se puede estudiar la incertidumbre de los resultados analizando otras variables decisorias.
El análisis de sensibilidad es un resumen que muestra los valores de los indicadores objetivos para cualquier porcentaje de cambio previsible en cada una de las variables más relevantes de estudio. El gráfico resultante permite ver fácilmente las holguras con que se cuenta para variaciones de cada una de las variables.
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Este análisis se realizará de acuerdo al método Montecarlo o simulación Montecarlo (Metropolis y Ulam, 1949), donde se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones basadas en el muestreo sistemático de variables aleatorias. Por lo tanto es un proceso de cálculo que utiliza números aleatorios para derivar una salida, por lo que en vez de tener entradas con puntos dados, se asignan distribuciones de probabilidad a alguna o todas las variables de entrada. Esto generará una distribución de probabilidad para una salida después de la simulación.
Para poder realizar una simulación multivariable, es necesario suponer una distribución estadística para los parámetros que se quieren cambiar. La distribución a escoger debe estar basada en la naturaleza del modelo y de sus parámetros. Estos parámetros deben estar acotados dentro de un rango de valores. Para este estudio se supuso que los posibles valores de dichos parámetros están uniformemente distribuidos, es decir, que cada valor tiene la misma probabilidad de ser escogido como cualquier otro dentro del rango. Se utilizó esta distribución ya que no se dispone de la información necesaria para saber con certeza la distribución estadística de dichos parámetros.
El sentido de este análisis es examinar la incertidumbre de los resultados de un número de parámetros en las funciones objetivo, con dos objetivos principales: en primer lugar, se realiza una evaluación de la fiabilidad de los resultados de la implementación de una estrategia según los cambios producidos en los valores de los parámetros de la función objetivo. En segundo lugar, una evaluación de la conveniencia de los rangos de valores de las medidas seleccionadas. Los parámetros considerados se verán en el caso de estudio.
Dentro de un sistema dinámico, debido a sus complejas interacciones, en Kleijnen (1995) se habla acerca de la importancia de responder a preguntas como: ¿cuáles son los efectos en el resultado final de cambiar los valores de las medidas probadas? ¿Existe algún tipo de interacción entre los datos de entrada? Tratando de responder estas preguntas, dentro de esta investigación se utilizará un caso de estudio, en donde se tendrá en cuenta un punto más importante: ¿cuáles valores de datos de entrada dan un resultado óptimo?
4.5
R
ESUMEN YD
ISCUSIONESSe ha visto que un proceso de optimización consiste en buscar la mejor solución a un problema particular, bajo un amplio espacio de valores posibles. Este proceso de optimización se basa en la búsqueda de parámetros (definidos previamente y según el escenario) a través de un rango definido, con el fin de encontrar los valores óptimos de dichos parámetros que maximicen una función objetivo. Este procedimiento permite optimizar esta función objetivo en uno, o en los parámetros que se hayan definido, basándose en el ya enunciado método de minimización de una función de varias variables cambiando un parámetro a la vez. Aunque en los ejemplos mostrados solo se han empleado funciones con dos variables, la gran ventaja del método es su capacidad de optimizar simultáneamente varios parámetros a la vez.
El algoritmo que se ha implementado en esta Tesis Doctoral utiliza la dirección pn – p0 como una nueva dirección de búsqueda, ya que es la dirección resultante de las n iteraciones realizadas en el paso inmediatamente anterior. Esto con el fin de evitar la posible aparición de dependencias lineales entre las direcciones de búsqueda, según el método original de Powell. La diferencia más importante respecto al algoritmo de Powell original es la de descartar la dirección anterior, en cuya minimización la función ƒ ha hallado el punto mínimo. Aunque parece paradójico descartar la dirección conjugada donde se encuentra el punto ‘más’ óptimo hasta ahora hallado (en la iteración anterior), esta dirección es la que más se parece a la nueva dirección pn – p0 y es la que más influye en la dependencia lineal del conjunto de direcciones. Una buena descripción del proceso informático utilizado puede verse
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en “Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing” (Press et al., 2007). En la actualidad
es bien conocido que de todas las técnicas de optimización del tipo hill-climbing, la de Powell se considera que es la más adecuada para este tipo de modelos (Burns y Janamanchi, 2007).