Esta situación se podría ver como una función distancia.
i. Visto desde un punto de vista físico, se definiría como f(t) con t ≥ 0 , siendo f(t) la distancia recorrida en un tiempo t.
ii. Visto como espacio métrico, la distancia d se define como d(A;B) = │B –A│.
iii. Visto como una proposición lógica, podría ser verdadera o falsa, según el nadador alcance o no la otra orilla.
d Orilla final B Orilla inicial A 1 2 3 4 5 6 . . 20 F V
35
Los resultados que se obtienen de cada una de las situaciones dependen de la concepción de función que tengan los estudiantes y todas son válidas.
3.2.
Conceptualización del Ciclo ACE
El tratamiento educacional se basa en la teoría constructivista del aprendizaje realizada con trabajos en el laboratorio de computación, los cuales se orientan al desarrollo de la concepción de función por parte de los estudiantes. Para llevar a cabo el tratamiento instruccional, se elaboraron cuatro módulos del Ciclo ACE (actividades, discusión en clase y ejercicios): módulo 1, que corresponde al tema de conjuntos; módulo 2, que corresponde al tema de Lógica; módulo 3, que corresponde al tema de relaciones y, finalmente, el módulo 4, que comprende el tema de funciones. Cada módulo estuvo compuesto por una actividad, discusión en clase y ejercicios domiciliarios. En la
construcción de los dos últimos módulos, fue valioso el apoyo del libro Introduction to Discrete Mathematics with ISETL de W. Fenton y Ed Dubinsky; así también fue
importante el libro Learning Abstract Algebra with ISETL de Ed Dubinsky y Uri
Leron.
Para el desarrollo de las actividades, se consideró el lenguaje de programación ISETLW (Interactive Set Language Window), que permite desarrollar la conceptualización del concepto de función. Para ello, se elaboró el manual del programa ISETLW, basado en manual extraído de la página web http://
www.ilstu.edu/~jfcttr/isetl/; este ha servido como guía de trabajo en el laboratorio de cómputo en el momento de trabajo de las actividades con el programa ISETLW.
3.3.
Implementación didáctica
Los estudiantes del VIII y X ciclo de la especialidad de Matemática y Física de la Facultad de Educación, que participaron en el proceso de investigación, fueron
invitados en un número de 20. A ellos se les aplicó la prueba de entrada y luego se
iniciaron las actividades del ciclo ACE con la finalidad de que logren reflexionar sobre su trabajo y sobre las concepciones que tenían respecto al concepto de función. Las
sesiones se realizaron una vez por semana y se alternaron con trabajos en el laboratorio de cómputo (3 horas), con discusiones en aula (2 horas) y con las tareas domiciliarias de cada módulo durante dos meses. Asimismo, la naturaleza del trabajo fue a través de pequeños grupos, de dos y tres estudiantes intercambiados en cada clase. En el proceso del Ciclo ACE, cuatros estudiantes no terminaron con las sesiones, por tener cruce de horario y por exigencia de los docentes para recuperar clases perdidas en horarios extracurriculares con fines de culminar el ciclo luego de la huelga de docentes. El ciclo de enseñanza se realizó a través de tres componentes:
a) Actividades: En este componente, los estudiantes desarrollaron actividades en equipo (grupos de dos); este tuvo que discutir sobre las actividades propuestas y, cuando el caso lo requería, utilizaron el lenguaje de programación ISETLW como ayuda para comprender las situaciones presentadas sobre el concepto de función. Las actividades fueron diseñadas con la finalidad de inducir a los estudiantes a efectuar las construcciones mentales específicas de acciones, proceso, objeto y el nivel de esquema.
b) Discusiones en clases: En esta etapa, los estudiantes trabajaron la parte teórica en grupos de tres, bajo el principio de cooperación y la dirección del profesor que, cuando fue necesario, puntualizó algún aspecto con la finalidad de llegar a consensos sobre el concepto desarrollado.
c) Ejercicios complementarios: Los estudiantes desarrollaron de manera individual o grupal los ejercicios complementarios, en base a tareas que se encontraban al final de cada módulo. El propósito fue reforzar las ideas con respecto al tema de cada actividad y discusión de clases en un determinado módulo.
3.4.
Descripción de la recolección y análisis de datos
Proceso de la recolección de datos37
Preguntas escritas (33 situaciones – prueba de entrada), cuyas situaciones fueron
especialmente diseñadas; esta prueba de entrada duró cuatro horas (desde 8:00 a 12:00 horas). Esta prueba permitió explorar el nivel del constructo mental que tenían los estudiantes antes del inicio del Ciclo ACE. En cada una de las preguntas se encontraron respuestas correctas, incorrectas y situaciones que dejaron sin desarrollar por no comprenderlas.
Luego de haber desarrollado el Ciclo ACE, que duró dos meses, se tomó una
prueba de salida a los 16 participantes que siguieron todo el proceso. Inicialmente
fueron 20 estudiantes, de los cuales cuatro no pudieron continuar por los motivos expuestos anteriormente. La prueba de salida administrada fue igual a la prueba de entrada; esta fue un indicador de cuánto habían aprendido los estudiantes luego de haber desarrollado el Ciclo ACE.
Finalmente, se realizó la entrevista a cada uno de los 16 estudiantes acerca de los ejercicios desarrollados; se realizó un cruce de información entre los resultados de su prueba y las respuestas verbales de los estudiantes. Esta entrevista le permitió explicar sobre lo que había pensado, lo que no siempre correspondía con la interpretación que uno puede dar a lo escrito. Las preguntas que se plantearon giraron en torno a cómo fueron desarrolladas las situaciones o por qué fueron desarrollados de esa manera, tanto en la prueba de entrada (aunque casi no hubo respuestas) como en la prueba de salida. La entrevista fue grabada y, durante la conversación, los estudiantes se comportaron un tanto nerviosos, pero esta situación paulatinamente fue superada. Cada entrevista duró aproximadamente 30 minutos, tiempo restringido por coincidir con los exámenes finales de los estudiantes.
Cabe aclarar que la recolección de datos difiere de la propuesta hecha por la Teoría APOS. En la Teoría APOS se consideran solo dos momentos en la recolección de datos: una prueba de entrada (escrita) con situaciones especialmente diseñadas y la entrevista luego del Ciclo ACE. En esta propuesta, en cambio, se considera un momento adicional: la prueba de salida. Esto se consideró necesario, ya que la prueba inicial brindaba muy poca información.
Análisis de datos
En el análisis de datos, intervienen tres momentos:
Evaluar cada una de las respuestas brindadas por los estudiantes en la prueba de entrada, con la finalidad de verificar las respuestas correctas, parcialmente correctas y respuestas incorrectas o si dejaron las preguntas sin contestar. No se realizaron análisis de las respuestas. Luego de la entrevista, se contrastaron con las respuestas de la prueba de salida y las entrevistas.
A continuación, con el mismo mecanismo anterior, se realizó la evaluación de la prueba de salida. Luego, se presentaron los porcentajes de las respuestas sobre la pregunta ¿qué es una función?; estas respuestas se ha categorizaron de acuerdo a la definición de función que los estudiantes comentaron.
En este tercer momento, se compararon las pruebas de entrada y de salida de dos estudiantes; se complementó este análisis con las respuestas que dieron los
alumnos durante las entrevistas. Además, las entrevistas grabadas fueron transcritas en un formato de dos columnas; en la primera figura la conversación entre el profesor y el estudiante y, en la segunda se incluyen algunas anotaciones o comentarios que se extrajeron de este diálogo.
En base a todo el análisis anterior, se propone identificar las concepciones que poseen los estudiantes respecto al concepto de función.