8 Model Evaluation and Comparison
8.4 Desharnais Build1
En esta sección nos enfocaremos al problema de regulación de la salida. En regulación, el objetivo radica en hacer que la(s) variable(s) a ser controlada(s) llegue(n) hasta un valor deseado y permanezcan en ese valor.
El control clásico-convencional de regulación por retroalimentación con ganancia K se muestra en el siguiente esquema,
Planta r(t) + y(t) - K u(t) 31 / 90
En esta sección nos enfocaremos al problema de regulación de la salida. En regulación, el objetivo radica en hacer que la(s) variable(s) a ser controlada(s) llegue(n) hasta un valor deseado y permanezcan en ese valor.
El control clásico-convencional de regulación por retroalimentación con ganancia K se muestra en el siguiente esquema,
Planta
r(t) + y(t)
-
K u(t)
Donde la ley de control es u(t) = r(t) −Ky(t). Dado que la señal
r(t)no cambia, es posible considerarla como referencia de todas las demás señales, esto es, consideraremos r(t) =0; la ley de control se reduce a u(t) = −Ky(t).
Control por retroalimentación de estados
Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transfor- mación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t)
en el origen sin pérdida de generalidad.
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Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transfor- mación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t)
en el origen sin pérdida de generalidad.
Elcontrol por retroalimentación de estadoses análogo a la regulación por retroalimentación convencional, con la excepción de que lo que se retroalimenta no es la salida y(t)propiamente, sino el estado x(t).
Control por retroalimentación de estados
Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transfor- mación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t)
en el origen sin pérdida de generalidad.
Elcontrol por retroalimentación de estadoses análogo a la regulación por retroalimentación convencional, con la excepción de que lo que se retroalimenta no es la salida y(t)propiamente, sino el estado x(t). Ley de control para regulación por retroalimentación de estados Para el sistema x˙(t) = Ax(t) +Bu(t), y(t) = Cx(t), x ∈ Rn, u ∈ Rm, y∈ Rl, laley de control para regulación por retroalimentación de estadoses,
u(t) = −Kx(t),
con K∈ Rm×1.
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El esquema para el control por retroalimentación de estados se mues- tra en la siguiente figura.
dt A B C + + u(t) x(t) x(t) y(t) + r(t)=0 K -
Control por retroalimentación de estados
El esquema para el control por retroalimentación de estados se mues- tra en la siguiente figura.
dt A B C + + u(t) x(t) x(t) y(t) + r(t)=0 K -
Note que se requiere de que el vector de estados esté completamente disponible, por lo que en el mejor de los casos la matriz de salida C será una matriz identidad y así se asumirá durante esta sección, por lo que y(t) = x(t). Sin embargo, lo más común es que la(s) salidas sea(n) una combinación lineal del(de los) estado(s).
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Con esta nueva entrada u(t) = −Kx(t)la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es
Control por retroalimentación de estados
Con esta nueva entrada u(t) = −Kx(t)la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es ˙ x(t) =Ax(t) +Bu(t); ˙ x(t) =Ax(t) −BKx(t); ˙ x(t) = (A−BK)x(t);
el sistema se vuelve un sistema autónomo cuya nueva matriz de tran- sición de estados es(A−BK).
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Con esta nueva entrada u(t) = −Kx(t)la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es ˙ x(t) =Ax(t) +Bu(t); ˙ x(t) =Ax(t) −BKx(t); ˙ x(t) = (A−BK)x(t);
el sistema se vuelve un sistema autónomo cuya nueva matriz de tran- sición de estados es(A−BK).
Si se elige la matriz K de manera adecuada, la matriz (A−BK) se convierte en una matriz que producirá estabilidad de manera asin- tótica y será factible lograr que x(t)tienda al origen conforme aumenta el tiempo.
Los valores propios de la matriz(A−BK)determinarán la evolución en el tiempo del sistema. Si éstos tienen parte real negativa entonces x(t)tenderá al origen.
Control por retroalimentación de estados
Observaciones
Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de al- guna forma a través de la salida.
2Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos.
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Observaciones
Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de al- guna forma a través de la salida.
Los valores propios de la matriz(A−BK)son los valores propios del sistema en lazo cerrado.
Control por retroalimentación de estados
Observaciones
Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de al- guna forma a través de la salida.
Los valores propios de la matriz(A−BK)son los valores propios del sistema en lazo cerrado.
La controlabilidad completa del sistema es una condición nece- saria y suficiente para poder ubicar los valores propios de lazo cerrado del regulador de forma arbitraria.
2Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos.
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Observaciones
Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de al- guna forma a través de la salida.
Los valores propios de la matriz(A−BK)son los valores propios del sistema en lazo cerrado.
La controlabilidad completa del sistema es una condición nece- saria y suficiente para poder ubicar los valores propios de lazo cerrado del regulador de forma arbitraria.
Sin embargo, para poder regular al sistema2es suficiente con que
el sistema sea estabilizable, puesto que esta propiedad garantiza que el subespacio no controlable es estable y los estados que no se pueden controlar convergerán al origen de manera natural.
Control por retroalimentación de estados
Es importante de hacer notar que en el control clásico se diseñan compensadores para que el sistema tenga un determinado factor de amortiguamiento ζ y una frecuencia natural no amortiguada
ωndeterminada asumiendo que los efectos de los polos no domi- nantes son despreciables.
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Es importante de hacer notar que en el control clásico se diseñan compensadores para que el sistema tenga un determinado factor de amortiguamiento ζ y una frecuencia natural no amortiguada
ωndeterminada asumiendo que los efectos de los polos no domi- nantes son despreciables.
Mientras que con el control por retroalimentación de estados uti- lizando la técnica llamadaasignación de polosoposicionamiento de polos se especifican todos y cada uno de las raíces del lazo cerrado.
Control por retroalimentación de estados
Antes de mencionar los pasos para el cálculo de la matriz K se hacen algunas definiciones.
Sea T la matriz que de transformación que, mediante una nueva defini- ción de los estados z(t) = Tx(t), convierte al sistema en su forma controlable, definida por
T= ΓcW;
dondeΓc es la matriz de controlabilidad del sistema y
W= an−1 an−2 . . . a1 1 an−2 an−3 . . . 1 0 .. . ... . .. ... ... a1 1 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 ;
donde los coeficientes ai se obtienen del polinomio característico de
la matriz A:
det(λI−A) = λn+a1λn
−1+ . . . +a
n−1λ+an.
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Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K
Control por retroalimentación de estados
Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K
1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A.
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Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K
1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A.
Control por retroalimentación de estados
Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K
1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A.
3 Determinar la matriz de transformación T.
4 Usando los valores propios deseados, escribir el polinomio carac-
terístico que se busca como
λn+ α1λn
−1+ . . . + α
n−1λ+ αn.
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Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K
1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A.
3 Determinar la matriz de transformación T.
4 Usando los valores propios deseados, escribir el polinomio carac-
terístico que se busca como
λn+ α1λn
−1+ . . . + α
n−1λ+ αn.
5 El valor de K se puede determinar a partir de la siguiente
ecuación
K= αn−an αn−1−an−1 . . . α1−a1
T−1 .
Control por retroalimentación de estados
Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la susti- tución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple
det(λI−A+BK) = (λ − λ1)(λ − λ2) . . . (λ − λn),
dondeλi son los i valores propios deseados del lazo cerrado.
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Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la susti- tución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple
det(λI−A+BK) = (λ − λ1)(λ − λ2) . . . (λ − λn),
dondeλi son los i valores propios deseados del lazo cerrado.
Dado que ambos miembros de esta ecuación característica son poli- nomios en λ, igualando los coeficientes de las potencias iguales de
λen ambos miembros, es posible determinar los valores de K. Este método no es muy conveniente para cuando el orden del sistema es grande ya que se vuelve muy pesado.
Control por retroalimentación de estados
Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la susti- tución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple
det(λI−A+BK) = (λ − λ1)(λ − λ2) . . . (λ − λn),
dondeλi son los i valores propios deseados del lazo cerrado.
Dado que ambos miembros de esta ecuación característica son poli- nomios en λ, igualando los coeficientes de las potencias iguales de
λen ambos miembros, es posible determinar los valores de K. Este método no es muy conveniente para cuando el orden del sistema es grande ya que se vuelve muy pesado.
Es de hacer notar que existen otros métodos para la determinación de K, uno de los más difundidos es utilizando la fórmula de Ackerman. Sin embargo, este método no será tratado en este curso.
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Comentarios
Es importante señalar que K no es la única para el sistema de- terminado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la ve- locidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados.
Control por retroalimentación de estados
Comentarios
Es importante señalar que K no es la única para el sistema de- terminado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la ve- locidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. En sistemas multivariables K no es única para un determinado conjunto de valores propios en lazo cerrado deseados.
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Comentarios
Es importante señalar que K no es la única para el sistema de- terminado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la ve- locidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. En sistemas multivariables K no es única para un determinado conjunto de valores propios en lazo cerrado deseados.
Observe que la selección de los valores propios en un lazo ce- rrado deseados, o de la ecuación característica deseada, es un compromiso entre la rapidez de la respuesta del vector de error y la sensibilidad ante perturbaciones y el ruido en la medición. Es decir, si incrementamos la velocidad de respuesta de error, por lo general se incrementan los procesos adversos de las perturba- ciones y el ruido en la medición.
Ejercicios
Ejercicio 4
Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido porx˙(t) =Ax(t) +Bu(t)con
A= −1 1 0 1 ; B= 0 1 ;
Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado enλ1= −4 y
enλ2= −5. Asuma el vector de estados completamente medible.
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Solución:
En este caso, los valores propios del sistema en lazo abierto son
λ1 = −1 yλ2 = 1 por lo que el sistema es inestable y requiere de
estabilización.
Como primer paso, se verifica la matriz de controlabilidad,
Γo= 0 1 1 1 ;
cuyo rango es 2 y por tanto completamente controlable. El polinomio característico deseado es
p(λ) = (λ +4)(λ +5) = λ2+9λ+20.
Se requiere calcular una matriz de ganancias de retroalimentación K= k1 k2
. La matriz de transferencia de estados del lazo cerra- do es(A−BK)y su polinomio característico es
Ejercicios
Se pueden obtener los valores de k1y k2igualando los polinomios λ2+9λ+20= λ2+k
2λ+ (k2+k1−1);
de esta forma, k1=12 y k2=9.
La ley de control que estabiliza al sistema es: u(t) = − 12 9 x(t);
Para efectos de comprobación la matriz de transición de estados en lazo cerrado (A−BK) queda
A−BK= −1 1 −12 −8 ;
la cual tiene los valores propios en las ubicaciones deseadas.
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Finalmente se simula la ley de control para ciertas condiciones ini- ciales del vector de estados.
0 0.5 1 1.5 2
−2 0 2 4
Respuesta a las condiciones iniciales del regulador por realimentación de estados
Tiempo (s) Amplitud 0 0.5 1 1.5 2 −10 −5 0 5 10 Tiempo (s) u(t) x 1 x 2
Ejercicios
Ejercicio 5
Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido porx˙(t) =Ax(t) +Bu(t)con
A= −1 4 8 1 −1 −1 0 1 1 ; B= 6 2 0 ;
Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado enλ1= −6 y
enλ23= −2±3j. Asuma el vector de estados completamente medible.
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Ejercicio 5
Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido porx˙(t) =Ax(t) +Bu(t)con
A= −1 4 8 1 −1 −1 0 1 1 ; B= 6 2 0 ;
Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado enλ1= −6 y
enλ23= −2±3j. Asuma el vector de estados completamente medible.
Solución:
En este caso, los valores propios del sistema en lazo abierto son
λ12 = ±2 y λ3 = −1 por lo que el sistema es inestable y requiere
Ejercicios
Como primer paso, se verifica la propiedad de controlabilidad,
Γo= 6 2 30 2 4 −4 0 2 6 ;
La matrizΓoes de rango 3 (no se muestra la comprobación). Se calcula la ecuación característica, por lo que
det(λI−A) = λ3+a1λ2+a2λ+a3= λ3+ λ2−4λ−4;
Se calcula la matriz de transformación T: T= ΓoW= 6 2 30 2 4 −4 0 2 6 −4 1 1 1 1 0 1 0 0 = 8 8 6 −8 6 2 8 2 0 .
El polinomio característico deseado es
p(λ) = (λ +2+3j)(λ +2−3j)(λ +6) = (λ2+4λ+13)(λ +6); = λ3+ α1λ2+ α2λ+ α3= λ3+10λ2+37λ+78;
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Posteriormente se calcula K, K= α3−a3 α2−a2 α1−a1 T−1; = 82 41 9 T−1; = 0.8611 1.9167 11.3056 .
La ley de control que estabiliza al sistema es:
u(t) = − 0.8611 1.9167 11.3056 x(t);
Para efectos de comprobación la matriz de transición de estados en lazo cerrado(A−BK)queda
A−BK= −6.16 −7.5 −59.83 −0.72 −4.83 −23.61 0 1 1 ;
Ejercicios
Finalmente se simula la ley de control para ciertas condiciones ini- ciales del vector de estados.
0 0.5 1 1.5 2 −15 −10 −5 0 5
Respuesta a las condiciones iniciales del regulador por realimentación de estado
Tiempo (s) Amplitud x 1 x 2 x 3 0 0.5 1 1.5 2 −30 −20 −10 0 10 Tiempo (s) u(t) 48 / 90
El regulador lineal cuadrático (LQR) es un tipo de controlador (regu- lador de retroalimentación de estados) que pertenece a la familia de los controladores óptimos y tiene la ventaja de que permite diseñar la matriz de retroalimentación K de una manera un poco más sistemática y no necesita la total controlabilidad del sistema, solamente que el sistema sea estabilizable.