Chapter 7 Results
7.4 Custom clustering
6.1.-DISEÑO DE LAS VALVULAS ANTIRETORNO
Como siguiente paso debemos averiguar la capacidad de retener del conjunto de válvulas, para esto tendremos como parámetros la pendiente del canal, que ahora podemos modificarla al valor de 10%.
Podemos hacer una apreciación importante, que a pesar que el fluido está en una cota superior su velocidad ha aumentado en vez de disminuir, esto se debe a que el área ha disminuido desde un valor inicial de 50m² a 4m².
En primer lugar tenemos un área total del ducto de 4m² en el cuál están distribuidas válvulas cuadradas de 30 cm de lado, dando como resultado 25 válvulas.
Figura 6.1 corte del segundo tramo con las válvulas anti retorno
Ahora analizamos individualmente cada válvula mediante el software ANSYS para encontrar sus parámetros físicos, partiendo en primer lugar de la geometría de la válvula:
Figura 6.2 análisis en ANSYS de una válvula anti retorno
Como segundo paso introducimos el único valor físico que conocemos, la velocidad:
Seguidamente el software nos mostrará mediante el uso de elementos finitos el valor de la presión que ejerce el fluido sobre la válvula:
Figura 6.4 análisis en ANSYS de las presiones de una válvula anti retorno
Resultando un valor de 3.189 KPa la presión que se ejerce sobre cada válvula analizada particularmente.
Ahora podemos asumir que cada válvula se comporta como una viga extremadamente ancha, entonces podemos utilizar los conceptos aprendidos en resistencia de materiales, consideramos a la válvula una viga empotrada.
Figura 6.5 tabla de resistencia de materiales sobre deformaciones
La presión la tenemos que transformar en su equivalente “w” donde este valor representa la carga distribuida sobre la viga, la relación que existe entre la presión y la carga distribuida es:
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
(𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜)(𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜)= 𝑤′
L
A
Figura 6.6 Análisis de la carga distribuida sobre una válvula 𝑤 = 3189(0.3) = 956.7𝑁
𝑚 𝐸𝑐. 6.2
Sabemos que el módulo de elasticidad de nuestro elastómero elastollan 1185A es de 20 MPa.
Figura 6.7 Modulo de elasticidad de Elastollan a base de poliéter
Sabiendo que vamos a tomar a la parte móvil de la válvula como una viga ancha (su ancho es de 1cm y su base es de 30cm) que se flexiona elásticamente. Su momento de inercia será igual a:
𝐼 =𝑏ℎ 3 12 = (0.3)(0.01)3 12 = 2.5𝑥10 −8𝑚4 𝐸𝑐. 6.3 Finalmente tenemos:
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑤𝐿
4
8𝐸𝐼 =
956.7(0.34)
8(20𝑥106)(2.5𝑥10−8)= 1.93𝑚 𝐸𝑐. 6.4
Aunque la respuesta es geométricamente imposible, nos da un indicativo de que la válvula se abrirá por completo.
6.2.- DISEÑO DE LAS VÁLVULAS EN CONJUNTO
Al conjunto de válvulas lo analizaremos en su equivalente como una placa plana de 1cm de espesor. La longitud del segundo tramo tendrá un área constante de 4m², con una pendiente del 10%, la longitud de este segundo tramo dependerá exclusivamente de la resistencia del elastómero 1185A que será analizada mediante la teoría de placas planas y confrontada con el análisis hecho en ANSYS. Tomando al conjunto de las válvulas como si fueran una placa plana.
Figura 6.8 análisis en ANSYS de la presión sobre el conjunto de válvulas anti retorno
El análisis en ANSYS nos muestra que el esfuerzo máximo se presenta en los bordes del ducto que soporta el conjunto de válvulas (en la figura se ha suprimido las válvulas).
Y analizando la resistencia de este elastómero nos encontramos con la dificultad que el esfuerzo máximo que éste puede soportar es de 50 MPa, por lo que estamos en la imperiosa necesidad de cambiar la geometría del sistema de válvulas.
Figura 6.9 Análisis del esfuerzo Vs. Deformación para elastollan 1185A
Ya que el máximo esfuerzo se concentra en los bordes y sabiendo que el espesor de nuestros bordes es de 15 cm como nos muestra la siguiente figura en la cual se ha puesto énfasis en los bordes del sistema de válvulas, tomaremos la decisión engrosar estos 15 cm de borde exterior, ya que estos bordes se encuentran los esfuerzos máximos
0.15
0
.1
5
Figura 6.10 Análisis de los bordes del sistema de válvulas
Los bordes lo engrosaremos a 3 cm y los resultamos son los siguientes en ANSYS:
Figura 6.11 Análisis en ANSYS del sistema mejorado
Vemos que el esfuerzo ha disminuido considerablemente y que el esfuerzo máximo que se produce es de 39 MPa menor que el máximo de 50 MPa, con lo cual la geometría es la adecuada para nuestro diseño.
Como siguiente paso veremos la cantidad de agua que se puede retener con los 10 KPa aplicados sobre el conjunto de válvulas(éste valor se ha puesto adrede), para lo cual utilizaremos cálculos de la hidrostática ya que el fluido se encuentra confinado temporalmente por las válvulas antiretorno. Como dato sabemos que la inclinación que le hemos dado es de 10%, lo cual indica que el ángulo de inclinación es de 5.71°. Todo este cálculo nos va a servir para hallar la longitud del ducto de agua que va a estar confinada gracias a las válvulas antiretorno.
5.7 1° conjunto de valvulas de entrada conjunto de valvulas de salida H L Nivel de agua
Como factor de seguridad nos pondremos en el caso en el que nivel de agua confinada no este hasta el máximo de su capacidad, sino que exista un vacío. Como sabemos la presión que pueden soportar nuestro conjunto válvulas es de 10KPa y la presión hidrostática en el fondo es de:
𝑃 = 𝛾𝐻 = 10𝐾𝑃𝑎 Ec.6.5 𝑃 = 𝜌𝑔𝐻 = (1030𝐾𝑔 𝑚3 ) ( 9.81𝑚 𝑠2 ) 𝐻 = 10𝐾𝑃𝑎 𝐸𝑐. 6.6 𝐻 = 0.98𝑚 𝐸𝑐. 6.7
Pero también sabemos que su geometría es:
𝑠𝑒𝑛(5.71°) =𝐻
𝐿 𝐸𝑐. 6.8
Donde la longitud entre cada sistema válvulas es de:
𝐿 = 9.85𝑚 𝐸𝑐. 6.9
Para tenerlo en un sistema en cual podamos trabajar lo redondeamos a 10 metros.
6.3.-CÁLCULO DEL NÚMERO DE TRAMOS DE AGUA CONFINADA
Ahora calcularemos el número de tramos de nuestro ducto, que va a tener para trasladar a un nivel superior en el cual hemos cambiado la energía cinética del agua en energía potencial.
Como sabemos la cantidad de energía con la que disponemos para cada ciclo de 15 segundos es de 62 492 KJ, esta energía será la encargada de producir el desplazamiento de agua confinada en los tramos del ducto.
Empezaremos haciendo el cálculo energético partiendo de la hipótesis de que en cada tramo se encuentra completamente lleno de agua, y la incógnita es la masa de agua a ser trasladada.
Para tratar el movimiento del agua a través de las válvulas haremos uso de la ecuación de transporte de Reynolds. Antes de enunciar la ecuación tenemos que definir las partes principales involucradas en dicha ecuación:
-Volumen de control: es el volumen definido en el espacio, cuyos límites están delimitados por una superficie de control (S.C.). La superficie de control puede ser variable o invariante en el tiempo y, el volumen de control puede ser fijo o desplazable. Además la cantidad de materia o masa puede variar con el tiempo dentro del volumen de control.
-Propiedad extensiva (B): Cuyos valores dependen de la cantidad de masa en el volumen de control, por ejemplo: masa, energía, cantidad de movimiento, etc. -Propiedad intensiva (β): es independiente de la masa, para cualquier propiedad extensiva B se puede definir su correspondiente propiedad intensiva β, como la cantidad: B/m de fluido. Donde B y β pueden ser magnitudes vectoriales o escalares.
Ahora escribimos la ecuación de transporte de Reynolds:
𝐷𝐵
𝐷𝑡 = ∯ 𝛽(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )𝑠𝑐+ 𝜕
𝜕𝑡∭ 𝛽𝜌𝑑𝑣𝑣𝑐 𝐸𝑐. 6.10
Donde la magnitud a calcular (B), es el momentum ejercido por el agua para que esta pueda impulsar agua encapsulada a través del ducto con válvulas anti retorno.
𝛽 = 𝐵 𝑚𝑎𝑠𝑎 =
𝑚𝑉
𝑚 = 𝑉 𝐸𝑐. 6.11
Es decir B=mv (momentum) puede expresarse también como:
𝐷(𝑚𝑉)
𝐷𝑡 = ∯ 𝑉(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )𝑠𝑐+ 𝜕
𝜕𝑡∭ 𝑉𝜌𝑑𝑣𝑣𝑐 𝐸𝑐. 6.12
Sabemos que el cambio del momentum en el tiempo, es la fuerza que impulsa dicho momentum, es decir podemos reemplazar el valor de la fuerza en el término de la izquierda de la ecuación:
𝐹 = ∯ 𝑉(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )
𝑠𝑐
+ 𝜕
𝜕𝑡∭ 𝑉𝜌𝑑𝑣𝑣𝑐 𝐸𝑐. 6.13
Ahora vamos a ver las fuerzas que interactúan durante la traslación del agua a través del ducto con válvulas anti retorno.
F
Wsen5.71°
a
Figura 6.13 Análisis de fuerzas actuantes en el segundo tramo del ducto
De donde se puede inferir la ecuación:
𝐹 − 𝑊𝑠𝑒𝑛5.71° = 𝑚𝑎 𝐸𝑐. 6.14
Donde “F” es la fuerza creadora del momentum, “Wsen5.71°” representa el peso del agua confinada en el ducto y “a” es la aceleración resultante a la cual es sometida el agua, en este caso se trata de una desaceleración ya que el fluido pierde velocidad pero gana energía potencial en el mismo proceso. En este proceso tomaremos a la aceleración como las demás fuerzas actuantes como constantes.
El volumen de control para este caso está determinado por todo el volumen del ducto que contiene las válvulas anti retorno. El volumen de éste ducto es desconocido. x 5 .7 1 °
Según este análisis se toma los valores de entrada y salida para hallar la fuerza “F” que es el primer parámetro de hallar.
Éste puede escribirse de la siguiente manera:
𝐹 = ∯ 𝑉(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )𝑠𝑐+ 0 Ec.6.15 El término de la derecha (la rapidez con que varía la cantidad de movimiento en la dirección del fluido que se encuentra en el volumen de control) se hizo nulo porque la cantidad de movimiento del fluido, aunque sea un número grande no cambiará apreciablemente con el tiempo, porque se considera que la velocidad con que ingresa el agua al ducto con las válvulas anti retorno es constante. Siguiendo con la resolución:
𝐹 = ∬ 𝑉(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎+ ∬ 𝑉(𝜌𝑉.⃑⃑⃑ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ )𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐸𝑐. 6.16
𝐹 = 𝜌𝐴(𝑉2)𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝜌𝐴(𝑉2)𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 Ec.6.17 Donde los términos comunes son la densidad del fluido porque se trata de un fluido incompresible. Otro término constante es el área transversal del ducto porque el área de entrada es la misma que el área de salida.
Éste valor reemplazamos en la ecuación 6.8 y obtenemos:
𝜌𝐴(𝑉2)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝜌𝐴(𝑉2)𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎− 𝑊𝑠𝑒𝑛5.71° = 𝑚𝑎 𝐸𝑐. 6.18
Que también puede estar escrita de la siguiente manera:
𝜌𝐴(𝑉𝑒2− 𝑉𝑠2) − 𝜌𝑔(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)𝑠𝑒𝑛5.71° = 𝜌(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)(𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝐸𝑐. 6.19
Pero sabemos que:
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = (á𝑟𝑒𝑎)(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑) = 𝐴𝑥 𝐸𝑐. 6.20
Reemplazando:
𝜌𝐴(𝑉𝑒2− 𝑉𝑠2) − 𝜌𝑔𝐴𝑥(𝑠𝑒𝑛5.71°) = 𝜌(𝐴𝑥)(𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝐸𝑐. 6.21
Tomamos como velocidad de salida del ducto 0.5 m/s y el tiempo de traslación 15 segundos porque este es el periodo de la ola marina.
(𝑉𝑒2− 𝑉𝑠2) − 𝑔𝑥(𝑠𝑒𝑛5.71°) = (𝑥)(𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝐸𝑐. 6.23 (𝑉𝑒2− 𝑉 𝑠2) − 𝑔𝑥(𝑠𝑒𝑛5.71°) = (𝑥) ( 𝑉𝑠− 𝑉𝑒 𝑡 ) = (𝑥) ( 0.5 − 7.079 15 ) 𝐸𝑐. 6.24 (𝑉𝑒2− 𝑉𝑠2) − 0.976𝑥 = −0.44𝑥 𝐸𝑐. 6.25 (𝑉𝑒2− 𝑉𝑠2) = 0.536𝑥 𝐸𝑐. 6.26 50.3 = 0.536𝑥 𝐸𝑐. 6.27 𝑥 = 93.847 Ec.6.28 Tentativamente Podemos decir entonces que nuestro ducto tendrá 9 tramos, en cada uno de estos tramos tendremos un sistema de válvulas anti retorno, como sabemos la longitud de cada tramo es 10 metros. Una vez hallados los valores de las perdidas tenemos que restarle a esta longitud para hallar la longitud efectiva
6.4.-PERDIDAS DEBIDO A LA FRICCIÓN
Al ser el ducto de elastómero, está considerado como conducto liso, es decir las perdidas por fricción son pequeñas. Como factor de seguridad ampliaremos el valor de las pérdidas tomando como referencia la velocidad máxima, es decir la velocidad de entrada.
El primer paso será encontrar el radio hidráulico, el cual es la relación entre el área y el perímetro mojado:
𝑅ℎ =4
8= 0.5𝑚 𝐸𝑐. 6.29
Para tener una relación entre el radio hidráulico y el diámetro “D” que se utiliza en la ecuación de Darcy, igualamos las dos áreas:
𝜋 4 𝐷 2 = (𝑏𝑎𝑠𝑒)𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 4 𝐸𝑐. 6.30 𝐷 = 2.26 = 4.52𝑅ℎ 𝐸𝑐. 6.31 ℎ𝑓 = 𝑓 𝐿𝑉𝑒 2 4.52𝑅ℎ(2𝑔) 𝐸𝑐. 6.32
Ahora hallamos el factor de fricción para lo cual primero calcularemos el número de Reynolds sabiendo que la viscosidad cinemática del agua a 20°C es 10-6m²/s.
𝑅𝑒 =𝑉𝐷 𝜐 = 𝑉𝑥4.52𝑅ℎ 𝜐 = (7.11𝑚/𝑠)(4.52𝑥0.5𝑚) 10−6𝑚2/𝑠 = 1.606𝑥10 7 𝐸𝑐. 6.33
Utilizando el diagrama de Moody, Nos da un valor aproximado de 0.01 como factor de fricción. Con lo que nos queda finalmente:
ℎ𝑓 = 0.01 𝐿𝑥7.079
2
4.52(0.5)(2𝑥9.81) = 0.0114(93.847) = 1.069𝑚 𝐸𝑐. 6.34
Esto porque hemos tomado la longitud del ducto que contiene las válvulas antiretorno.
6.5.-PERDIDA DE ENERGIA DEBIDO A LAS VALVULAS
La pérdida de energía debido al sistema de válvulas es muy difícil de hallar analíticamente, en esta tesis se da un valor aproximado de las pérdidas en función del cambio de energía cinética.
Vamos a utilizar la ecuación de la continuidad, antes de que el fluido entre al sistema de válvulas nos centraremos en el movimiento unitario del fluido dentro de una sola válvula, tendremos que su geometría es de 30cmx30cm, porque contiene la superficie externa de soporte. Pero cuando la válvula está abierta el área efectiva donde el fluido se transporta es de 26cmx28cm, al existir ésta disminución existirá un ligero incremento en la velocidad del fluido y consecuentemente nos brindará la velocidad del fluido como si no hubiera pérdidas de ningún tipo.
(7.079𝑚 𝑠 ) (900𝑐𝑚 2) = 𝑉 2(728𝑐𝑚2) 𝐸𝑐. 6.36 𝑉2 =8.79𝑚 𝑠 𝐸𝑐. 6.37
Analizamos nuevamente mediante el software ANSYS y nos muestra una velocidad a la salida de la válvula completamente vierte de 7.53 m/s (para nuestros cálculos le asignaremos V2’) utilizando como herramienta las líneas de
corriente. Esta podemos decir que es la velocidad “real” a la cual el agua pasa a través de las válvulas.
𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎𝑠 = 𝐻𝑣 = Δ𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 2𝑔 = 1 2𝑔(𝑉2 2− 𝑉 2′2) 𝐸𝑐. 6.38 Δ𝐸𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐻𝑣 = 1 2𝑔(8.79 2 − 7.532) = 1.048𝑚 𝐸𝑐. 6.39
En los siguientes tramos utilizaremos ésta pérdida de energía para los posteriores sistemas de válvulas, como factor de seguridad, ya que ésta es la velocidad máxima que tendremos dentro del ducto y por consiguiente las máximas perdidas posibles.
Figura 6.15 Análisis en ANSYS de las líneas de corriente que atraviesan una válvula
Como se trata de 9 sistemas de válvulas anti retorno, la pérdida total será:
𝐻𝑣,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9𝑥1.048 = 9.432𝑚 𝐸𝑐. 6.40
Entonces la velocidad real (restándole todas las pérdidas secundarias) de nuestro ducto será:
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 = 93.847 − 9.432 − 1.069 = 83.34𝑚 ≈ 80𝑚 𝐸𝑐. 6.41
La longitud efectiva será de 80 metros quedando el ducto con válvulas anti retorno de la siguiente manera:
80 5 .7 1 ° 8
Figura 6.16 resultado de la altura ganada debido al impulso del agua
Podemos concluir que hemos ganado 8 metros adicionales de energía potencial para el fluido.
El volumen de agua encapsulada en el ducto es 4(80)=320m³ y se traslada en un tiempo aproximado de 15 segundos, lo que nos da un caudal de 21.3 m³/s, para cada turbina utilizaremos un caudal de 85 m³/s, lo que significa que utilizaremos 4 ductos en paralelo, pero como se trata de un análisis meramente matemático no se sabe con certeza el caudal que van a entregar los ductos a la turbina por eso se va a agregar dos ductos como factor de seguridad.
Ya que estamos utilizando 2 turbinas en paralelo necesitaremos en total 12 ductos en paralelo para cubrir la demanda. El caudal total (170m³/s) es casi imposible de calcularlo analíticamente porque depende del tamaño de las olas, el nivel de la marea y de la sincronización de todos los movimientos del agua en los ductos
En total hemos ganado 18 metros desde el principio de la instalación éste dato nos permitirá diseñar los componentes de la central.