Debido a que en nuestro trabajo intervienen diversos aspectos analizaremos el estado de cada uno de ellos por separado.
1.2.1 Modelización de la histéresis magnética
La modelización de la histéresis magnética es objeto de investigación de un gran número de investigadores desde los albores del siglo XX. Se han propuestos múltiples métodos para modelizar la histéresis, pero hasta el momento de escribir este trabajo no puede considerarse que se haya logrado un modelo definitivo. Todos los modelos contienen puntos débiles demasiado importantes para poder considerarlos como el modelo definitivo. Los modelos basados en la descripción cuántica del material podrían ser considerados los más ajustados, pero la propia naturaleza estocástica de los saltos de Barkhausen hace que estos modelos sean de escaso interés a escala macroscópica para aplicaciones de ingeniería. Los modelos macroscópicos sólo son capaces de describir aspectos parciales del proceso de magnetización de los materiales ferromagnéticos.
No es nuestra intención desarrollar un modelo de histéresis, sino tratar de considerar el efecto de la histéresis en nuestros cálculos de máquinas eléctricas. Por ello nuestra primera tarea ha sido recopilar los modelos de histéresis que han ido sobreviviendo a los análisis de los diversos investigadores que los han ido empleando a lo largo del siglo XX. Seguidamente hemos sometido los modelos recopilados a un análisis con objeto de ver si alguno de ellos nos era de utilidad a nuestro objetivo. De los modelos actuales más extendidos, el modelo de Jiles-Atherton [Jiles y Atherton, 1986] y el modelo de Preisach [Preisach, 1935] (con sus diversas variantes y generalizaciones), son los dos modelos que mejor se ajustan a nuestras
necesidades. Se pueden emplear como método numérico y presentan una fiabilidad aceptable sin ser excesivamente complicados de caracterizar.
Otro modelo también interesante es el de Enokizono-Soda [Enokizono y Fujita, 2002; Soda y Enokizono, 2000], pero para caracterizarlo correctamente se necesita tomar datos experimentales del campo en dos dimensiones, lo cual se escapa a las posibilidades de nuestro laboratorio.
Por las razones indicadas en el trabajo (apéndice-C) nos decantamos por el modelo de Preisach. Este modelo ha sobrevivido a más de 60 años de análisis científico y de la competencia de otros modelos que han ido quedando olvidados. El modelo de Preisach original, que se suele denominar también clásico presenta una serie de carencias que en la actualidad han ido siendo superadas con diversas generalizaciones del modelo. Actualmente hay versiones del modelo -como el modelo móvil, el modelo producto o el modelo della Torre-Oki-Kadar- que pueden considerar la acomodación y el postefecto magnético. Una gran parte del trabajo desarrollada en este sentido es debida a Edward della Torre de la Universidad de Washington.
Otra generalización del modelo de Preisach de gran interés es la propuesta de modelo dinámico de Giorgio Bertotti del Instituto Electrotécnico Galileo Ferraris. Los trabajos de Giorgio Bertotti son de gran importancia y abarcan no sólo el modelo de Preisach, sino también la descripción y comprensión de los fenómenos que acontecen en la magnetización de los materiales ferromagnéticos e incluso de las pérdidas magnéticas.
Uno de los artífices de que actualmente el modelo de Preisach sea comprendido y aplicado de forma efectiva es Isaak D. Mayergoyz, cuyos libros [Mayergoyz, 1991; Mayergoyz, 2003] son referencia casi obligada para cualquier investigador interesado en el modelo de Preisach. El profesor Mayergoyz es además el creador de varias mejoras y variantes del modelo de Preisach, incluyendo un modelo dinámico.
Uno de los aspectos de mayor controversia del modelo de Preisach es su carácter fenomenológico. El modelo no tiene ninguna relación con los procesos físicos que acontecen en la magnetización de los materiales, pues reproduce las curvas de histéresis a partir del historial de campo con una gran fiabilidad, sin embargo no explica que ocurre en el material. En este sentido el modelo de Preisach se asimila a un sistema de ajuste de curvas muy sofisticado. Giorgio Bertotti ha tratado de encontrar las conexiones entre los operadores del
modelo de Preisach y el proceso de magnetización. Sus conclusiones, expuestas en su excelente libro sobre histéresis magnética [Bertotti, 1998], se incluyen en el presente trabajo.
En nuestra experiencia uno de los grandes problemas -o mejor aun el gran problema- del modelo de Preisach es la caracterización del modelo cuando se emplea para ciertas aplicaciones. Generalmente el modelo de Preisach se caracteriza por ajuste de curvas. Se trata de un método sencillo que no requiere de demasiados datos experimentales. Este sistema no es válido para máquinas eléctricas. Los núcleos de materiales magnéticos blandos, presentan una característica tal, que caracterizando el modelo por ajuste, no se logran buenos resultados. En la actualidad, además de los métodos paramétricos o por ajuste también se han desarrollado una serie de métodos no paramétricos alternativos. Entre estos últimos destaca el método de Mayergoyz que permite caracterizar el modelo de Preisach a partir de un conjunto experimental de curvas de magnetización denominadas curvas inversas de primer orden. Este método implica un cierto esfuerzo experimental, pero con él se logran excelentes resultados en la simulación de los núcleos de las máquinas eléctricas.
En su desarrollo, el modelo de Preisach, también ha experimentado una evolución. Aparte de la aplicación directa de la ecuación base del modelo (o su interpretación geométrica) han aparecido una serie de alternativas debidas a diversos investigadores. Entre ellas destaca el método de d’Alessandro-Ferrero que permite desarrollar y caracterizar el modelo a partir únicamente de ciclos de histéresis (más sencillo de obtener que las curvas inversas de primer orden del método Mayergoyz) y el método de Naidu. Este último permite aplicar el modelo de Preisach como varias expresiones analíticas sencillas a aplicar en función del historial de campo y además únicamente necesita de una rama del ciclo de histéresis límite para caracterizar el modelo de Preisach. Ambos métodos de desarrollo llevan implícita una caracterización del modelo a partir de datos experimentales muy sencillos de obtener, pero justamente ahí está también su debilidad. Están caracterizados a partir de datos estadísticamente más pobres, por lo que los resultados también son más pobres. Una alternativa válida es el desarrollo a partir de las integrales de Everett propuesto por Isaak D. Mayergoyz.
Respecto a la información disponible sobre el modelo de Preisach a pesar de los excelentes libros sobre modelos de histéresis de Isaak D. Mayergoyz, del libro de histéresis magnética de Giorgio Bertotti y de una considerable cantidad de artículos publicados, sobretodo en el IEEE Transactions on Magnetics, esta información está muy fragmentada y de difícil comprensión. Tanto es así que se requiere de un notable esfuerzo si se desea desarrollar el
modelo de Preisach para una aplicación determinada. No existe un texto con un exposición clara del desarrollo del modelo. Esta dificultad es mucho mayor cuando se aplica una de las generalizaciones del modelo.
1.2.2 Cálculo de la distribución del campo magnético en núcleos ferromagnéticos
considerando el efecto de la histéresis
Como ya hemos comentado antes, el cálculo de la distribución del campo se realiza a partir de la ecuación de difusión que se deduce a partir de las ecuaciones de Maxwell. La dificultad de resolución de esta ecuación es muy grande cuando se aplica a geometrías complejas como las que nos encontramos en las máquinas eléctricas. La aplicación del método de los elementos finitos a los cálculos en electromagnetismo, a la ingeniería eléctrica y por supuesto las máquinas eléctricas ha supuesto la superación de esta dificultad. La aplicación del método de los elementos finitos permite el cálculo del campo magnético (u otras variables electromagnéticas de interés) en prácticamente cualquier geometría, incluso tridimensional. En este sentido se puede considerar que el problema está superado. Como muestra del estado del arte de la aplicación del método de los elementos finitos en ingeniería eléctrica valga como referencia los libros de P.P Silvester y RL. Ferrari [Silvester y Ferrari, 1996] o Sheppard J. Salon [Salon, 1995] por mencionar obras que, sin ser lo último publicado, son de referencia en el tema.
No obstante, todo lo dicho se puede considerar correcto siempre y cuando no se considere el efecto de la histéresis cuando se resuelve la ecuación de difusión en materiales ferromagnéticos o se considere de una forma simplificada. En tal caso, no se puede considerar que el problema esté resuelto tan claramente. Tanto es así que, en nuestro conocimiento, no hay ningún programa comercial de elementos finitos que considere realmente la histéresis. Existe una colaboración de Edward della Torre y su equipo con los responsables del programa “Flux” para tratar de incluir de alguna manera el modelo de Preisach en este programa.
Investigadores de todo el mundo están trabajado en la combinación del modelo de Preisach con los diversos métodos numéricos, lográndose poco a poco resultados interesantes, si bien aún no puede considerarse que exista un procedimiento definitivo. Existe una cierta dispersión –a parte de poca transparencia- en los métodos y procedimientos empleados. Las referencias más interesantes son: [Albanese y Rubinacci, 1992], [Boglietti, Cavagnino,
Lazzari et al, 2003], [Bottauscio, Chiampi, Dupré et al, 1998], [Gyselinck, Vandervelde, Makareev et al 2000], [Kim, Jung y Hong, 1998], entre otras.
Respecto a la aplicación y desarrollo del método de los elementos finitos existe mucha y excelente información. Pero, como es lógico, no ocurre así con la combinación del modelo de Preisach con los métodos numéricos. En este caso la información aún es más confusa y fragmentada que en el caso del desarrollo del modelo de Preisach comentado en el apartado anterior.