En la época de la colonia, uno de los duros pioneros que se había abocado a la dificultosa tarea de cultivar el suelo rocoso de una isla próxima a la costa de Nueva Inglaterra, intentó plantar una viña con la ayuda de su hijita Martha. Para estimularla, y en lugar de cualquiera otra remuneración, le permitió a Martha que cultivara para su propio provecho un pequeño cuadrado cuya extensión era, exactamente, la decimosexta parte de un acre.
Se dice que ella plantó sus parras según la costumbre, en filas separadas entre sí por una distancia de nueve pies, y las cultivó igual que todo el mundo pero, según cuenta la historia, su pequeña empresa prosperó y creció de tal manera que la Viña de Martha se hizo notable. De su terreno cosechó más uvas por acre que cualquier otro viñedo de la isla y produjo también muchas variedades nuevas y valiosas. Allí termina la historia en lo que se refiere a los hechos. No obstante, sin pretender impugnar la pericia de Martha, ni tampoco cuestionar su dulzura, que confirió fragancia a sus uvas, deseo proponer un problema práctico acerca de su viña que tal vez explique la razón de su maravilloso éxito.
¿Cuántas plantas de parra, situadas a no menos de nueve pies de distancia, pueden plantarse en un terreno cuadrado que mide la decimosexta parte de un acre?
Es un bonito problema, calculado para exigir el ingenio de nuestros matemáticos, pero para no forzar un regreso a los libros escolares, hace tanto olvidados, aprovechamos la ocasión para decir que un acre es un cuadrado de 208 y 710/1000 pies de lado, de modo que la decimosexta parte de un acre es un cuadrado de 52 pies y 2 pulgadas de lado. Siendo 1 pie = 12 pulgadas.
Respuesta
Dibujando una línea al sesgo, que vaya de un rincón a otro, y luego trazando paralelas y perpendiculares, se descubrirá que pueden plantarse 41 parras, separadas por un poco más de 9 pies, todas ellas dentro del espacio limitado por la cerca.
3. El rompecabezas 14-15
Deslice los bloques numerados hasta ponerlos en orden
Los veteranos habitantes del País de los Acertijos recordarán que en la década de 1870 enloquecía todo el mundo con una cajita de bloques móviles que se hizo conocida bajo el nombre de "Rompecabezas 14-15". Los quince bloques estaban dispuestos dentro de la caja cuadrada en orden, pero con el 14 y el 15 invertidos tal como se ve en la ilustración. El problema consistía en desplazar los bloques, uno por vez, hasta lograr nuevamente la posición inicial pero corrigiendo el error del 14 y el 15.
El premio de $1.000, ofrecido a quien presentara la primera solución correcta al problema, jamás ha sido otorgado, aunque miles de personas dicen haber llevado a cabo la proeza.
La gente se trastornó con el rompecabezas, y se cuentan ridículas historias acerca de comerciantes que dejaron de abrir sus comercios; acerca de un distinguido clérigo que permaneció toda una noche de invierno en la calle, debajo de un farol, tratando de recordar de qué manera había resuelto el problema. El rasgo misterioso del problema es que nadie parecía ser capaz de recordar la secuencia de movimientos mediante los cuales había logrado resolverlo. Se dice que hubo pilotos que encallaron sus barcos, y maquinistas que no detenían sus trenes en las estaciones. Se sabe que los granjeros abandonaron sus cosechas, y uno de esos casos es el que elegí para la ilustración.
Vale la pena presentar varios problemas nuevos que se desarrollaron a partir del acertijo original:
Segundo problema. Empiece una vez más con los bloques en la posición que muestra la ilustración y muévalos de tal modo de disponer los números en orden, pero dejando un cuadrado vacío en la esquina superior izquierda en vez de en la esquina inferior derecha. Ver Fig. 1.
Tercer problema. Empiece con los bloques como antes, dé a la caja un cuarto de giro y mueva los bloques hasta que queden como en la Fig. 2.
Cuarto problema. Empiece como antes, luego desplace las piezas hasta que formen un "cuadrado mágico", con los números dando una suma de treinta en todas las filas verticales y horizontales, y en las diagonales.
Respuesta
(El acertijo original es imposible de resolver, salvo por medio de un truco que consiste en invertir los bloques 6 y 9. Una de las particularidades es que cualquier intercambio de esa clase que involucre dos bloques, convierte inmediatamente el acertijo en solucionable. En realidad, cualquier número impar de intercambios
ejerce el mismo efecto, en tanto que un número par hace que el acertijo siga siendo imposible de resolver. Los lectores interesados en aprender algo acerca de la interesante estructura matemática que subyace en este acertijo, deben consultar el clásico análisis de W. W. Johnson y W. E. Story en su artículo "Notes on the 15- Puzzle", American Journal of Mathematics, Vol. 2, 1879, p. 397 y sigs., y a discusiones más breves del tema en las referencias habituales de matemáticas recreativas. M.G.)
Los otros tres problemas se resuelven de la siguiente manera:
La fig. 1 puede lograrse en 44 movimientos: 14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14, 10, 6, 2, 1.
La fig. 2 puede lograrse en 39 movimientos: 14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.
El cuadrado mágico puede lograrse en 50 movimientos: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.