Dependent variable

En esta secci´on se demuestra que el algoritmoEleccion-Lider converge a un estado legal en un n´umero de rondas finito. Se supone que no hay fallas transitorias durante la ejecuci´on de dicho algoritmo.

Para demostrar la convergencia del algoritmo_{Eleccion-Lider}, primero se demues- tra que el n´umero de l´ıderes ficticios en el anilloG decrece gradualmente hasta llegar a cero en a lo m´as O(diam) rondas, donde diam es el di´ametro del anillo.

En esta secci´on se utiliza la notaci´onxλ_{.var para representar el valor de la variable} var del v´ertice x en la ronda λ; donde x ∈ V, la variable var pertenece al conjunto {key, f sn, cls, par}, yλ ≥0 (la ronda 0 representa las condiciones iniciales de G).

Sea G0 = (V0, E0) una cadena con l´ıder. La altura h0 de G0 es el valor m´as largo de entre todos los caminos m´as cortos entre alg´un v´ertice y∈V0 y el v´ertice x∈V0 con el menor valor en su variablex.dst. Para cualquier arista (i, j) de estos caminos,i, j ∈V0. Sea Fλ = (VFλ, E_Fλ) la cadena con mayor altura que tiene un l´ıder ficticio en el

anillo G en la ronda λ. Sea xminFλ el v´ertice y ∈ V_Fλ tal que yλ.dst es el menor valor

entre todos los v´ertices en VFλ.

Lema 1. La altura de la cadenaFλ−2 decrece en al menos una unidad despu´es de dos rondas; i.e. h_Fλ < h_Fλ−2.

Demostraci´on. Se demuestra por contradicci´on. Suponga que h_Fλ ≥ h_Fλ−2 y

quey =x_minFλ−2.

Primero, se calcula el decremento de la altura producida por dos rondas consecuti- vas. Posteriormente, se muestra que el decremento total de la altura es mayor que el incremento total generado en el mismo n´umero de rondas.

Por la reglaReinicia,yse remueve deFλ−2 en la rondaλ−1 (note que en la ronda

λ−1, y6= x_minFλ−2. Esta operaci´on produce una nueva cadena con l´ıder ficticio cuya

altura hFλ−1 ≤ h_Fλ−2 −1 (note que y no puede concatenarse a alguna subcadena con

l´ıder, ficticio o no ficticio, en la ronda λ dado que yλ−1.f sn = 1). Siguiendo el mismo argumento, en la ronda λ, el algoritmo produce una nueva cadena Fλ cuya altura es

hFλ ≤h_Fλ−1−1≤h_Fλ−2 −2. Por lo tanto, el decremento total de la altura despu´es de

dos rondas es al menos dos.

Por la regla_Unir, alg´un v´ertice que se concatene aFλ−2 _{produce una nueva cadena} Fλ−1 _{cuya altura es h}

Fλ−1 −1 ≤ h_Fλ−2 + 1. Note que en la ronda λ, ning´un v´ertice

se concatena al v´ertice z dado que zλ−1.f sn = 1, por lo tanto hFλ ≤ h_Fλ−1 −1. De

esta forma, el incremento total de la altura es a lo m´as uno. Por lo tanto, la altura decrementa al menos una unidad cada dos rondas, lo cual es una contradicci´on a la

hip´otesis inicial de que h_Fλ ≥h_Fλ−2.

Corolario 1. Despu´es de O(diam) rondas, el anilloG no tiene l´ıderes ficticios. Demostraci´on. Por el Lema 1, el algoritmo requiere lo m´as de 2hFλ rondas para

reducir la altura de la cadena Fλ a cero. Dado que Fλ es la cadena de mayor altura, de entre todas las cadenas con l´ıder ficticio, cualquier otra de dichas cadenas con l´ıder ficticio tambi´en desaparece simultaneamente. Note que hλ_F ≤ diam para cualquier λ. Por lo tanto, despu´es de O(diam) rondas, el anilloG no tiene l´ıderes ficticios.

Corolario 2. Si no existen l´ıderes ficticios en el anillo G, la funci´on saf e(x) es verdadera ∀x∈V.

Demostraci´on. La demostraci´on se sigue directamente de la definici´on de

saf e(x).

Lema 2. Si no existen l´ıderes ficticios en el anilloG, el algoritmoEleccion-Lider genera el anillo global seguroGs _{= (V}s_{, E}s_{) despu´es de O(diam) rondas.}

Demostraci´on. Se demuestra por inducci´on en el di´ametro,diam, del anillo. Sea

r el identificador m´as peque˜no de todos los v´ertices de V.

Caso base. Por el Corolario 2, la funci´on saf e ldr(r) es verdadera y r ∈ Vs. En- toncesrejecuta la reglaEsperaren la siguiente ronda, permitiendo que se incorporen nuevos v´ertices a Gs. (Note que r nunca se elimina de Gs, dado que ninguna regla modifica r.key).

Hip´otesis de inducci´on. Se supone que todos los v´erticesy ∈V tales quedist(r, y) es a lo m´asd, est´an concatenadas a Gs _{despu´es de 2d+ 1 rondas. Ninguno de los v´ertices} y se remueven de Gs _{y est´an configurados para que otros v´ertices se concatenen con}

ellos.

Paso inductivo. Se demuestra que todos los v´ertices x ∈ V a una distancia d+ 1 der, se concatenan con Gs _{en dos rondas adicionales. Estos v´ertices xno se remueven}

deGs _{y est´an configurados para permitir que otros v´ertices se concatenen a ellos. Sea}

un v´ertice x a una distancia d+ 1 de r y supongase que x /∈Vs_{. Por el Corolario 2, la}

funci´onsaf e(x) es verdadera. Por la hip´otesis de inducci´on, existe un v´erticey∈N(x) a una distancia d de r, tal que best ldr(x) = y. Por lo tanto, en una ronda, la regla UnirconcatenaxaGs. En una ronda adicional, la reglaEsperarconfigura la variable

x.f sn= 0, permitiendo que cualquier vecino a una distancia d+ 2 se concatene con x

en la ronda siguiente. Note que la regla Cerrar es la ´unica regla del algoritmo que puede privilegiar al v´erticex; esta regla no modificax.key; por lo tanto, en dos rondas, todo v´erticex a una distancia d+ 1 se concatena con Gs_.

Corolario 3. Sea Gs _{el anillo global seguro de G; la funci´onsane(x) es verdadera}

para cada x∈Vs_.

Demostraci´on. Dado que el v´erticexejecuta la regla Unirpara concatenarse con

Gs_{, y en la siguiente ronda ejecuta la regla}

Esperar, el valor de la variable x.padre=

best ldr(x) y el de la variable x.f sn = 0. Adem´as, y.ldr = x.ldr para cada vecino

y∈N(x); por lo tanto x es cuerdo; i.e. sane(x) es verdadero.

Corolario 4. SeaGs el anillo global seguro Gy seax un v´ertice no maestro deGs. En una ronda adicional,x se vuelve un v´ertice maestro.

Demostraci´on. Dado que Gs es el anillo global seguro, alg´un v´ertice x∈Vs cuya variable x.cls es incorrecta, ejecuta la regla Cerrar durante el algoritmoEleccion- Lider. Esta regla actualiza la variable x.cls con el valor que regresa la funci´onopt(x) en una ronda. Por lo tanto, todos los v´ertices en Vs_{son v´ertices maestros yG}s_{es ahora}

el anillo global seguro maestro Gm_.

Ahora se demuestra la propiedad de cerradura y el an´alisis de complejidad del al- goritmo propuesto en este cap´ıtulo.

regla del algoritmo Eleccion-Lider privilegia alg´un v´ertice de Vm.

Demostraci´on. Se sigue la demostraci´on de las definiciones de las reglas en el algoritmo Eleccion-Lider.

Teorema 1. Sea G un anillo arbitrario. G se convierte en un anillo global seguro maestroGm en a lo m´as O(diam) rondas.

Demostraci´on. La demostraci´on es una consecuencia directa de los Lemas 1 y 2 y del Corolario 4.

En el Cap´ıtulo III se presentan dos algoritmos auto-estabilizantes para el problema del conjunto independiente fuerte en un anillo y en un cactus. Ambos algoritmos utilizan el algoritmo _{Eleccion-Lider}.

Cap´ıtulo 3. Algoritmos auto-estabilizantes para el CIF

En este cap´ıtulo se presentan dos algoritmos auto-estabilizantes para encontrar el con- junto independiente fuerte (CIF). Primero se presenta un algoritmo auto-estabilizante para encontrar el conjunto independiente fuerte (CIF) m´aximo en un anillo denv´ertices. Posteriormente, se generaliza este resultado para encontrar un CIF maximal en un grafo cactus. Los grafos cactus tienen importantes aplicaciones en redes de telecomunica- ciones, problemas de localizaci´on y biotecnolog´ıa, entre otras. Hasta donde el autor del presente documento tiene conocimiento, los algoritmos presentados en este cap´ıtulo mejoran el trabajo previo para el CIF en estas topolog´ıas.

3.1 Introducci´on

Este cap´ıtulo describe dos algoritmos auto-estabilizantes para el CIF. El primero de ellos recibe como entrada un anillo de n v´ertices y regresa un CIF m´aximo. Posterior- mente, se generaliza este resultado y se propone un algoritmo auto-estabilizante para encontrar un CIF maximal en un grafo cactus. Ambos algoritmos utilizan una fase de elecci´on de l´ıder en el grafo. Para dicha fase se considera el algoritmo Eleccion- Liderdel Cap´ıtulo II. Adicionalmente, para la construcci´on del CIF se utiliza una fase denominadafase de optimizaci´on.

La idea de la fase de optimizaci´on consiste en construir el CIF a partir del l´ıder, con- siderando el recorrido definido por el ´arbol de expansi´on generado en la fase de elecci´on de l´ıder. Una particularidad de la fase de elecci´on de l´ıder es que identifica aquellos v´ertices que se encuentran en un cierre de cadena. Esta informaci´on es indispensable para la ejecuci´on de la fase de optimizaci´on. De esta forma, este cap´ıtulo presenta dos

algoritmos auto-estabilizantes ´optimos para encontrar el CIF m´aximo en un anillo y el CIF maximal en un cactus, respectivamente. Estos algoritmos convergen en O(DK)

rondas, dondeDK es el di´ametro del grafoG. Hasta donde el autor de este documento

tiene conocimiento, estos algoritmos mejoran el rendimiento de los algoritmos previos presentados en la literatura, cuando ´estos se ejecutan en un anillo o en un cactus. Los algoritmos descritos en este cap´ıtulo utilizan un calendarizador s´ıncrono.

El resto de este cap´ıtulo se organiza de la siguiente manera. La Secci´on 3.2 describe el algoritmo_CIF-Anilloque encuentra el CIF m´aximo en un anillo. La Secci´on 3.3 de- scribe el algoritmo_CIF-Cactus, que consiste en una generalizaci´on del_CIF-Anillo. Finalmente, la Secci´on 3.4 describe la demostraci´on de que el algoritmo es correcto y se hace un an´alisis de la complejidad temporal.