Volume 2 – Transactions
3.20 Report Audit Event
3.20.8 Controlled Terminology for IHE Extensions
Vamos a estudiar ahora una versi´on fuerte de los cardinales inaccesibles que introdujimos en el cap´ıtulo anterior.
Definici´on 5.21 Un cardinal infinito κ es un l´ımite fuerte si para todo cardinal
µ < κ se cumple 2µ< κ.
Es claro que un cardinal l´ımite fuerte es en particular un cardinal l´ımite, ya que si fuera κ = µ+, entonces tendr´ıa que ser 2µ < µ+, lo cual es imposible. Obviamente ℵ0es un cardinal l´ımite fuerte.
Un cardinal (fuertemente) inaccesible es un cardinal l´ımite fuerte regular distinto de ℵ0.
En particular, todo cardinal fuertemente inaccesible es d´ebilmente inacce- sible, aunque el rec´ıproco no es necesariamente cierto. En el cap´ıtulo anterior se˜nalamos que no es posible demostrar la existencia de cardinales d´ebilmente inaccesibles, luego lo mismo vale para los cardinales fuertemente inaccesibles.
Nota Cuando hablemos de cardinales inaccesibles habr´a que entender que son fuertemente inaccesibles.
Conviene observar que bajo la HCG todos los cardinales l´ımite son l´ımites fuertes y, en particular, los cardinales d´ebilmente inaccesibles coinciden con los fuertemente inaccesibles.
Tambi´en es claro que si κ es un l´ımite fuerte, entonces 2<κ = κ. M´as a´un, si µ, ν < κ, entonces µν< κ, pues si ξ < κ es el m´aximo de µ y ν, tenemos que
µν≤ ξξ = 2ξ < κ. Si κ es fuertemente inaccesible podemos decir m´as:
Teorema 5.22 Si κ es un cardinal fuertemente inaccesible entonces κ<κ = κ. Demostraci´on: Basta probar que κµ ≤ κ para todo µ < κ. En efecto, como κ es regularµκ = S α<κ µα luego κµ≤ P α<κ|α| µ≤ P α<κ κ = κ.
Del mismo modo que los cardinales l´ımite pueden caracterizarse como los de la forma ℵ0 o ℵλ, existe una caracterizaci´on similar para los cardinales l´ımite fuerte, en t´erminos de la llamada funci´on bet.1
Definici´on 5.23 Definimosi : Ω −→ K (funci´on bet) como la ´unica funci´on que cumple: i0= ℵ0 ∧ V αiα+1= 2iα ∧ V λiλ= S δ<λiδ .
Teniendo en cuenta que el supremo de un conjunto de cardinales es un car- dinal, una simple inducci´on prueba quei toma todos sus valores en K. Obvia- mente es una funci´on normal.
Ejercicio: La HCG es equivalente a quei = ℵ. La caracterizaci´on a la que nos refer´ıamos es:
Teorema 5.24 Los cardinales l´ımite fuerte son exactamente los de la formai0
oiλ.
Demostraci´on: Se cumple que iλ es un l´ımite fuerte, pues si κ < iλ entonces existe un δ < λ tal que κ <iδ, luego
2κ≤ 2iδ =i
δ+1<iδ+2≤ iλ.
Rec´ıprocamente, si κ es un l´ımite fuerte, entonces κ ≤ iκ < iκ+1, luego podemos tomar el m´ınimo ordinal α tal que κ <iα. Ciertamente α no puede ser 0 ni un cardinal l´ımite, luego α = γ + 1 y, por consiguiente,
iγ≤ κ < iγ+1= 2iγ.
Si la primera desigualdad fuera estricta κ no ser´ıa un l´ımite fuerte, luego
κ = iγ. Falta probar que γ no puede ser de la forma δ + 1, pero es que en tal caso ser´ıa iδ < κ y 2iδ = κ, y de nuevo κ no ser´ıa un l´ımite fuerte. Por consiguiente γ = 0 o bien es un ordinal l´ımite.
La prueba del teorema siguiente es id´entica a la de su an´alogo 4.71:
Teorema 5.25 Un cardinal regular κ es fuertemente inaccesible si y s´olo si κ =iκ.
Es claro que Vω es una uni´on numerable de conjuntos finitos, luego su car- dinal es |Vω| = ℵ0 = i0. A partir de aqu´ı, una simple inducci´on nos da el teorema siguiente:
Teorema 5.26 Vα |Vω+α| = iα. En particular, V
α(ω2≤ α → |V
α| = iα). (Recordemos que si ω2 ≤ α entonces α = ω2+ β y ω + α = ω + ω2+ β =
ω(1 + ω) + β = ω2+ β = α.)
De este modo, si κ es fuertemente inaccesible tenemos que |Vκ| = κ. M´as a´un:
Teorema 5.27 Si κ es un cardinal fuertemente inaccesible se cumple que V
x(x ∈ Vκ↔ x ⊂ Vκ∧ |x| < κ).
Demostraci´on: Si x ∈ Vκ, entonces x ∈ Vδ, para cierto δ < κ (podemos suponer ω2 ≤ δ), luego x ⊂ V
δ y |x| ≤ |Vδ| = iδ <iκ = κ. Adem´as x ⊂ Vκ porque Vκes transitivo.
Rec´ıprocamente, si x ⊂ Vκ y |x| < κ, entonces el conjunto
A = {rang y | y ∈ x} ⊂ κ
es imagen de x, luego tiene cardinal menor que κ y, como κ es regular, A est´a acotado. Si δ < κ es una cota concluimos que x ⊂ Vδ, luego x ∈ Vδ+1 ⊂ Vκ.
Nota La raz´on por la que no puede demostrarse la existencia de cardinales inaccesibles es similar a la raz´on por la que no puede demostrarse la existencia de conjuntos no regulares: imaginemos que existe un cardinal inaccesible κ. Entonces, todas las operaciones conjuntistas, cuando se aplican a conjuntos de
Vκ, dan lugar a conjuntos de Vκ, por lo que no es posible construir un conjunto de cardinal κ. Si decidimos llamar “conjuntos” exclusivamente a los conjuntos de Vκ (y llamamos “clases” a los subconjuntos de Vκ), con ello no perdemos ninguno de los conjuntos que sabemos construir, y todos los axiomas de NBG siguen cumpli´endose igualmente (m´as a´un, se cumplen los axiomas de MK, sin la restricci´on de normalidad en el axioma de comprensi´on), pero ahora (si κ era el m´ınimo cardinal inaccesible) ya no hay cardinales inaccesibles.
En suma, no es posible demostrar la existencia de cardinales inaccesibles porque ´estos no son necesarios para que se cumplan los axiomas de la teor´ıa de conjuntos. En realidad la raz´on es la misma por la que no puede demostrarse el axioma de infinitud a partir de los axiomas restantes: todas las construcciones conjuntistas, cuando se aplican a conjuntos finitos, dan conjuntos finitos. La ´
unica raz´on por la que ℵ0 no es un cardinal inaccesible es porque lo hemos excluido en la definici´on, pero en el fondo ℵ0 es el menor cardinal inaccesible. Del mismo modo que sin el axioma de infinitud no podemos decidir si ω = Ω o bien ω ∈ Ω (y en el segundo caso ω pasa a ser el menor cardinal infinito), podemos definir
Ω1= {α ∈ Ω | V
δ ≤ α δ no es inaccesible},
y as´ı Ω1 es una clase tal que en NBG no puede decidirse si Ω1 = Ω o bien Ω1∈ Ω, y en el segundo caso Ω1pasa a ser el menor cardinal inaccesible.
En cuanto postulamos la existencia de un cardinal infinito (ω) tenemos au- tom´aticamente la existencia de muchos cardinales infinitos (ℵ1, ℵ2, . . . ), pero no la existencia de un cardinal inaccesible. Similarmente, la existencia de un cardinal inaccesible no implica la existencia de un segundo, pues si existen dos (m´ınimos) cardinales inaccesibles κ < µ, si restringimos el alcance de la pala- bra “conjunto” a los conjuntos de Vµ, se siguen cumpliendo los axiomas de la teor´ıa de conjuntos, pero ahora s´olo hay un cardinal inaccesible, puesto que µ ha quedado excluido. Equivalentemente: las operaciones conjuntistas aplicadas a conjuntos de Vµ s´olo producen conjuntos de Vµ, luego no dan lugar nunca a conjuntos de cardinal µ.
Por ello, aunque a˜nadamos como axioma a NBG que Ω1 ∈ Ω (que es una “repetici´on” del axioma de infinitud a otro nivel), podemos definir
Ω2= {α ∈ Ω | V
δ ≤ α(δ es inaccesible → δ = Ω1)}
y de nuevo tenemos que es imposible decidir si Ω2 = Ω o bien Ω2 ∈ Ω, y en el segundo caso Ω2 es el segundo cardinal inaccesible.
Estos argumentos (algo mejor formalizados) nos permiten concluir que si NBG es consistente, tambi´en es consistente a˜nadir como axioma que no existen cardinales inaccesibles (pues, como hemos dicho, tales cardinales son siempre prescindibles). En cambio, un argumento est´andar relacionado con el segundo teorema de incompletitud de G¨odel nos da que es imposible demostrar la consis- tencia de que existan cardinales inaccesibles, es decir, que NBG + Ω1∈ Ω puede ser consistente, pero si lo es, no puede demostrarse que as´ı es, ni siquiera acep- tando como hip´otesis la consistencia de NBG. Similarmente, aun suponiendo que NBG + Ω1 ∈ Ω sea consistente, ello no permite demostrar la consistencia de NBG + Ω1∈ Ω + Ω2∈ Ω, y as´ı sucesivamente.
Esto permite extender este tipo de razonamientos a los cardinales d´ebilmente inaccesibles, pues, aunque un cardinal d´ebilmente inaccesible no tiene por qu´e ser fuertemente inaccesible, puede probarse que si es consistente NBG+ “existe un cardinal d´ebilmente inaccesible”, tambi´en lo es NBG + “existe un cardinal
fuertemente inaccesible”, luego la consistencia de NBG + “existe un cardinal d´ebilmente inaccesible” no puede ser demostrada, y mucho menos la existencia de tales cardinales (es decir, que si no podemos demostrar que es consistente suponer que existen, mucho menos podemos demostrar que existen).
A su vez, todo esto est´a relacionado con la hip´otesis de los cardinales sin- gulares, pues a partir de ¬HCS puede probarse la consistencia de que existan infinitos cardinales inaccesibles, y ´esa es en el fondo la raz´on de que no pueda demostrarse la HCS en NBG.
Terminamos la secci´on con una aplicaci´on de la funci´oni que no tiene nada que ver con cardinales inaccesibles. El axioma de elecci´on de G¨odel es la sen-
tencia2
(AEG) WF (F : V −→ V ∧Vx(x 6= ∅ → F (x) ∈ X)).
El axioma de elecci´on de G¨odel postula la existencia de una funci´on de elecci´on sobre la clase universal, por lo que implica trivialmente el axioma de elecci´on de Zermelo, que s´olo postula la existencia de una funci´on de elecci´on (distinta) para cada conjunto.
Teorema 5.28 (AEG) Todas las clases propias son equipotentes.
Demostraci´on: Basta observar que podemos descomponer V y Ω en res- pectivas clases de conjuntos disjuntos como sigue:
V = Vω∪ S α∈Ω
(Vω+α+1\ Vω+α), Ω =i0∪ S α∈Ω
(iα+1\ iα).
Teniendo en cuenta el teorema 5.26 y la aritm´etica cardinal b´asica es claro que
|Vω+α+1\ Vω+α| = iα+1= |iα+1\ iα|. El axioma de elecci´on de G¨odel nos permite elegir funciones
fα: Vω+α+1\ Vω+α−→ iα+1\ iαbiyectivas. Por otra parte es claro que podemos tomar f∗ : V
ω −→ i0 biyectiva. Con todas estas funciones podemos construir
F = f∗∪ S
α∈Ω
fα: V −→ Ω biyectiva.
As´ı, si A es cualquier clase propia, F [A] es una subclase de Ω, es decir, una clase bien ordenada por una relaci´on conjuntista. Por el teorema 2.29 concluimos que F [A] es semejante a Ω (y A es equipotente a F [A]), luego toda clase propia es equipotente a Ω.
2Este axioma involucra esencialmente clases propias, luego no puede ser considerado como sentencia de ZFC, es decir, de la teor´ıa de conjuntos en la que s´olo existen conjuntos y no clases propias. S´olo tiene sentido como extensi´on de NBG. Para incorporarlo a ZF es necesario extender el lenguaje formal con un funtor F que represente la funci´on de elecci´on o con un relator que represente un buen orden sobre la clase universal.
Observemos que el axioma de regularidad —al contrario de lo que suele suceder— desempe˜na un papel crucial en la prueba anterior. En estas condicio- nes tenemos una nueva caracterizaci´on de las clases propias: una clase es propia si y s´olo si su tama˜no es comparable al de la clase universal. Podr´ıa decirse que si una clase no es un conjunto es “a causa” de un “exceso de tama˜no”.
Cap´ıtulo VI
Conjuntos cerrados no
acotados y estacionarios
Introducimos ahora unos conceptos fundamentales para trabajar con ordina- les. Exponemos la teor´ıa general en las dos primeras secciones, mientras que las siguientes contienen diversas aplicaciones independientes entre s´ı. Entre otras demostraremos un profundo teorema de Silver (1974) sobre la funci´on del con- tinuo en los cardinales singulares. Trabajamos en NBG, incluyendo el axioma de elecci´on.
6.1
Conjuntos cerrados no acotados
El concepto b´asico alrededor del cual girar´a todo este cap´ıtulo es el siguiente: Definici´on 6.1 Sea λ un ordinal l´ımite o bien λ = Ω. Una clase C ⊂ λ es
cerrada en λ si cuando un ordinal l´ımite δ < λ cumple que δ ∩C no est´a acotado
en δ, entonces δ ∈ C.
Informalmente, la definici´on exige que si C contiene ordinales menores que
δ tan pr´oximos a δ como se quiera, entonces δ ∈ C. Una caracterizaci´on ´util es la siguiente:
Teorema 6.2 Sea λ un ordinal l´ımite o bien λ = Ω. Una subclase C de λ es
cerrada en λ si y s´olo si para todo conjunto X ⊂ C no vac´ıo y acotado en λ se cumple que sup X ∈ C. Equivalentemente: para todo X ⊂ C no vac´ıo, si
sup X ∈ λ, entonces sup X ∈ C.
Demostraci´on: Supongamos que C es cerrada y sea X un subconjunto en las condiciones indicadas. Llamemos δ = sup X.
Si δ ∈ X entonces δ ∈ C. Supongamos que δ /∈ X y veamos que igualmente δ ∈ C. En primer lugar, δ es un ordinal l´ımite, pues si fuera δ = 0 tendr´ıa que
ser X = {0} y si β < δ entonces β < α para cierto α ∈ X, luego α ≤ δ, pero, como δ /∈ X, ha de ser α < δ, luego β + 1 < α + 1 ≤ δ.
En realidad hemos probado tambi´en que δ ∩ C no est´a acotado en δ, pues, dado β < δ, hemos encontrado un α ∈ δ ∩ C mayor que β. Por definici´on de clase cerrada concluimos que δ ∈ C.
Rec´ıprocamente, si C tiene la propiedad indicada y δ < λ es un ordinal l´ımite tal que δ ∩ C no est´a acotado en δ, es claro que δ = sup(δ ∩ C), luego
δ ∈ C.
Definici´on 6.3 En lo sucesivo las iniciales c.n.a. significar´an “cerrado no aco- tado”, es decir, diremos que una clase C ⊂ λ es c.n.a. en λ si es cerrada en λ y no est´a acotada en λ.
Un resultado fundamental es que los conjuntos cerrados no acotados se con- servan por intersecciones si su n´umero no alcanza la cofinalidad de λ:
Teorema 6.4 Sea λ un ordinal l´ımite de cofinalidad no numerable, β < cf λ y
{Cα}α<β una familia de conjuntos c.n.a. en λ. Entonces se cumple que T α<β
Cα
es c.n.a. en λ.
Demostraci´on: Del teorema anterior se sigue inmediatamente que la in- tersecci´T on de cualquier familia de cerrados es cerrada. S´olo queda probar que α<β
Cαno est´a acotado.
Sea fα : λ −→ λ la funci´on dada por fα(δ) = m´ın{≤ ∈ Cα | δ < ≤}. La definici´on es correcta porque Cα no est´a acotado en λ. Para todo δ < λ tenemos que δ < fα(δ) ∈ Cα.
Sea ahora g : λ −→ λ la funci´on dada por g(δ) = sup α<β
fα(δ). Notemos que
g(δ) ∈ λ por la hip´otesis de que β < cf λ. Es claro que si δ < λ entonces δ < g(δ) ≤ gω(δ) < λ, donde gω es la funci´on iterada de g definida en 4.63.
Adem´as gω(δ) es un ordinal l´ımite, pues si α < gω(δ), entonces α ∈ gn(δ) para cierto n ∈ ω y as´ı α + 1 ≤ gn(δ) < g(gn(δ)) = gn+1(δ) ≤ gω(δ).
Se cumple que gω(δ) ∩ C
α no est´a acotado en gω(δ), pues si γ ∈ gω(δ), entonces γ ∈ gn(δ) < f
α(gn(δ)) ∈ Cα y fα(gn(δ)) ≤ g(gn(δ)) = gn+1(δ) <
gω(δ), o sea, γ < f
α(gn(δ)) ∈ gω(δ) ∩ Cα.
Como Cα es cerrado podemos concluir que gω(δ) ∈ Cα, y esto para todo
α < β, luego δ < gω(δ) ∈ T α<β
Cα, lo que prueba que la intersecci´on es no acotada.
Nota Hemos enunciado el teorema anterior para conjuntos por no complicar el enunciado, pero vale igualmente (con la misma prueba) si λ = Ω y β es un ordinal cualquiera. Se podr´ıa objetar que no tiene sentido considerar una sucesi´on
{Cα}α<βde clases (necesariamente propias) c.n.a. en Ω, pero tal sucesi´on puede definirse como una subclase C ⊂ Ω × β, de modo que Cα ≡ {≤ | (≤, α) ∈ C}. El teorema siguiente nos proporciona los primeros ejemplos no triviales de cerrados no acotados:
Teorema 6.5 Sea κ un cardinal regular no numerable. Un conjunto C ⊂ κ es
c.n.a. en κ si y s´olo si existe una funci´on normal f : κ −→ κ tal que f[κ] = C.
Demostraci´on: Por el teorema 2.28, ord C ≤ κ y como |C| = κ (porque C no est´a acotado en κ y κ es regular), ha de ser ord C = κ. Sea, pues, f : κ −→ C la semejanza. Basta probar que f : κ −→ κ es normal. Claramente s´olo hay que ver que si λ < κ entonces f (λ) = S
δ<λ
f (δ). Ahora bien, λ = supκ{δ | δ < λ},
luego, al ser f una semejanza,
f (λ) = supC{f(δ) | δ < λ} = S
δ<λ
f (δ).
En efecto, como κ es regular tenemos que S
δ<λf (δ) ∈ κ y como C es cerrado tenemos que S
δ<λf (δ) ∈ C, luego obviamente se trata del supremo del conjunto
{f(δ) | δ < λ}.
Supongamos ahora que C es el rango de una funci´on normal f . Entonces
|C| = κ y en consecuencia C no est´a acotado en κ. Si δ < κ es un ordinal l´ımite
tal que δ ∩C no est´a acotado en δ, entonces sea λ = {α < κ | f(α) < δ}. Es f´acil ver que λ es un ordinal l´ımite y f |λ : λ −→ δ es inyectiva, luego |λ| ≤ |δ| < κ, de donde λ < κ. Por consiguiente podemos calcular
f (λ) = S
α<λf (α) = sup(δ ∩ C) = δ, luego δ ∈ C y C es cerrado.
Nota La prueba se adapta con cambios m´ınimos (que la simplifican) al caso en que κ = Ω. En tal caso, en lugar del teorema 2.28 aplicamos 2.29, que nos da una semejanza F : Ω −→ C. El resto de la prueba vale sin m´as cambio que omitir las referencias a la cofinalidad de κ. Para el rec´ıproco, en lugar de afirmar que |C| = κ, concluimos que C no est´a acotado porque toda funci´on normal cumple Vα α ≤ F (α), y luego tenemos trivialmente que λ ∈ Ω, sin
necesidad de considerar cardinales.
El teorema 4.65 prueba que una funci´on normal en un cardinal regular no numerable tiene un conjunto no acotado de puntos fijos. Ahora probamos que dicho conjunto tambi´en es cerrado.
Teorema 6.6 Sea κ un cardinal regular no numerable o bien κ = Ω y sea
f : κ −→ κ una funci´on normal. Entonces la clase F = {α < κ | f(α) = α} es c.n.a. en κ.
Demostraci´on: Ya sabemos que F no est´a acotada en κ. Veamos que es cerrada. Para ello tomamos λ < κ tal que λ ∩ F no est´e acotado en λ. Entonces
f (λ) = S
δ<λf (δ). Si δ < λ, entonces existe un η ∈ F tal que δ < η, luego
f (δ) < f (η) = η < λ, y por consiguiente concluimos que f (λ) ≤ λ. La otra
A partir de aqu´ı nos restringimos a estudiar conjuntos cerrados no acotados (no clases). La mayor parte de las ocasiones en que se dice que un conjunto es evidentemente c.n.a. se est´a apelando t´acitamente al teorema siguiente: Teorema 6.7 Sea κ un cardinal regular no numerable y A un conjunto de apli-
caciones f :nκ −→ κ, donde n es un n´umero natural que depende de f. Supon-
gamos que |A| < κ. Entonces el conjunto
C = {α < κ |Vf n(f ∈ A ∧ f :nκ −→ κ → f[nα] ⊂ α)} es c.n.a. en κ.
Demostraci´on: Sea λ < κ tal que C ∩ λ no est´e acotado en λ, sea f ∈ A,
f :n κ −→ κ, tomemos ordinales ≤
1, . . . , ≤n∈ λ y sea β ∈ C ∩ λ mayor que todos ellos.
As´ı f (≤1, . . . , ≤n) ∈ f[nβ] ⊂ β < λ, luego V
x ∈ nλ f (x) ∈ λ, es decir,
f [nλ] ⊂ λ, lo que implica que λ ∈ C, el cual es, por tanto, cerrado.
Sea α ∈ κ. Definimos recurrentemente una sucesi´on {αm} de ordinales en κ. Tomamos α0= α y, supuesto definido αm, para cada f ∈ A, f :nκ −→ κ sea βf el m´ınimo ordinal tal que f [nα
m] ⊂ βf < κ (existe porque |f[nαm]| ≤ |nαm| < κ, luego f [nα
m] est´a acotado en κ). Definimos αm+1 = S
f ∈A
βf < κ, pues |A| < κ y κ es regular. Finalmente definimos α∗ = sup
m∈ωαm ∈ κ. Claramente α ≤ α
∗. Si probamos que α∗ ∈ C tendremos que C es no acotado.
Tomemos una funci´on f ∈ A, f :n κ −→ κ y ordinales ≤
1, . . . , ≤n ∈ α∗. Entonces existe un natural m tal que ≤1, . . . , ≤n∈ αmy as´ı
f (≤1, . . . , ≤n) ∈ f[nαm] ⊂ βf≤ αm+1≤ α∗, luego f [α∗] ⊂ α∗ y, consecuentemente, α∗∈ C.
Si κ es un cardinal regular no numerable, el teorema 6.4 nos da que la in- tersecci´on de una cantidad menor que κ de subconjuntos c.n.a. es c.n.a. Obvia- mente esto no es cierto para familias cualesquiera de κ conjuntos (por ejemplo para {κ \ α}α<κ), pero s´ı se cumple un hecho parecido y de gran utilidad. Para enunciarlo necesitamos una definici´on:
Definici´on 6.8 Sea {Xα}α<κ una familia de subconjuntos de un cardinal κ. Llamaremos intersecci´on diagonal de la familia al conjunto
4
α<κXα= {γ < κ | γ ∈ T α<γ
Xα}.
Si intentamos probar algo “razonable” y “nos gustar´ıa” que una intersecci´on de κ conjuntos c.n.a. fuera c.n.a. es probable que en realidad nos baste lo si- guiente:
Teorema 6.9 Sea κ un cardinal regular no numerable y {Cα}α<κ una familia
de conjuntos c.n.a. en κ. Entonces 4
Demostraci´on: Por abreviar, llamaremos D a la intersecci´on diagonal. Tomemos λ < κ tal que λ ∩ D no est´e acotado en λ. Hemos de probar que
λ ∈ D, es decir, tomamos α < λ y hemos de ver que λ ∈ Cα. A su vez, para ello basta probar que λ ∩ Cα no est´a acotado en λ, pero si β ∈ λ tenemos que existe un ≤ ∈ λ ∩ D tal que α, β < ≤. Como ≤ ∈ D se cumple que ≤ ∈ Cα∩ λ, luego, efectivamente, Cα∩ λ no est´a acotado en λ y D es cerrado.
Para cada β < κ, el teorema 6.4 nos permite tomar g(β) ∈ T α<β
Cα tal que
β < g(β). Tenemos as´ı una funci´on g : κ −→ κ. Por el teorema 6.7, el conjunto
C = {λ ∈ κ | g[λ] ⊂ λ}
es c.n.a. en κ (en principio tenemos que es c.n.a. el conjunto de todos los or- dinales α < κ tales que g[α] ⊂ α, pero es claro que el conjunto de los λ < κ tambi´en es c.n.a., y C es la intersecci´on de ambos conjuntos). Si probamos que
C ⊂ D tendremos que D no est´a acotado.
Sea λ ∈ C. Tomamos α < λ y hemos de ver que λ ∈ Cα, para lo cual se ha de cumplir que λ ∩ Cα no est´e acotado en λ. Ahora bien, si δ < λ, tomamos
≤ ∈ λ tal que α, δ < ≤. As´ı δ < g(≤) ∈ λ ∩ Cα.
Los resultados que hemos obtenido sobre los conjuntos cerrados no acotados en un ordinal l´ımite λ se interpretan m´as adecuadamente con ayuda de la noci´on siguiente:
Definici´on 6.10 Un filtro en un conjunto X es una familia F ⊂ PX que cumpla las propiedades siguientes:
a) X ∈ F ∧ ∅ /∈ F ,
b) Vy ∈ FVx ∈ X(y ⊂ x → x ∈ F ),
c) Vxy ∈ F x ∩ y ∈ F .
Si κ es un cardinal infinito, un filtro F es κ-completo si para toda familia
{xδ}δ<α de α < κ elementos de F se cumple que T δ<α
xδ∈ F .
Un ideal en un conjunto X es una familia I ⊂ PX que cumpla las propiedades siguientes:
a) X /∈ I ∧ ∅ ∈ I,
b) Vy ∈ IVx ∈ X(x ⊂ y → x ∈ I),
c) Vxy ∈ I x ∪ y ∈ F .
Un ideal I es κ-completo si para toda familia {xδ}δ<αde α < κ elementos de I se cumple que S
δ<α
xδ∈ I.
La idea subyacente en estas definiciones es que un filtro es una familia de conjuntos que pueden ser considerados “muy grandes”. La primera propiedad
establece que el mayor conjunto posible es muy grande, mientras que el conjunto vac´ıo no lo es, la segunda que todo conjunto que contiene a un conjunto muy grande es muy grande y la tercera que la intersecci´on de dos conjuntos muy grandes, aunque es algo m´as peque˜na, sigue siendo muy grande.
En general, todo filtro es ℵ0-completo, es decir, que la intersecci´on de un n´umero finito de conjuntos muy grandes es muy grande. Cuanto m´as se pueda mejorar esto (es decir, si F es κ completo, para un cardinal mayor) m´as justifi- cado est´a el “muy” cuando hablamos de “conjuntos muy grandes”.
La definici´on de ideal se interpreta an´alogamente cambiando “muy grande”