cos D = seno H
M⋅ seno H
B+ cos H
M⋅ cos H
B⋅ cos α
cos α = (cos D − seno H
M⋅ sin H
B) / (cos H
M⋅ cos H
B)
Mientras α se mantenga constante, podrán combinarse ambas fórmulas del azimut:(cosD − senoHM⋅ sinHB) / (cosHM ⋅ cosHB) = (cosDapp− senoHMapp⋅ senoHBapp) / (cos HMapp⋅cosHBapp)
De esta forma se ha eliminado el desconocido ángulo α. Ahora se resta la unidad a ambos miembros de la ecuación:
[(cosD − senoHM⋅sinHB)/(cosHM⋅cosHB)]-1 = (cosDapp− senoHMapp. senoHBapp)/ (cos HMapp⋅cosHBapp ) - 1
[(cosD − senoHM⋅ sinHB) / (cosHM ⋅ cosHB)] - [( cosHM ⋅ cosHB) / (cosHM ⋅ cosHB)]=
(cosDapp− senoHMapp⋅ senoHBapp) / (cos HMapp⋅cosHBapp ) -(cos HMapp⋅cosHBapp ) / (cos HMapp⋅cosHBapp ) (cosD − senoHM⋅ sinHB - cosHM ⋅ cosHB) /( cosHM ⋅ cosHB) =
(cosDapp− senoHMapp⋅ senoHBapp - cos HMapp⋅cosHBapp) / (cos HMapp⋅cosHBapp )
Utilizando la fórmula de los cosenos en trigonometría esférica:
7.4
Despejando ahora cosD, se obtiene la formula de Dunthorne para la “depuración de distancias lunares”: cos D = cos(HM – HB) + (cosHM⋅ cosHB) . [cosDapp – cos(HMapp – Hbapp)] / (cosHMapp⋅ cosHBapp) Añadiendo una unidad a cada miembro de la ecuación en vez de restarla, se llega a la fórmula de Young: cos D = - cos(HM + HB) + (cosHM⋅ cosHB) . (cosDapp + cos(HMapp + HBapp ) / (cosHMapp⋅ cosHBapp)
Procedimiento
La obtención de UT a partir de una distancia lunar comprende los siguientes pasos:
1.
Se mide la altura de la Luna en el limbo inferior o superior, según el que sea más visible y se anota la hora local de la observación WT1LMapp. Se aplican las correcciones para el error de índice y de depresión en el horizonte (si fuese necesario) para obtener la altura aparente del limbo medido, H1LMapp. Se repite el procedimiento con el astro de referencia a la hora local WT1Bapp y su altura H1Bapp.
2.
Ahora se mide la distancia angular entre el limbo de la Luna y el astro de referencia, DLapp, anotando la hora local
correspondiente, WTD. El ángulo DLapp ha de ser medido con la mayor precisión posible. Es recomendable tomar
varias medidas de DLapp y de sus correspondientes valores de WTD en rápida sucesión y calcular el
correspondiente valor medio. Cuando la Luna esta casi llena, no es demasiado fácil distinguir el limbo de su borde (línea de sombra). En general, el limbo tiene una apariencia muy nítida mientras el borde sombreado es menos determinable.
3.
Se miden las alturas de ambos astros de nuevo como se ha descrito anteriormente. Se registran las alturas medidas como H2LMapp y H2Bapp, anotando también la correspondiente observación horaria de ambas, WT2LMapp y
WT2Bapp.
4.
Como las mediciones solo estarán separadas por unos pocos minutos, puede calcularse la altura de cada astro por interpolación para el mismo momento de la observación de la distancia lunar:
HLMapp = H1LMapp + (H2LMapp – H1LMapp) . [(WTD – WT1LMapp) / (WT2LMapp – WT1LMapp)]
7.5
5.
Se corrige la altura aparente de la Luna y la distancia angular, DLapp mediante su semidiámetro aumentado, SDaug. Este último puede calcularse directamente a partir de la altura del limbo superior o inferior de la Luna:
_______________________________________________
tangSDaum = 0,2725 /
[– (cosHLMapp±0,2725)2 + 1 / (seno2HP
M)] – seno H
LMapp(
Limbo superior:[cosHLMapp – 0,2725];
Limbo inferior: [cosHLMapp + 0,2725])
La corrección de la altura :
Limbo inferior:
HMapp = HLMapp + SDaum
Limbo superior
:HMapp = HLMapp − SDaum
Los convenios para la corrección de las distancias lunares son:
Si el limbo lunar se encuentra en dirección al astro de referencia:
Dapp = DLapp + SDaum
Si el limbo lunar se encuentra en dirección contraria al astro de referencia:
Dapp = DLapp − SDaum
El procedimiento descrito arriba solo es una aproximación debido a que el semidiámetro aumentado es función de la altura corregida por refracción. Como la refracción tiene un valor muy pequeño y como el aumento total entre 0º - 90º de altura, es solamente de unos 0,3’, el error resultante es muy pequeño y puede ser ignorado. Cuando se elige el Sol como astro de referencia, éste requiere las mismas correcciones por Semidiámetro. Como el Sol no muestra un aumento medible, podemos utilizar el Semidiámetro geocéntrico, tabulado en el Almanaque Náutico u obtenido con el correspondiente programa de cálculo.
6.
Deben corregirse ambas alturas, HMapp y HBapp, por refracción atmosférica, R.
Ri [’] = (p[hPsc] / 1010) . (283 / (T[ºC]+273)) . [(0,97127 / tang Hi) – (0,00137 / tang3Hi)]
Ri se resta de las respectivas alturas. La fórmula de la refracción sólo es exacta para alturas superiores a unos 10º. Alturas inferiores han de comprobarse siempre debido a que la refracción resultante puede resultar errática y a causa de que el disco aparente de la Luna (y también del Sol), adquieren una figura ovalada por una creciente diferencia de refracción para los limbos superiores e inferiores. Esta distorsión afecta al semidiámetro de forma complicada en su relación con el astro de referencia.
7.6
7.
Corrección de las alturas también por paralaje:
seno PM = seno HP M ⋅ cos (HMapp − RMapp); seno PB = sin HP B ⋅ cos (HBapp − RBapp )
El criterio de aplicación para las correcciones es el siguiente:
HM = HMapp − RMapp + PM HB = HBapp − RBapp + PB
La corrección por paralaje no se aplica a las alturas de una estrella fija (HPa = 0).8.
Mediante Dapp, HMapp, HM, HBapp, y HB, se calcula D, usando las fórmulas de Dunthorne o de Young.
9.
El horario correspondiente a la Distancia geocéntrica, D se determina por interpolación. Las Tablas de Distancias Lunares muestran D en función del horario, T (TU). Si el intervalo de variación de D no es muy significativo (inferior a unos 0,3’ por cada 3 horas), puede aplicarse una interpolación lineal. Sin embargo, para determinar T, ha de considerarse T como una función de D (interpolación inversa).
TD = T1 + [(T2 −T1) ⋅ (D – D1) / (D2 – D1)]
TD es el horario desconocido correspondiente a D. D1 y D2 son Distancias Lunares tabuladas. T1 y T2 son los horarios (TU) correspondientes (T2 = T1 + 3h). D es la Distancia Lunar geocéntrica, calculada a partir de Dapp. D debe encontrarse entre D1 y D2.
Si resulta considerable el intervalo de variación de D, se obtendrán resultados más exactos aplicando métodos de interpolación no lineal; por ejemplo, mediante “la interpolación de 3 puntos de Lagrange”. Seleccionando tres pares de valores tabulados, (T1, D1), (T2, D2), y (T3, D3), TD se calcula de la manera siguiente
:
TD = T1.[(D–D2).(D–D3)/(D1–D2).(D1–D3)]+ T2.[(D–D1).(D–D3)/(D2–D1).(D2–D3)]+ T3.[(D–D1).(D–D2)/(D3–D1).(D3–D2)]
T2 = T1 + 3h, T3 = T2 + 3h; D1 < D2 < D3 o D1 > D2 > D3
D puede tener cualquier valor entre D1 y D3.
No tiene que haber un mínimo o un máximo de D durante el intervalo de tiempo [T1, T3]. Este problema no se presenta eligiendo un astro cercano, con un intervalo considerable de variación de D. Cerca de un valor mínimo o de uno máximo de D, ΔD/ΔT debería ser muy pequeño y la observación es siempre errática.
Después de determinar TD, puede calcularse el error del cronómetro, ΔT.
ΔT = WT D −TD
7.7
ΔT es la diferencia entre la hora de nuestro reloj y el momento de la observación, WTD, y la hora encontrada por interpolación, TD