Constructions on nominal sets

incertidumbres en las propiedades mecánicas de los materiales y en la geometría de los elementos, es por eso que resulta mejor considerar una metodología probabilista para la generación de las curvas. En este trabajo sólo se toman en cuenta las incertidumbres en las propiedades de los materiales, porque las propiedades geométricas son hasta cierto punto más controlables en su elaboración, por lo que tienen menor variabilidad e incertidumbre.

Los parámetros que definen las funciones de distribución, tales como la desviación estándar y el coeficiente de variación, son tomados de referencias existentes en la literatura, pues para determinar estos parámetros se requiere una amplia gama de datos experimentales para ajustar una función de distribución de probabilidad. Una vez que se tienen las distribuciones propias y sus parámetros para las variables de estudio, se utiliza la simulación por Monte Carlo para generar variaciones de dichos parámetros de manera estocástica. La aplicación de este método requiere de un gran número de simulaciones para alcanzar niveles de confianza aceptables (Bonnet, 2003).

a) Variabilidad en las propiedades estructurales

Una evaluación realista del comportamiento estructural se logra sólo si se toman en consideración las incertidumbres en las cargas, la resistencia y al respuesta, por lo que en

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estos casos se aplica la teoría de la probabilidad y los métodos de evaluación de la confiabilidad estructural, para tratar la variabilidad de estos parámetros (Gómez, 2002). El cálculo realista del comportamiento de una estructura debe contener un grupo de variables básicas, esto es, cantidades físicas que están caracterizadas por acciones e influencias ambientales, propiedades de los materiales y del suelo y cantidades geométricas. Estás variables básicas pueden ser variables aleatorias o procedimientos estocásticos. Cada variable está definida por un número de parámetros, tales como media, desviación estándar, coeficiente de variación, etc.

Existen distintas fuentes de incertidumbre en la definición de las variables aleatorias de análisis, las cuales se clasifican en incertidumbres en las acciones, geométricas, en los materiales e incertidumbres en el modelo. En cuanto a las incertidumbres los modelos pueden ser:

Modelos de acción. Un modelo de acción completo debe describir varias propiedades de

la acción, tal como magnitud, posición, dirección, duración, etc. La ocurrencia de los sismos es un fenómeno variable, tanto en tiempo de ocurrencia como en el potencial destructivo. Por esa razón no es posible definir exactamente cuándo ocurrirá, la duración, la magnitud o aceleración máxima en un sitio en específico.

Modelos geométricos. Las cantidades geométricas incluidas en el modelo generalmente

se refieren a valores nominales. Usualmente las cantidades geométricas de la estructura real difieren de los valores nominales. En algunos casos la deformación de una estructura causa desviaciones significantes de los valores nominales de las cantidades geométricas. Los efectos de dichas deformaciones son generalmente denotados como no linealidad geométrica o efectos de segundo orden y estos deben ser tomados en cuenta en el modelo.

Modelos en los materiales. Cuando se considera la resistencia o rigidez en el modelo,

normalmente se tienen relaciones constitutivas, las cuales consisten de relaciones entre las fuerzas o esfuerzos y deformaciones. Los parámetros de dichas relaciones son el modulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia, la deformación última, etc. Las cuales generalmente son consideradas variables aleatorias, que en algunos casos son dependientes del tiempo o del espacio.

En este trabajo se consideraron las incertidumbres en los materiales, tales como: la resistencia a compresión del concreto (f’c), la resistencia a la fluencia del acero de refuerzo

(fy), el modulo de elasticidad del concreto (EC,A) y el módulo de cortante del concreto (EG). También se consideró la variabilidad en las cargas, como la acción sísmica y el peso propio del concreto y del acero (wc y wa, respectivamente). Para cada variable se tomaron en cuenta las consideraciones siguientes:

i. Resistencia a compresión del concreto (f’c). La definición de este parámetro depende principalmente de las propiedades de los materiales, de la dosificación de los componentes, del proceso de fabricación, del mantenimiento, etc. El uso de este parámetro es debido a la variabilidad de la resistencia obtenida en ensayos de laboratorio a la obtenida en campo.

ii. Resistencia a la fluencia del acero de refuerzo (fy). Las variaciones en la resistencia del material de refuerzo se deben principalmente a variaciones geométricas en la sección transversal, tipo de corrugado, a la razón de carga de las mediciones experimentales, variaciones del diámetro de las barras, a la degradación del material, etc.

iii. Módulo de elasticidad y módulo cortante (EC,A EG.). Se ha reportado que los valores de módulo de elasticidad pueden exceder entre 10% y 20% de los valores dados en los códigos. Por otra parte, el módulo de elasticidad es más o menos insensitivo a la razón de carga o al tamaño de las barras de acero de refuerzo. Este parámetro es menos variable que los demás parámetros mecánicos.

iv. Peso propio del concreto y el acero (wC y wA). El peso propio involucra a los componentes estructurales y no estructurales. Las características principales del peso propio se describen como la variabilidad con el tiempo, que normalmente despreciable, y las incertidumbres en la magnitud, que suelen ser pequeñas en comparación con otro tipo de cargas. La incertidumbre depende del tipo de material usado, el modo de elaboración de los elementos estructurales, etc. Las características probabilistas de las variables aleatorias seleccionadas se presentan en la tabla 4.2, las cuales la fueron tomadas del reporte de la publicación “Probabilistic Model Code (2001)” del Joint Committee on Structural Safety, del trabajo de Goméz (2002) y del trabajo de Inyeol Paik et al. (2004), en el cual hacen un análisis de confiabilidad para puentes de concreto con material y factores de resistencia.

Tabla 4.2 Características de las variables aleatorias de entrada.

Variable Media CV Distribución

f’c (KPa) 28890 0.064 Normal Ec (KPa) 22000000 0.077 Lognormal Wc (KN/m3) 24 0.04 Normal fy (KPa) 412020 0.064 Normal fu (KPa) 618030 0.064 Normal Es (KPa) 210000000 0.08 Lognormal Ws (KN/m3) 77 0.01 Normal

f’c: Resistencia a la compresión uniaxial del concreto Ec: Módulo de elasticidad del concreto

Wc: Peso propio del concreto fy: Esfuerzo de fluencia del acero. Fu: Esfuerzo último del acero Es: Módulo de elasticidad del acero Ws: peso propio del acero.

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b) El método de Monte Carlo

Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo desarrollado por Stan Ulam y Jonh von Neumann a finales de los años 40 en el laboratorio de los Álamos, cuando investigaban el movimiento aleatorio de los electrones. Posteriormente, la simulación por Monte Carlo se ha venido aplicando a una infinidad de ámbitos como alternativa a los modelos matemáticos exactos o, incluso, como único medio de estimar soluciones para problemas complejos. En la actualidad esta simulación está presente en todos aquellos ámbitos es los que el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeña un papel fundamental, precisamente el nombre de Monte Carlo provienen de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio son comunes (Faulín, 2002).

La simulación por Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y las computadoras para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos.

En las estructuras, la variabilidad de la respuesta obtenida en un análisis, se debe al carácter aleatorio del fenómeno sísmico y de las propiedades estructurales. Para poder representar esa variabilidad es necesario recurrir al Método de Monte Carlo. Las respuestas de sistemas no lineales sujetos a excitaciones sísmicas se obtienen de manera puntual, por integración numérica de la ecuación de movimiento, por lo tanto, las estadísticas de la respuesta estructural se deben obtener mediante simulaciones.

En este trabajo, el Método de Monte Carlo se utiliza para simular las propiedades de la distribución de probabilidad de las variables de salida. Para el empleo de esta técnica se requieren dos cosas: 1) un procedimiento teórico y determinista para el cálculo de las variables de salida, en función de las variables de entrada, y 2) las propiedades de las distribuciones de probabilidad de las variables de entrada involucradas en el cálculo de las variables de salida, (Gómez, 2002).

El procedimiento utilizado se hace mediante la aplicación de algoritmos estadísticos para generar grandes variaciones de las variables de entrada cuyos histogramas se aproximen a la distribución de las poblaciones asociadas. Con estas muestras, se generan valores de variables de salida, mediante el uso de un programa de análisis determinista, para que finalmente se determinen las estadísticas de las variables de salida y la distribución de probabilidad a las que se ajusta.

En la tabla 4.3 se observa cómo se simularon algunas incertidumbres de las variables aleatorias, tales como el peso propio del concreto, el módulo de elasticidad del concreto y la resistencia a compresión del concreto. Cada una se simuló un total de 300 veces mediante el Método de Monte Carlo, aunque cabe hacerse notar para números grandes de variables aleatorias y para problemas complejos es necesario un mayor número de variaciones.

Tabla 4.3 Simulación de algunos parámetros de las variables aleatorias utilizadas para el análisis. Wc (KPa) Ec (KPa) f'c (KPa) μ = 24 μ = 28000000 μ = 28890 σ = 0.96 σ = 2156000 σ = 1860 CV = 0.04 CV = 0.077 CV = 0.06438 DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL DISTRIBUCIÓN NORMAL 1 25.861 1 29780000 1 32160 2 25.148 2 29940000 2 26090 3 23.801 3 29850000 3 31960 4 23.179 4 31440000 4 29290 5 24.482 5 31130000 5 27020 6 22.247 6 27600000 6 28280 7 23.87 7 33480000 7 27870 8 22.765 8 27760000 8 27910 9 26.048 9 28000000 9 26300 10 25.344 10 27730000 10 31380