IV. DATA SOURCES AND METHODOLOGY
1. Data Sources
Los resultados del modelo y las simulaciones indican algunas ideas respecto a las características de un esquema de pago eficiente. La primera idea es que los dos tipos de pago considerados, por pasajero transportado y por frecuencia, juegan un rol importante en la toma de decisiones del operador. En este sentido, un esquema de pago que no incluye alguno de los dos ítems determina un desempeño del sistema bajo, en comparación a un esquema que incluye ambos ítems. En el caso de la ausencia de un pago por frecuencia, al no proveer incentivos asociados a la operación, el operador va a entregar un bajo nivel de servicio. Este fue el error de los primeros contratos de Transantiago, en términos de incentivos.
Ahora bien, la importancia relativa de cada tipo de pago varía con el nivel de demanda que presenta el servicio de transporte. Conforme aumenta la demanda potencial por el servicio (dada por la curva de demanda), el pago asociado a los pasajeros transportados aumenta, como proporción del pago total al operador. Con este esquema de incentivos, si la demanda es alta, el operador va a ofrecer un alto nivel de servicio para atender esa demanda. Si la demanda es baja, el operador va a ofrecer un nivel de servicio menor que en el caso anterior, pero mayor al que ofrecería con otro esquema de incentivos.
Una segunda conclusión del modelo es que el operador debe recibir un pago asociado a la demanda que sirve. De no recibir tal pago, el operador no va ofrecer el servicio, porque su utilidad sería negativa. Otra interpretación de este resultado es que al operador se le otorgan los incentivos para recoger pasajeros o para detenerse en los paraderos.
Junto a la idea del pago por pasajero surge la discusión de cuánto riesgo de demanda asignar al operador. El valor considerado en el modelo es 100%, pero el “ambiente” del problema está controlado: no hay incertidumbre en los valores de los parámetros. La dificultad de fijar un valor de 100% es que no asegura la viabilidad financiera del
operador, lo cual constituye un problema crítico en la operación de sistemas de transporte. Incorporar el riesgo de demanda al modelo es una posible extensión para este trabajo.
La tercera conclusión está relacionada con el gasto de fondos públicos. Los resultados indican que hay una serie de esquemas de pago que determinan un buen desempeño del sistema, pero el gasto de fondos públicos asociado a cada uno es distinto, alcanzando diferencias significativas entre esquemas. A partir de ciertos valores para el pago por pasajero y el pago por frecuencia, aumentar uno de ellos tiene un efecto menor en la operación del servicio en relación al gasto que implica dicho aumento. Por lo tanto, se plantea que hay esquemas más eficientes que otros, en términos de gasto. De cualquier forma, el efecto agregado del esquema de pago se refleja en el valor del bienestar social, siendo este el criterio para elegir el esquema. Esta conclusión puede ser relevante en torno a la discusión del subsidio que se entrega al transporte público; hay espacio para aumentar la eficiencia en costos de los contratos.
Como se menciona en el capítulo 1, uno de los objetivos de esta tesis es dar luces sobre el rol que juegan los dos tipos de pago considerados en el diseño de contratos. El análisis realizado ha permitido concluir que el pago por frecuencia tiene un gran impacto en el desempeño del sistema. Por lo tanto, el pago por variables operacionales – la frecuencia puede ser una de ellas o un proxy de otras – debiera tener un peso importante en los contratos.
Con los contratos actuales de Transantiago, el pago por kilómetros recorridos representa un 30% del pago total al operador, en promedio entre los siete operadores. En cambio, en el ejercicio realizado en esta tesis, el pago por variables operacionales oscila alrededor del 50%, cifra que es significativamente mayor a la anterior. Este resultado contribuye a la discusión sobre cuáles debieran ser las proporciones asociadas a cada pago en Transantiago. En ningún caso se está sugiriendo que el pago por variables operacionales deba aumentar, basado en los resultados de esta tesis; solo se enfatiza en la relevancia de
la discusión. De cualquier forma, se ha anunciado que en los nuevos contratos el pago por este ítem va a aumentar.
Se comentó anteriormente que el riesgo de demanda es un elemento a considerar en una extensión del modelo. Otro elemento a considerar, que es mencionado en el capítulo 3, es la asimetría de información entre operador y planificador. El modelo asume que este último tiene información completa del servicio y de los costos del operador. Este supuesto es difícil de subsanar en ocasiones. El regulador puede estimar los costos de la empresa, o incluso exigir a la empresa la entrega de dicha información, pero tal estimación o entrega no siempre es fidedigna. De esta forma, incorporar las asimetrías de información al análisis de los incentivos surge como una extensión natural al modelo.
Otras extensiones consideran un diseño más complejo del sistema modelado. Este solo contempla un servicio que opera en un corredor ideal. Una extensión para el modelo es considerar la estructura de red propia de los sistemas de transporte público, con demandas relacionadas entre servicios. Otro problema que merece ser abordado es la evasión, en el cual los pasajeros transportados reales no coinciden con los que se paga al operador (en Transantiago es un problema crítico).
Una investigación que complementaría esta tesis es un análisis empírico de los contratos de transporte público y su efecto en la operación del sistema. En el caso de Transantiago, se puede analizar estadísticamente cómo el cambio de los contratos en 2012 afectó el desempeño del sistema. Para ello se requieren datos de la cantidad de pago asociada a la demanda y a la oferta del sistema, y de alguna medida que indique el nivel de servicio, antes y después de 2012.
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ANEXO A: MODELO SIMPLIFICADO
Considere un mercado de viajes en transporte público y una demanda 𝑞(𝑃) por realizar dichos viajes, en pax/h, la cual está distribuida uniformemente en el tiempo. 𝑃 es el precio generalizado de un viaje, el cual incluye el pago de una tarifa y un costo por el tiempo de espera del usuario. En este mercado opera un único servicio de transporte, el cual presenta una frecuencia de 𝑓 veh/h.
El tiempo promedio de espera de un pasajero en una parada es 𝑘/𝑓, donde 𝑘 es un parámetro asociado a la regularidad de las pasadas de los vehículos. Por ende, el tiempo promedio de espera total, es decir, de todos los pasajeros, es 𝑞𝑘/𝑓.
El costo generalizado 𝐶𝐺 de realizar un viaje incluye el pago de la tarifa y el costo por tiempo de espera del usuario. 𝐶𝐺 está dado por la ecuación (A.1),
𝐶𝐺 = 𝜏 + 𝐶𝑊𝑘
𝑓
(A.1)
donde 𝜏 es la tarifa que paga cada usuario, en $, y 𝐶𝑊 es el valor del tiempo de espera, en $/h. En equilibrio, el costo generalizado es igual a la disposición a pagar de los usuarios, 𝑃(𝑞).
Los ingresos tarifarios del sistema serán 𝜏𝑞, los cuales son recaudados por el regulador.
A partir de (A.1) y de la condición de equilibrio, se deriva la ecuación (A.2) para la tarifa.
𝜏 = 𝑃(𝑞) − 𝐶𝑊𝑘
𝑓
(A.2)
La provisión del servicio está a cargo de una sola empresa. El costo para ella de operar la frecuencia 𝑓 es 𝐶𝑂𝑓, donde 𝐶𝑂 es un costo por unidad de frecuencia, en $/(veh/h) (Mohring, 1972). El operador recibe un pago 𝜌 por la provisión del servicio. La utilidad del operador queda dada por la ecuación (A.3).
Si el pago al operador es mayor que los ingresos tarifarios del sistema, se requiere de un subsidio estatal para completar el pago. Un peso de subsidio tiene un costo para el estado de 1 + 𝜆, donde 𝜆 es el costo de los fondos públicos.
Dadas las definiciones anteriores, se define la función de bienestar social de la ecuación (A.4), 𝑊 = [∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑞 0 − (𝜏 − 𝐶𝑊𝑘 𝑓) 𝑞] + [𝜌 − 𝐶𝑂𝑓] − (1 + 𝜆)(𝜌 − 𝜏𝑞) (A.4)
donde el primer paréntesis de corchete corresponde al excedente del consumidor, el segundo paréntesis al excedente del productor, y el término restante al costo social del subsidio.
Reemplazando la ecuación (A.2) de la tarifa en la (A.4) y simplificando, se obtiene la ecuación (A.5). 𝑊 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑞 0 − 𝐶𝑊 𝑘 𝑓𝑞 − 𝐶𝑂𝑓 − 𝜆 (𝜌 − (𝑃(𝑞) − 𝐶𝑊 𝑘 𝑓) 𝑞) (A.5)
El problema first-best es el siguiente:
max 𝑞,𝑓,𝜌𝑊 𝑠. 𝑎. 𝜌 − 𝐶𝑂𝑓 ≥ 0
La restricción indica que la utilidad del operador debe ser no negativa. De esta forma, el pago óptimo va a ser igual a los costos de operación. La expresión está dada por la ecuación (A.6).
𝜌𝐹𝐵 = 𝐶𝑂𝑓 (A.6)
Reemplazando la ecuación (A.6) en la (A.5) del bienestar social y simplificando, se obtiene la ecuación (A.7).
𝑊 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 0 − (1 + 𝜆)𝐶𝑊𝑘 𝑓𝑞 − (1 + 𝜆)𝐶𝑂𝑓 + 𝜆𝑃(𝑞)𝑞 (A.7)
La condición de primer orden para la frecuencia está dada por la ecuación (A.8). 𝜕𝑊
𝜕𝑓 = (1 + 𝜆)𝐶𝑊
𝑘
𝑓2𝑞 − (1 + 𝜆)𝐶𝑂= 0
(A.8)
Y la frecuencia óptima que deriva de (A.8) está dada por la ecuación (A.9).
𝑓𝐹𝐵 = √𝐶𝑊𝑘𝑞 𝐶𝑂
(A.9)
Reemplazando la ecuación (A.9) en la (A.7) del bienestar social y simplificando, se obtiene la ecuación (A.10).
𝑊 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑞
0
− 2(1 + 𝜆)√𝐶𝑊𝑘𝑞𝐶𝑂+ 𝜆𝑃(𝑞)𝑞
(A.10)
Finalmente, la condición de primer orden para la demanda está dada por la ecuación (A.11). 𝜕𝑊 𝜕𝑞 = 𝑃(𝑞) − (1 + 𝜆)√ 𝐶𝑊𝑘𝐶𝑂 𝑞 + 𝜆 ( 𝜕𝑃 𝜕𝑞𝑞 + 𝑃(𝑞)) = 0 (A.11)
Reordenando los términos de (A.11), se obtiene la ecuación (A.12). 𝑃 − √𝐶𝑊𝑘𝐶𝑂/𝑞 𝑃 = 𝜆 1 + 𝜆 1 −𝜕𝑞 𝜕𝑃 𝑃 𝑞 (A.12)
La ecuación (A.12) es similar a la condición de Ramsey multiproducto, pero este caso es de un solo producto.
Respecto al escenario del operador, el esquema de pago que se va a usar está dado por la ecuación (A.13),
𝜌 = 𝜌𝑞𝑞 + 𝜌𝑓𝑓 (A.13)
donde 𝜌𝑓 es el pago por veh/h despachados (o pago por frecuencia) y 𝜌𝑞 es el pago por pasajero transportado.
El problema del escenario del operador se formula en dos niveles. El segundo nivel, o problema del operador, considera una restricción que corresponde a la condición de equilibrio. Su formulación es la siguiente:
max 𝑞,𝑓 𝑈
𝑠. 𝑎. 𝜏 = 𝑃 − 𝐶𝑊𝑘/𝑓
El primer nivel del problema que resuelve el escenario, o problema del planificador, considera es el siguiente: max 𝜌𝑞,𝜌𝑓,𝜏 𝑊 𝑠. 𝑎. 𝑞 = 𝑞𝑂(𝜌 𝑞, 𝜌𝑓, 𝜏) 𝑓 = 𝑓𝑂(𝜌𝑞, 𝜌𝑓, 𝜏) 𝑈 ≥ 0
donde 𝑞𝑂 y 𝑓𝑂 son la solución de 𝑞 y 𝑓 en el problema del operador. El planificador debe asegurar la viabilidad financiera del operador, al igual que en el problema first-best.
Se parte resolviendo el segundo nivel. La función lagrangeana del problema está dada por la ecuación (A.14),
ℒ = 𝑈 + 𝜇(𝜏 − 𝑃 + 𝐶𝑊𝑘/𝑓) (A.14)
donde 𝜇 es el multiplicador asociado a la restricción de tarifa.
La condición de primer orden para la demanda está dada por la ecuación (A.15). 𝜕ℒ
𝜕𝑞 = 𝜌𝑞− 𝜇 𝜕𝑃
𝜕𝑞 = 0
(A.15)
𝜕ℒ 𝜕𝑓 = 𝜌𝑓− 𝐶𝑂− 𝜇𝐶𝑊 𝑘 𝑓2 = 0 (A.16)
Despejando 𝜇 de (A.15) y (A.16), se obtiene la ecuación (A.17).
𝜇 = 𝜌𝑞
𝜕𝑃/𝜕𝑞 =
𝜌𝑓− 𝐶𝑂 𝐶𝑊𝑘/𝑓2
(A.17)
Reordenando (A.17), se obtiene la ecuación (A.18). 𝜌𝑞
𝜌𝑓− 𝐶𝑂
= 𝜕𝑃/𝜕𝑞
𝐶𝑊𝑘/𝑓2
(A.18)
El lado izquierdo de la ecuación es la pendiente de las curvas de indiferencia y el lado derecho la pendiente de las curvas de igual tarifa. En este caso, las curvas de indiferencia son rectas, por ende, su pendiente es constante. En el óptimo ambas pendientes son iguales. Si no lo fueran, en particular, si el lado izquierdo fuera mayor (en valor absoluto) que el lado derecho, una unidad adicional de frecuencia redundaría en beneficios para el operador (más ingresos que costos). Se puede lograr un efecto similar si el operador transporta un pasajero menos (si 𝜕𝑃/𝜕𝑞 es constante, no existe tal efecto).
La tasa marginal de sustitución entre 𝑞 y 𝑓 está dada por la ecuación (A.19).
𝑇𝑀𝑆𝑞,𝑓 = − 𝜌𝑞
𝜌𝑓− 𝐶𝑂
(A.19)
Para terminar de resolver el problema, hay que asumir una forma funcional para 𝑃. Si 𝑃 = 𝑎 − 𝑏𝑞, la frecuencia que elige el operador queda dada por la ecuación (A.20).
𝑓𝑂 = √ 𝐶𝑊𝑘𝜌𝑞
(𝐶𝑂− 𝜌𝑓)𝑏
(A.20)
De (A.20) se pueden deducir varios resultados. Uno de ellos es que 𝐶0 > 𝜌𝑓. Esto surge, en primer término, al asumir que la solución del problema es interior. Si la desigualdad no se cumpliera, el operador produciría una frecuencia infinita. Un segundo resultado es que 𝜌𝑞 > 0. Si 𝜌𝑞 fuera cero, la utilidad del operador sería negativa (porque 𝐶 > 𝜌𝑓), por lo
que no ofrecería el servicio. Un tercer resultado es que la frecuencia del operador es decreciente en 𝑏. En los extremos, si 𝑏 → 0 (demanda elástica), 𝑓𝑂 → ∞; mientras que si 𝑏 → ∞ (demanda inelástica), 𝑓𝑂 → 0. La frecuencia no cambia con 𝑎.
Despejando 𝑞 de la restricción, se obtiene: 𝑞 = (𝑎 − 𝜏 − 𝐶𝑊𝑘/𝑓)/𝑏. Reemplazando (A.20), se obtiene la ecuación (A.21) para 𝑞.
𝑞𝑂 = 1 𝑏(𝑎 − 𝜏 − √ 𝐶𝑊𝑘(𝐶𝑂− 𝜌𝑓)𝑏 𝜌𝑞 ) (A.21)
Respecto a la condición de segundo orden, la matriz hessiana del problema es la siguiente:
𝐻 = [ 0 0 −𝑏 0 −2𝜇𝐶𝐸 𝑘 𝑓3 𝐶𝐸 𝑘 𝑓2 −𝑏 𝐶𝐸 𝑘 𝑓2 0 ]
Y el hessiano de la matriz es negativo, es decir, la solución es efectivamente un máximo. |𝐻| =2𝐶𝐸𝑘𝑏
2𝜇 𝑓3 < 0
Resta resolver el problema del planificador. En este anexo, el problema solo se resuelve para la tarifa, dejando 𝜌𝑞 y 𝜌𝑓 como fijas. Antes de resolver, notar que:
𝜕𝑓𝑂 𝜕𝜏 = 0 𝜕𝑞𝑂 𝜕𝜏 = − 1 𝑏 𝜕(𝑞𝑂/𝑓𝑂) 𝜕𝜏 = −√ 𝐶𝑂− 𝜌𝑓 𝐶𝑊𝑘𝜌𝑞𝑏
𝜕𝑊 𝜕𝜏 = 𝑃 𝜕𝑞 𝜕𝜏 − (1 + 𝜆)𝐶𝑊𝑘 𝜕(𝑞 /𝑓 ) 𝜕𝜏 − 𝐶𝑂 𝜕𝑓 𝜕𝜏 (A.22) −𝜆 (𝜌𝑓𝜕𝑓 𝑂 𝜕𝜏 + 𝜌𝑞 𝜕𝑞𝑂 𝜕𝜏 − (𝑎 − 2𝑏𝑞) 𝜕𝑞𝑂 𝜕𝜏 ) = 0 Desarrollando: 𝜕𝑊 𝜕𝜏 = − 𝑎 − 𝑏𝑞 𝑏 + (1 + 𝜆)√ 𝐶𝑊𝑘(𝐶𝑂− 𝜌𝑓) 𝜌𝑞𝑏 − 𝜆 (− 𝜌𝑞 𝑏 + 𝑎 − 2𝑏𝑞 𝑏 ) = 0
La demanda que sirve el operador y la tarifa que fija el regulador quedan dadas por las ecuaciones (A.23) y (A.24), respectivamente.
𝑞𝑂 = (1 + 𝜆) (𝑎 − √𝐶𝑊𝑘(𝐶𝑂− 𝜌𝑓)𝑏/𝜌𝑞) − 𝜆𝜌𝑞 (1 + 2𝜆)𝑏 (A.23) 𝜏 = 𝜆 (𝑎 − √𝐶𝑊𝑘(𝐶𝑂− 𝜌𝑓)𝑏/𝜌𝑞+ 𝜌𝑞) (1 + 2𝜆) (A.24)
Respecto a la frecuencia, la ecuación (A.20) sigue siendo válida.
De (A.24) se deduce que la tarifa es creciente en 𝑎 y decreciente en 𝑏. En los extremos, si 𝑏 → 0 (demanda elástica), 𝜏 → 𝜆(𝑎 + 𝜌𝑞)/(1 + 2𝜆); mientras que si 𝑏 → ∞ (demanda inelástica), 𝜏 < 0. En relación a la demanda, de (A.23) se deduce que esta es creciente en 𝑎, pero respecto a 𝑏 el movimiento no es claro. Lo único que se puede decir es que si 𝑏 → 0, 𝑞𝑂 → ∞; mientras que si 𝑏 → ∞, 𝑞𝑂 converge a algún valor. Los movimientos respecto a 𝜆 tampoco son claros.
La condición de segundo orden para la tarifa, mostrada a continuación, asegura que la solución es un máximo.
𝜕2𝑊
𝜕𝜏2 = −
1 + 2𝜆 𝑏 < 0