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Hasta el momento, los postulados de congruencia que hemos examinado son válidos para cualquier triángulo que puedas imaginar. Como tú ya sabes, existe una variedad de tipos de triángulos. En los triángulos acutángulos todos sus ángulos internos son agudos, es decir que miden menos de 90◦. Los triángulos obtusángulos poseen un ángulo que mide entre 90◦y 180◦. Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados congruentes entre sí, y todos sus ángulos interiores miden 60◦. Los triángulos rectángulos tienen un ángulo que mide exactamente 90◦. . Este ángulo se conoce como ángulo recto.

Los lados de los triángulos rectángulos tienen nombres especiales. Los dos lados adyacentes al ángulo recto se denominan catetos y el lado opuesto a dicho ángulo se denomina hipotenusa.

Ejemplo 3

¿Cuál de los lados del triángulo BCD es la hipotenusa?

Observando el 4BCD, puedes identificar que 6 _{CBD es un ángulo recto (recuerda que el pequeño cuadrado nos}

indica que dicho ángulo es un ángulo recto). Por definición, la hipotenusa de un triangulo rectángulo es opuesta al ángulo recto. Por tanto, el lado CD es la hipotenusa.

Congruencia HL

Existe un caso especial en el que el postulado SSA prueba que dos triángulos son congruentes-cuando los triángulos que comparas son triángulos rectángulos. Dos triángulos rectángulos cualesquiera poseen, al menos, un par de ángulos congruentes, los ángulos rectos.

Aunque aprenderás más sobre ella después, existe una propiedad especial de los triángulos rectángulos referida como el teorema de Pitágoras. No es importante que entiendas completamente dicho teorema ni que los sepas aplicar dentro del contexto de esta lección, pero es útil saber qué es. El teorema de Pitágoras establece que para cualquier triángulo rectángulo con catetos que midan a y b y cuya hipotenusa mida c unidades, la siguiente ecuación es verdadera.

a2+ b2= c2

En otras palabras, si conoces las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, entonces la longitud del tercer lado puede ser determinada utilizando ésta ecuación. En teoría, esto es similar a cómo el teorema de la suma de triángulos relaciona los ángulos. Tu sabes que si conoces dos ángulos, puedes encontrar el tercero.

Por el teorema de Pitágoras, si conoces las longitudes de la hipotenusa y de uno de los catetos, entonces puedes calcular la longitud del otro cateto. Por lo tanto, si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a las partes correspondientes de otro triángulo, entonces podrías probar que ambos triángulos son

congruentes por el postulado de congruencia SSS. Así, el último en nuestra lista de teoremas y postulados que prueban la congruencia entre triángulos es conocido como el teorema de congruencia HL. La “H” y la “L” significan hipotenusa y cateto (leg en Inglés).

Teorema de congruencia HL: Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Omitimos la prueba de este teorema porque aun no hemos probado el teorema de Pitágoras. Ejemplo 4

¿Qué información necesitarías para probar, mediante el teorema HL, que los siguientes triángulos son congruentes?

A. Las medidas de los ladosEF yMN B. Las medids de los lados DF y LN

C. Las medidas de los ángulos6 _{DEF y}6 _LMN

D. Las medidas de los ángulos6 _{DFE y}6 _LNM

Puesto que son triángulos rectángulos, únicamente necesitas un cateto y la hipotenusa para probar la congruencia de ambos. Los catetos DE y LM son congruentes, de modo que te falta encontrar las longitudes de las hipotenusas. La hipotenusa de 4DEF es EF. La hipotenusa de 4LMN es MN. Por consiguiente, necesitarías encontrar las medidas de los lados EF y MN. Luego, las respuesta correcta es A.

Puntos a considerar

El teorema de congruencia HL muestra que algunas veces el postulado de congruencia SSA es suficiente para probar que dos triángulos son congruentes. También sabes que otras veces no lo es. En trigonometría, estudiarás esto con mayor profundidad. Por de pronto, podrías tratar de experimentar con objetos, o bien podrías utilizar software de geometría para explorar bajo qué condiciones el postulado SSA proporciona suficiente información para inferir que dos triángulos son congruentes.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos:

• Cómo entender y aplicar el postulado de congruencia SAS.

• Cómo identificar las distintas características y propiedades de los triángulos rectángulos. • Cómo entender y aplicar el teorema de congruencia HL.

Estas habilidades te ayudarán a entender situaciones de congruencia relacionadas con triángulos. Siempre busca triángulos en diagramas, mapas y en otras representaciones matemáticas.

Preguntas de repaso

Utiliza el siguiente diagrama para los ejercicios 1-3.

1. Completa las siguientes afirmaciones de congruencia, si es posible 4RGT ∼= _________.

2. ¿Cuál postulado te permite establecer la afirmación de congruencia en 1? Si no es posible establecer una afirmación de congruencia, explica por qué.

3. Dadas las partes marcadas como congruentes en los triángulos de arriba, ¿Cuáles otras afirmaciones de congruencia conoces, basándote en tus respuestas a 1 y a 2?

Utiliza el siguiente diagrama para los ejercicios 4-6 .

4. Completa la siguiente afirmación de congruencia, si es posible4TAR ∼= _________.

5. ¿Cuál postulado de permite establecer la afirmación de congruencia en 4? Si no es posible establecer una afirmación de congruencia, explica por qué.

6. Dadas las partes marcadas como congruentes en los triángulos de arriba, ¿Cuáles otras afirmaciones de congruencia conoces, basándote en tus respuestas a 4 y a 5?

7. Completa la siguiente afirmación de congruencia, si es posible4PET ∼= ________.

8. ¿Cuál postulado te permite establecer la afirmación de congruencia en 7? Si no es posible hacer una afirmación de congruencia, explica por qué?.

9. Dadas las partes marcadas como congruentes en los triángulos de arriba ¿Cuales otras afirmaciones de con- gruencia conoces, basándote en tus respuestas a 7 y a 8?

10. Escribe una o dos líneas y un diagrama para demostrar por qué AAA no es un postulado de congruencia para triángulos.

11. ¿Desarrolla la siguiente prueba utilizando un formato de dos columnas.

Dado que: MQ y NP se intersectan en O. También que NO ∼= OQ y que MO ∼= OP Probar que:6 _{NMO ∼=}6 _OPN

T

1.6:

Afirmación Justificación

1. NO ∼= OQ 1. Dado que

2. (¡Completa la prueba con más justificaciones!) 2.