Data Screening

Teorema 3.1. (Teorema de la curva de Jordan). El complemento en el plano de una curva de Jordan J tiene exactamente dos componentes conexas (una acotada y otra no acotada) cada una de ellas tiene a J como frontera.

Figura 3.2: La curva de Jordan.

Demostración. Para la demostración de este teorema lo haremos en 5 pasos.

(i) Comenzaremos por mover la curva hasta situarla en condiciones que faciliten su estudio.

Dado que J es un compacto (y homeomorfo a S1), entonces existen x, y ∈ J, tal que, d(x, y) = diam(J). Ahora, sea L la recta que une a x con y, P la

37

recta ortogonal a L que pasa por x y Q la recta ortogonal a L que pasa por y. Entonces,

P\J = {x}.

En efecto.

Supongamos que existe otro punto p ∈ PT J, p 6= x, entonces por el teorema de Pitágoras,

d(p, y)2 = d(p, x)2+ d(x, y)2,

luego, d(p, y) > d(x, y) = diam(J), lo que contradice la elección de x e y (contradice la definición de diámetro de un conjunto).

Por otro lado,

Q\J = {y}.

En efecto.

Supongamos que existe otro punto a ∈ QT J, a 6= y, por el teorema de Pitá- goras,

d(a, x)2 = d(a, y)2+ d(x, y)2,

luego, d(a, x) > d(x, y) = diam(J), lo cual contradice la elección de x e y (contradice la definición de diámetro de un conjunto).

Así pues, mediante una conveniente rotación puede conseguirse que la recta P sea el eje Y, la recta L sea el eje X y la recta Q sea una recta vertical que pasa por el punto (b, 0) con b > 0. En esa situación la curva J está contenida en la banda que determinan las rectas P y Q. Como J es compacto, entonces existen rectas horizontales R y S, por encima y por debajo respectivamente del eje X, tales que, el rectángulo que determinan juntos con las rectas P y Q, contiene a la curva J y ni R ni S cortan a la curva J.

Mediante una apropiada traslación puede conseguirse que R sea el eje X y S la horizontal que pasa por el punto (0, d), con d > 0.

Ahora se puede suponer que J cumple las siguientes condiciones (ver figura 3.3):

(1) J ⊂ X = [0, b] × [0, d].

(2) JT({0} × [0, d]) = {x} y J T({b} × [0, d]) = {y}. (3) JT([0, b] × {0, d}) = ∅.

Figura 3.3: La curva de Jordan tras moverla.

(ii) Sea u = (b/2, d) y l = (b/2, 0); dados dos puntos e y f del segmento ul, diremos que e ≤ f , si Q

2(e) ≤

Q

2(f ). Entonces, JT ul 6= ∅.

En efecto.

Para demostrarlo utilizaremos el Lema 3.1, el cual nos dice que las imágenes de dos funciones continuas definidas en un rectángulo, se cortan siempre que una vaya del lado arriba al lado de abajo y la otra del lado izquierdo al de- recho. Luego buscaremos unas parametrizaciones continuas γ1 y γ20 de ul y J

respectivamente que cumplan las condiciones del Lema y obtener lo pedido. Ver figura 3.4

Busquemos una parametrización para ul,

ul = {(x, y) ∈ R2(x, y) = (b/2, t), con t ∈ [0, d]},

para ul podemos definir γ1 : [0, d] −→ R2, por γ1(b/2, t), la cual es continua en

[0, d] y además,

γ1([0, d]) = ul.

Por lo tanto, γ1 es una parametrización continua para ul, donde u está en la

parte superior y l en la parte inferior.

39

Figura 3.4:

La curva J se puede parametrizar de modo que su punto inicial sea x y quedar- nos sólo con el arco B que hay hasta llegar a y. Debido a que J es homeomorfo a S1_{, entonces existe ϕ : J −→ S}1 _{un homeomorfismo, tal que, B = ϕ}−1_(C),

donde C es un arco en S1 _{con punto inicial ϕ(x) = w y punto final ϕ(y) = z.}

Luego bastaría encontrar una parametrización al arco C de S1 que tengan como punto inicial w = −eiq y punto final z = −ei(q+π), para algún q ∈_R.

Definamos tal parametrización como,

γ2 : [q, q + π] −→ R2, por γ2(θ) = −eiθ = (− cos(θ), −sen(θ)), q ∈ R,

Así, γ2 es continua en su respectivo dominio y además γ2([q, q + π]) = C. Luego

γ2 es una parametrización continua para el arco C con punto inicial w y punto

final z en S1. Por otro lado,

ϕ(x) = w = γ2(q), ϕ(y) = z = γ2(q + π) ⇒ x = ϕ−1(γ2(q)), y = ϕ−1(γ2(q + π)).

Luego definamos,

γ₂0 _{: [q, q + π] −→ R}2, por γ₂0(θ) = ϕ−1(γ2(θ)),

la cual es continua en [q, q + π] y además γ₂0([q, q + π]) = B. Así, γ₂0 es una pa- rametrización continua para el arco B en J con punto inicial x (lado izquierdo)

y punto final y (lado derecho).

Luego, γ1([0, d]) = ul y γ20([q, q + π]) = B, satisfacen las condiciones del Lema

3.1, entonces,

J\ul 6= ∅.

Como además ul y J son compactos, su intersección también lo es, y con el orden antes definido tendrá un máximo,

u− = sup(J\ul), ( ya que J\ul es acotado ).

Por otro lado como los punto x e y dividen a la curva J (homeomorfo a S1) en dos arcos abiertos, llamaremos a J(u) al que contiene a u− y J(l) al otro arco. Luego J(u)S{x, y} ⊂ J, es cerrado y como J es compacto, entonces J(u)S{x, y} es compacto, (por Teorema 1.4). Así, (J(u) S{x, y}) T ul es com- pacto y cuya intersección tendrá un mínimo,

m+ = ´ınf((J(u)[{x, y})\ul).

Nótese que puede ocurrir que m+ _{= u}−_{. Ver figura 3.5}

Figura 3.5:

(iii) Probemos que el segmento m+_{l corta a J(l).}

41

Primero llamaremos I(u−, m+_{) al subarco de J(u) que une a u}− _{con m}+_.

Entonces,

uu−[_I(u−

, m+)[m+_l,

es un arco que une a u con l y J(l) es un arco que une a x con y, entonces por Lema 3.1 ambos arcos se cortan. Ahora bien dado por la construcción de uu−

no puede cortar a J(l), (u− está en J(u) por definición y los puntos de uu−

están por encima; luego no están en J, ya que u− era el máximo de los que si estaban) y también sabemos que I(u−, m+_{) ⊂ J(u) que tampoco corta a J(l).}

Así, el punto de corte que hemos visto que existe, y tiene que estar en m+_l,

luego m+_{l corta a J(l). Ver figura 3.6}

Figura 3.6:

Por otra parte J(l)S{x, y} ⊂ J es cerrado y como J es compacto, enton- ces J(l)S{x, y} es compacto, (por Teorema 1.4). Así, m+_{lT(J(l) S{x, y}) es}

compacto y cuya intersección tendrá un máximo y un mínimo,

m− = sup(m+_l\_(J(l)[_{{x, y})),}

Nótese que puede ocurrir que m− = l+.

Sea ahora, m el punto medio del segmento m−_m+_{. Como m}+ _{∈ ulT J(u) y}

m− ∈ m+_{lT J(l), ambos son puntos distintos, luego m 6= m}+_{, m 6= m}− _{y así}

m /∈ J, dado que si estuviera en J, o estaría en J(l) y entonces se encontraría debajo de m− que es el máximo dem+_{lT(J(l) S{x, y}), (ya que m 6= m}−_{) lo}

que es imposible ya que m es el punto medio de m−_m+_{; ó estaría en J(u) y en-}

tonces se encontraría por encima de m+_{que es mínimo de (J(u)S{x, y}) T ul,}

(ya que m 6= m+) lo que es imposible ya que m es el punto medio de m−_m+_.

Ver figura 3.7

Figura 3.7:

(iv) Sea U la componente conexa de _R2 _{\ J que contiene a m. Probemos que U es}

acotada.

Supongamos por absurdo que U no es acotado, entonces no puede estar total- mente contenido en X , luego,

43

Así, sea p ∈ U \ X y dado que toda componente conexa es arcoconexa (ya que R2_{\ J es localmente arcoconexo) y como p y m están en la misma componente,}

entonces existe una curva β : I −→ U , tal que, β(0) = m y β(1) = p.

Ahora como m ∈ul ⊂ X y p /∈ X , β(I)T ∂(X ) 6= ∅ (ya que de lo contrario U no sería arcoconexa).

Sea,

t0 = ´ınf{t ∈ I : β(t) ∈ ∂(X )},

que existe ya que es un subconjunto cerrado de I, (ya que β es continua, entonces la imagen inversa de cualquier cerrado en β(I) es cerrado en I) luego es compacto, (por Teorema 1.4). Sea w = β(t0) y W = β([0, t0]), entonces W es un arco que une a m con w contenido en XT U , ya que W ⊂ X , pues m ∈ X y w es el primer punto que corta a la ∂(X ), (por ser β continua y por como definimos a t0) y W ⊂ U por ser imagen inmediata de β.

Por otro lado, los puntos x e y desconectan a la ∂ (X ) (que es homeomorfa a S1, por la Proposición 1.2) en dos componentes conexas o arcos abiertos A1 y A2 una superior que contiene a u y la otra inferior que contiene a l,

respectivamente. Como w 6= x, y (ya que w ∈ β(I) ⊂ U ⊂ _R2 _{\ J), entonces}

w ∈ A1 o w ∈ A2.

Si w está en el arco inferior A2, entonces hay un arco A en A2 que une a w

con l y no corta a J (ya que por paso (i), J sólo corta a ∂ (X) en x e y; que no están en A2).

Entonces,

uu−[_I(u−_{, m}+₎[

m+_m[_W[_A,

es un arco que une a u con l, y no corta a J(l)S{x, y}, (ya que uu− _que

queda por encima de J(u), que no corta a J(l); I(u−, m+) ⊂ J(u), que no lo corta; m+_{m queda por encima, así tampoco lo corta; W no lo corta, ya que}

W ⊂ U ⊂ R2_{\J; y A no lo corta porque está en A}

2, que no corta a J(l)S{x, y})

Figura 3.8:

Ahora si w está en el arco superior A1, entonces hay un arco B en A1 que une

a w con u y que no corta a J (ya que por paso (i), J sólo corta a la ∂(X ) en x e y, que no están en A1). Así,

ll+[I(l+, m−)[m−_m[_W[_B,

(donde I(l+, m−) es un subarco de J(l) que une l+ con m−), es un arco que une a l con u, que no corta J(u)S{x, y}, (ya que ll+

queda por debajo de J(l) que no lo corta; I(l+, m−) ⊂ J(l), que tampoco lo corta; m−_{m está por}

debajo de m+, luego por definición de m+ tampoco la corta; W no la corta, ya que W ⊂ U ⊂ R2_{\ J y B no lo corta, (porque está en A}

1 que no corta a

J(u)S{x, y})) lo que contradice el Lema 3.1. Por lo tanto U está acotado.

(v) Como consecuencia del paso anterior y de los Lemas 3.2 y 3.3 , tenemos que el complemento de la curva Jordan tiene al menos dos componentes conexas (de las cuales sólo una es no acotada y hay al menos una acotada), cada una de las cuales tiene a J como frontera. Así para completar la demostración del teorema bastará probar que la única componente acotada es U , (U es la misma

45

componente acotada del paso anterior). En Efecto,

Supongamos por absurdo que V es otra componente acotada de_R2\J y distinta a U . Definamos Y = int(X )S{x, y} ⊂ X , luego J ⊂ Y, entonces,

R2\ Y = R2_{\ int(X )
\ {x, y} ⊂ R}2_{\ J,}

es un conexo (por estar entre _R2_{\ int(X ), que es conexo, y su adherencia) no}

acotado contenido en _R2_{\ J, luego,}

R2\ Y ⊂ Z,

donde Z es la componente no acotada de_R2_{\ J, que existe en virtud del Lema}

3.2. Tomando complementos, se tiene que,

R2\ Z ⊂ Y,

pero R2_{\ Z es la unión de J con todas las componentes conexas acotadas de}

R2_{\ J, en particular como U y V son componentes conexas acotadas de R}2_{\ J,}

entonces están dentro de Y ⊂ X .

Sea I(m−, l+) el subarco de J(l) que une m− con l+ y sea,

H = uu−[_I(u−

, m+)[m+_m−[_I(m−

, l+)[l+l,

que es un arco que une a u con l. Ver figura 3.9

Como u, l están en _R2\ Y ⊂ Z y como uu− _{y l}+

l son conexos, uu− _{⊂ ZS J}

y l+l ⊂ ZS J; como, 

Z[J \V = ∅ ⇒ uu−\_{V = ∅, l}+

l\V = ∅.

Dado que m ∈ U y VT U = ∅, se tiene que m+_m−_{T V = ∅, ya que m}+_{∈ J(u)}

y m− ∈ J(l) y los demás puntos del segmento están en U (ya que por Lema 3.3, ∂ (U ) = J, entonces los puntos del segmento de recta m+_m− _{= {αm}−₊

(1 − α)m+_{, α ∈ I}, que se aproximan a m}+ _{(cuando α → 0) y los que se}

Figura 3.9:

Además, I(u−, m+_{)S I(m}−_{, l}+

) ⊂ J, luego esos dos arcos tampoco cortan a V. Es decir,

H\V = ∅.

Por otro lado, x, y /∈ H (ya que no están en J(l), ni en J(u) ni en el segmento ul) y H es compacto, (ya que es cerrado y es subconjunto del compacto X ). Luego se puede definir los números positivos  = dist(x, H) y δ = dist(y, H), entonces,

Vx = D(x,₂) ∧ Vy = D(y,δ₂),

son entornos abiertos de x e y respectivamente, que no cortan a H. Ver figura 3.10

Por el Lema 3.3, ∂ (V) = J, luego J ⊂ V, y como x, y ∈ J, entonces,

Vx

\

V 6= ∅ ∧ Vy

\

V 6= ∅,

esto es, existe x1 ∈ VxT V y como x /∈ V, ese x1 6= x y también existe

y1 ∈ VyT V y como y /∈ V, ese y1 6= y. Por lo tanto,

xx1 ⊂ Vx

\

X ∧ yy1 ⊂ Vy

\ X ,

47

Figura 3.10:

ya que Vx y Vy, por ser discos en R2 y X por ser un rectángulo en R2 son

convexos en_R2 _{(por las Proposiciones 1.5 y 1.4) y la intersección de convexos}

es convexa, (así el segmento de recta que se forma con cualquier par de puntos en la intersección, va a estar dentro de la intersección).

Por otro lado como V es arcoconexo (por Teorema 1.3, ya que V es localmente arcoconexo y conexo), entonces existe un arco E en V que une x1 e y1. Así,

xx1

[

E[y1y,

es un arco en VxS V S Vy, que une a x con y, que no corta a H(ya que ni Vx,

ni V, ni Vy cortan a H), que a su vez une a u con l, lo que contradice el Lema

3.1.

Luego, U es la única componente conexa acotada de _R2 _{\ J.}

R

EFERENCIAS

[1] Arenas García, Francisco y Puertas, María Luz , El Teorema de la Curva de Jordan . Divulgaciones Matemáticas Vol. 6 No. 1 (1998), 43-60.

[2] Munkres, J. R., Topology a first course., Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Yersey, 1975.

[3] Hocking, J. G. Topología., Editorial Reverté, 1975.

[4] Do Carmo P. Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice- Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458.

[5] Vivas, C. Miguel J., Análisis en una Variable Compleja. UCLA. Editorial Hori- zonte, Primera edición, Barquisimeto, 2009.

[6] Lima, E., Espaços Métricos. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq. 1977.

In document Factors affecting usage of ICT among faculty members in a private university in Iran / Batoul Faghiharam (Page 145-148)