Delphi Study first round

Consideremos, como primer paso, fotones provenientes de una fuente suficien- temente cercana. En ese caso, podemos pensar que el factor de expansi´on del universo no ha variado demasiado en el tiempo de vuelo del fot´on, asumir entonces a(t)'const y la ecuaci´on de onda (5.27) se reduce a

a∂_t2A~− ∇ 2_A~ a = 2χ`Pa 2_{∇ ×} Ã a∂_t2A~−∇ 2_A~ a ! . (5.29)

Si proponemos una soluci´on correspondiente a una onda plana de la forma ~ A=Re ³ ~ A0eiS ´

y la insertamos en las expresi´on de arriba, obtenemos la siguiente relaci´on de dispersi´on para el vector de onda kµ:=S, µ

(−a2_k2

t +k2)(1−2χ`Pa2k) = 0, (5.30)

donde k2 _{≡ k}2

x +ky2 +k2z. Vemos, por lo tanto, que el vector kµ satisface la

relaci´on de dispersi´on usual gµν_k

µkν = 0.

Notar adem´as que este resultado es v´alido en la aproximaci´on de ´optica geo- m´etrica de la propagaci´on, ya que en ese caso estamos considerando el l´ımite de muy altas frecuencias y podemos despreciar, en primera aproximaci´on, las derivadas temporales del factor de expansi´on frente a las derivadas temporales del campo electromagn´etico.

Si consideramos, por otra parte, una fuente ubicada a distancias cosmol´ogicas (que es el caso de inter´es si queremos estudiar efectos inducidos por Gravedad Cu´antica) entonces no podemos suponer a(t)'const y debemos tener en cuenta los t´erminos que contienen derivadas temporales del factor de expansi´on y resolver la ecuaci´on de onda completa (5.27) de manera perturbativa puesto que la misma no admite soluciones en ondas planas de amplitud constante, como la propuesta anteriormente. El problema es m´as simple de resolver si introducimos el tiempo conforme η, tal que dη_dt = a−1_{. Expresada en esta nueva variable, el elemento de}

l´ınea de FRW est´a dado por

y la ecuaci´on de onda (5.27) se puede reescribir como

(1−2χ`Pa2∇×)¤A~ = 4χ`Paa0∇ ×A~0, (5.32)

donde ¤A~ ≡ ∂2

ηA~ − ∇2A~ y prima denota la derivada con respecto al tiempo

conformeη. Notar que, en vista de que la m´etrica (5.31) es conformemente plana, la ecuaci´on de onda cl´asica asociada es simplemente ¤A~ = 0.

Resolveremos entonces la ecuaci´on (5.32) de manera perturbativa proponiendo una soluci´on de la forma

~

A=A~class+χ`PA,~˜ (5.33)

donde A~class es la onda plana cl´asica A~class =Re(A~0ei(ωη−~k·~x)), con ω2 = k2 y

k2 ₌~k_·~k_{. Instertando la soluci´on (5.33) en (5.32) e ignorando t´erminos de orden}

(χ`P)2 y mayores, obtenemos la ecuaci´on que debe satisfacer A~˜:

¤A~˜ = 4aa0_{∇ ×A}~0

class

= −4iaa0_~k×A~0

class (5.34)

Para encontrar la forma final de la soluci´on, debemos hacer alguna suposici´on sobre el factor de expansi´on a(t). Consideremos un modelo Einstein-De Sitter, es decir, un universo FRW dominado por materia. En ese caso el radio del universo como funci´on del tiempo comovil est´a dado por a(t) =αt2/3 _{y, escrito en t´erminos}

del tiempo conforme η es

a(η) =α ³_α 3(η−η0) +t 1/3 0 ´₂ , (5.35)

donde el sub´ındice 0 denota el momento t0 de emisi´on de la radiaci´on elec-

tromagn´etica, para el cual el valor del factor de expansi´on de supone a0 (esto

significa que la constante α est´a dada por α = a0t−02/3). Introduciendo esto en

(5.34) podemos obtener la soluci´on perturbativa final:

~ A = Re h (A~0+χ`Pα2(ˆn×A~0))(L(ω, r)−L(ω, r0))ei(ωη−~k·~x) i , ≡ Reh(A~0+χ`PΛ(~ η, ω))ei(ωη−~k·~x) i , (5.36) donde ˆn = ~k

|~k| y la funci´on L(ω, r) est´a definida por

L(ω, r) =−α3r 9ω2 + 2αr3 3 +i µ α2_r2 3ω −ωr 4 ¶ , (5.37)

§4. PROPAGACI ´ON DE LUZ EN UN ESPACIO FRW CU ´ANTICO 75

con r = α

3(η−η0) +t 1/3

0 ´o, en t´erminos del tiempo com´ovil, r = t1/3. Notar que

para obtener esta expresi´on hemos impuesto como condici´on inicial que la soluci´on completa de la aproximaci´on semicl´asica coincida con la onda cl´asica asociada en el instante de emisi´ont0.

Podemos ver de la ecuaci´on (5.36) que la soluci´on final corresponde a una onda plana con la misma fase que la onda cl´asica asociada y por ende una relaci´on de dispersi´on estandar. Por lo tanto, la velocidad de propagaci´on no se ve modificada por efectos de Gravedad Cu´antica. El vector de amplitud, por otra parte, presen- ta correcciones dependientes tanto de la frecuencia como del tiempo debido a la interacci´on de los fotones con el universo cu´antico. Como veremos a continuaci´on, esta interacci´on induce una rotaci´on del vector de polarizaci´on de la onda inicial, mientras que su amplitud, dentro de la aproximaci´on lineal considerada, no se ve afectada.

Para estudiar el comportamiento de las correcciones mencionadas, considere- mos una onda inicial normalizada y linealmente polarizada. Si introducimos una base ortonormal con orientaci´on derecha (ˆe1,ˆe2,ˆn) y asumimos que el potencial de

Maxwell inicial est´a polarizado a lo largo de la direcci´on ˆe1, obtenemos, tomando

la parte real de (5.36) ~

A = [ˆe1+χ`Peˆ2Re(L(ω, r)−L(ω, r0))]cos(ωη−~k·~x)

−χ`Peˆ1α2Im(L(ω, r)−L(ω, r0))sin(ωη−~k·~x). (5.38)

A partir de esta expresi´on no podemos concluir ning´un resultado cuantitativo para la correcci´on a la magnitud del vector amplitud, ya que obtenemos

|A~0+χ`P~Λ(η, ω)|=|A~0|+O((χ`P)2) (5.39)

y hemos estado considerando, a lo largo de todo el desarrollo, la aproximaci´on lineal (hemos, por lo tanto, descartado los t´erminos cuadr´aticos en`P en los c´alcu-

los). Por otra parte, la direcci´on del vector de amplitud s´ı se ve afectada, y el ´angulo de rotaci´on θ del vector de polarizaci´on se puede obtener de (5.38), resultando en

tan(θ) =χ`Pa0t−02/3

p

Im(L(ω, r)−L(ω, r0))2+Re(L(ω, r)−L(ω, r0))2. (5.40)

y es una funci´on creciente tanto del tiempo de vuelo t como de la frecuencia ω de la onda. A partir de la ecuaci´on (5.40) es posible probar que la tangente del ´angulo de polarizaci´on presenta un comportamiento creciente con el tiempo (para una frecuencia dada) con el t´ermino dominante de la forma t4/3 _{(ver figura 5.1),}

mientras que para un instante de tiempo fijo, dicho ´angulo crece linealmente con la energ´ıa del fot´on (fig. 5.2).

0 2 4 6 8 10 12 14 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t

Figura 5.1:Tangente del ´angulo correspondiente a la direcci´on de polarizaci´on de la onda como funci´on del tiempo comovil, para una dada energ´ıa del fot´on, cuyo comportamiento es de la forma tan(θ)∝t4/3_. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 200 400 600 800 1000 omega

Figura 5.2: Tangente del ´angulo correspondiente a la direcci´on de polarizaci´on de la onda como funci´on de la frecuencia, para t fijo. El gr´afico muestra un comportamiento de tipo lineal.

§4. PROPAGACI ´ON DE LUZ EN UN ESPACIO FRW CU ´ANTICO 77

Es importante destacar que este resultado difiere del obtenido en el trabajo de Gambini y Pullin [2], donde la dependencia del ´angulo de polarizaci´on con la energ´ıa del fot´on es de tipo cuadr´atica. Notar, asimismo, que la soluci´on (5.36) no presenta el efecto de birrefringencia predicho en [2], ya que en nuestro formalismo la velocidad de propagaci´on de la onda resulta independiente tanto de la frecuencia como del estado de polarizaci´on de la misma.

La rotaci´on del vector de polarizaci´on que hemos obtenido tiene importantes consecuencias observacionales, del tipo de las mencionadas en cap´ıtulos anteriores, a saber, si una fuente emite un paquete de onda linealmente polarizado con un espectro de energ´ıas, al viajar por el universo la direcci´on de polarizaci´on de los fotones de frecuencia m´as alta rotar´a un ´angulo mayor que la de aquellos menos energ´eticos. El resultado neto ser´ıa una p´erdida total de la polarizaci´on al momento de ser observado. El hecho de que se observe, sin embargo, luz proveniente de fuentes cosmol´ogicas con un alto porcentaje de polarizaci´on lineal, es un indicativo de que el efecto, de existir, es muy peque˜no (con ordenes de magnitud por debajo de la sensibilidad de los instrumentos actuales). M´as a´un, podr´ıamos usar los datos observacionales disponibles, para imponer una cota superior para la constante de acoplamiento χ. Claramente, si usamos los datos de Coburn et al dicha cota ser´a distinta del valor χ ≤ 10−15 _{obtenida en [41], pues la misma fue calculada}

para un efecto de tipo cuadr´atico en la energ´ıa. Si suponemos dos fotones emitidos simultaneamente por una fuente cosmol´ogica a distancia L con igual estado de polarizaci´on y de longitudes de ondaλ1yλ2respectivamente, entonces, al momento

de ser detectados, sus direcciones de polarizaci´on habr´an rotado de manera que la diferencia entre los ´angulos correspondientes estar´ıa dada por

∆θ =χrw`Pα (cL)4/3 c 2π µ 1 λ1 − 1 λ1 ¶ . (5.41)

Para derivar esta expresi´on hemos usado (5.40) y, bas´andonos en argumentos observacionales, asumido θ ¿ 1 y por lo tanto tan(θ) 'θ. Asimismo s´olo hemos tenido en cuenta los t´erminos dominantes de (5.40) considerando altas frecuencias y grandes distancias. Usando (5.41) podr´ıamos, si conocieramos la constanteα del factor de expansi´on, obtener una cota paraχrw. Es de notar, sin embargo, que no

contamos con datos suficientes de los par´ametros del universo que permitan de- terminar el valor de α, lo que dificulta enormemente obtener la cota deseada. Por otro lado, para que los efectos de curvatura sean apreciables, deber´ıamos contar con observaciones de fuentes a redshift muy altos y que, para los datos disponibles, la aproximaci´on de background plano es suficiente y la cota obtenida en [41] es la

m´as confiable.

Se podr´ıa argumentar, no obstante, que los resultados desarrollados en este cap´ıtulo no reflejan la propagaci´on real de las ondas puesto que no tienen en cuen- ta los efectos de reacci´on de radiaci´on en la geometr´ıa de fondo. En el siguiente cap´ıtulo trataremos de analizar el caso en que se incluyen estos efectos y probare- mos que la ecuaci´on de onda resultante para el campo de Maxwell rompe, en este caso tambi´en, la invariancia Lorentz.

Cap´ıtulo 6