Hemos definido los OX-m´odulos inyectivos como los m´odulos N para los que el funtor HomOX(−, N) es exacto, lo que equivale a que todo homomorfismo en N
de un subhaz de un haz M puede extenderse hasta M. El objetivo de esta secci´on es demostrar que existen muchos m´odulos con esta propiedad. Empezaremos estudiando los m´odulos inyectivos sobre un anillo A. El primer resultado es que la definici´on de A-m´odulo proyectivo es equivalente a otra m´as d´ebil:
Teorema 1.23 Un A-m´odulo M es inyectivo si y s´olo si para todo ideal I de A se cumple que todo homomorfismo I −→ M se extiende a A.
Demostraci´on: Una implicaci´on es evidente. Lo que hemos de probar es que si P es un A-m´odulo arbitrario y N es un subm´odulo de P , entonces todo homomorfismo N −→ M se extiende a P . Sea M el conjunto de todos los pares (T, α), donde T es un subm´odulo N ⊂ T ⊂ N y α : T −→ M es un homomorfismo que extiende al dado. Consideramos en M el orden parcial dado por (T1, α1) ≤ (T2, α2) si y s´olo si T1 ⊂ T2 y α1 = α2|T1. Por el lema de Zorn
M tiene un elemento maximal (T0, α0). Basta probar que T0= P .
En caso contrario, existe x ∈ P \ T0. Sea I = {a ∈ A | ax ∈ T0}, que es
claramente un ideal de A. Sea f0 : I −→ M dada por f0(a) = α0(ax). Clara-
mente f0 es un homomorfismo y por hip´otesis se extiende a un homomorfismo f : A −→ M. Llamemos T1 = T0+ Ax y definimos α1 : T1 −→ M mediante α1(t + ax) = α0(t) + af (1).
En primer lugar, α1 est´a bien definido, pues si t + ax = t0+ a0x, entonces t − t0= (a0− a)x ∈ T
0, luego
α0(t) − α0(t0) = α0((a0− a)x) = f0(a0− a) = f(a0) − f(a) = a0f (1) − af(1).
Por lo tanto α0(t) + af (1) = α0(t0) + a0f (1). Es claro que α1 es un homo-
morfismo y que extiende a α0, luego (T1, α1) ∈ M contradice la maximalidad de
(T0, α1). Esto prueba que T0= P y α0 es la extensi´on buscada.
Empezaremos estudiando la existencia deZ-m´odulos inyectivos, pues tienen una caracterizaci´on sencilla:
Definici´on 1.24 Diremos que unZ-m´odulo M es divisible si para todo m ∈ M y todo a ∈ Z no nulo existe un n ∈ M tal que m = an.
Teorema 1.25 UnZ-m´odulo M es inyectivo si y s´olo si es divisible.
Demostraci´on: Supongamos en primer lugar que M es inyectivo. Sea
m ∈ M y a ∈ Z no nulo. Consideremos el homomorfismo f0 : (a) −→ M dado
por f0(ba) = bm y extend´amoslo a f :Z −→ M. Entonces m = f0(a) = f (a) = af (1).
Supongamos ahora que M es divisible, sea I = (a) un ideal de Z y sea
f0 : (a) −→ M un homomorfismo. Existe un x ∈ M tal que f0(a) = ax.
Definimos f :Z −→ M mediante f(b) = bx, de modo que f(a) = ax = f0(a),
luego f |(a)= f0.
Ahora ya tenemos ejemplos de Z-m´odulos inyectivos. Por ejemplo, Q es claramente divisible, luego es inyectivo. M´as en general:
Teorema 1.26 Para todoZ-m´odulo M existe un monomorfismo M −→ N con
N inyectivo.
Demostraci´on: Podemos representar M = L/N , donde L es unZ-m´odulo libre. Entonces L es suma directa de copias de Z, luego puede sumergirse en una suma directa de copias de Q, que claramente es divisible. En definitiva,
tenemos L ⊂ D, con D divisible. Entonces M = L/N ⊂ D/N, y es claro que
D/N tambi´en es divisible.
Para anillos arbitrarios tenemos lo siguiente:
Teorema 1.27 Si D es un Z-m´odulo divisible y A es un anillo arbitrario, en-
tonces HomZ(A, D) es un A-m´odulo inyectivo con el producto (af )(b) = f (ab).
Demostraci´on: Observemos que, en general, un A-m´odulo M es inyectivo si, cuando N ⊂ P son A-m´odulos, la restricci´on HomA(P, M ) −→ HomA(N, M ) es un epimorfismo. En nuestro caso, tenemos un diagrama conmutativo
HomA(P, HomZ(A, D))
≤≤
// HomA(N, HomZ(A, D))
≤≤
HomZ(P, D) // HomZ(N, D)
donde las flechas verticales son isomorfismos de Z-m´odulos, por ejemplo, la primera es la dada por
φ(f )(p) = f (p)(1)
y su inverso es ψ(f )(p)(a) = f (ap). Como D es un Z-m´odulo inyectivo, el homomorfismo horizontal inferior es un epimorfismo, luego el superior tambi´en.
Ahora podemos generalizar 1.26:
Teorema 1.28 Si A es un anillo, para todo A-m´odulo M existe un monomor- fismo M −→ N con N inyectivo.
Demostraci´on: Considerando a M como Z-m´odulo, tenemos un mono- morfismo f : M −→ D, donde D es un Z-m´odulo divisible. Consideramos el homomorfismo φ : M −→ HomZ(A, D) dado por φ(m)(a) = f (am). Es inyec-
tivo, pues si φ(m) = 0 entonces φ(m)(1) = f (m) = 0, luego m = 0. Es f´acil ver que φ es un homomorfismo de A-m´odulos.
A su vez, de aqu´ı se deduce el resultado an´alogo para m´odulos sobre cualquier espacio anillado:
Teorema 1.29 Si X es un espacio anillado y M es un OX-m´odulo, entonces
existe un monomorfismo M −→ N con N inyectivo.
Demostraci´on: Para cada P ∈ X, el OX,P-m´odulo MP puede sumergirse en un OX,P-m´odulo inyectivo NP. Fijemos un monomorfismo αP : MP −→ NP y para cada abierto U ⊂ X definimos
N(U ) = Q P ∈U
NP.
Es f´acil ver que N, as´ı definido (con las restricciones y las operaciones obvias), es un OX-m´odulo. Definimos φ : M −→ N mediante φU(f ) = (αP(fP))P ∈U.
Claramente los homomorfismos φU son inyectivos, luego φ tambi´en lo es. Ahora falta probar que N es inyectivo.
Observemos que las proyecciones πU,P : N(U ) −→ NP inducen homomorfis- mos πP : NP −→ NP independientes de U . Cada f ∈ N(U) cumple obviamente que f = (πP(fP))P ∈U.
Supongamos un monomorfismo ψ : P −→ Q y un homomorfismo α : P −→ N. Para cada P ∈ X, el homomorfismo
PP −→ NαP P −→ NπP P
se extiende a un homomorfismo χP : QP −→ NP, que a su vez determina un homomorfismo χ : Q −→ N mediante χU(f ) = (χP(fP))P ∈U. Veamos que
ψ ◦ χ = α. En efecto, si U es un abierto en X y f ∈ P(U),
χU(ψU(f )) = (χP(ψP(fP)))P ∈U = (πP(αP(fP)))P ∈U = αU(f ).
La inyectividad se conserva al restringir:
Teorema 1.30 Sea X un espacio anillado y U ⊂ X un abierto. Si I es un OX-m´odulo inyectivo, entonces I|U es un OU-m´odulo inyectivo.
Demostraci´on: En general, si F es un OU-m´odulo, definimos FX como la compleci´on del prehaz dado por
FX−(V ) =nF(V ) si V ⊂ U,
0 en caso contrario. Es claro que FX
P = FP si P ∈ U y FPX= 0 si P ∈ X \U. Todo homomorfismo de OU-m´odulos α : F −→ G se extiende a un homomorfismo de OX-m´odulos
αX : FX −→ GX tal que αX
P = αP para todo P ∈ U. As´ı mismo es f´acil ver que FX|
U = F.
Pasemos ya a la demostraci´on del teorema: supongamos dados un mono- morfismo de OU-m´odulos N −→ P y un homomorfismo N −→ I|U. Enton- ces tenemos un monomorfismo de OX-m´odulos NX −→ PX y un homomor- fismo NX −→ (I|
U)X. Pero es f´acil definir un monomorfismo de OX-m´odulos (I|U)X −→ I que restringido a U es la identidad. As´ı tenemos un homomorfismo NX −→ I, y podemos aplicar la inyectividad de I, que nos permite extender este homomorfismo a un homomorfismo PX−→ I. Restringiendo a U tenemos
un homomorfismo P −→ I|U que extiende al dado sobre N. Una propiedad b´asica de los m´odulos inyectivos es la siguiente:
Teorema 1.31 Si X es un espacio anillado y 0 −→ M −→ Nα −→ P −→ 0β es una sucesi´on exacta de OX-m´odulos en la que M es inyectivo, entonces se
Demostraci´on: Existe un homomorfismo γ : N −→ M tal que α ◦ γ = 1. Para cada P ∈ X tenemos que αP ◦ γP = 1 (y la sucesi´on localizada sigue siendo exacta), luego NP = N(β)P ⊕ CN(α)P. Para cada abierto U de X, si
f ∈ N(β)(U) ∩ CN(α)(U), entonces fP = 0 para todo P ∈ U, luego f = 0. Por otra parte, si f ∈ N(U) y P ∈ U, entonces fP = uP + vP, para ciertos uP ∈ N(β)P, vP ∈ CN(α)P, que ser´an localizaciones de elementos
uV ∈ N(β)(V ), vV ∈ CN(α)(V ), para cierto abierto P ∈ V ⊂ U. Pode- mos cubrir U con abiertos V en estas condiciones, y la unicidad de la des- composici´on en suma directa hace que los elementos {uV}V y {vV}V deter- minen unos u ∈ N(β)(U), v ∈ CN(α)(U) tales que f = u + v. Por lo tanto N(U ) = N(β)(U)⊕ CN(α)(U), luego N = N(β) ⊕ CN(α).
La definici´on de m´odulo proyectivo es “dual” de la de m´odulo inyectivo, en el sentido de que una se obtiene de la otra sin m´as que intercambiar sis- tem´aticamente el sentido de todos los homomorfismos que intervienen en ella (lo que supone cambiar tambi´en “inyectivo” por “suprayectivo”). Sin embargo, esto no significa que todos los resultados v´alidos para m´odulos inyectivos valgan tambi´en para proyectivos sin m´as que intercambiar las flechas en los enunciados y las demostraciones. De hecho, el “dual” del teorema es falso en general, y s´olo podemos demostrar el dual de 1.28 que, por contrapartida, es mucho m´as sencillo de probar, debido a que los m´odulos proyectivos sobre un anillo tienen una caracterizaci´on muy simple:
Teorema 1.32 Sea A un anillo y M un A-m´odulo. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) M es proyectivo.
b) Toda sucesi´on exacta de m´odulos 0 −→ C−→ Nβ −→ M −→ 0 se escinde,α es decir, existe un homomorfismo γ : M −→ N tal que γ ◦ α = 1 (lo que, a su vez, implica que N = Im β ⊕ Im γ ∼= C⊕ M).
c) Existe un A-m´odulo M0 tal que M ⊕ M0 es libre. Demostraci´on:
a) ⇒ b) aplicamos la proyectividad a la identidad M −→ M. La des- composici´on se debe a que si n ∈ N, entonces α(n − γ(α(n)) = 0, luego
b = n − γ(α(n)) ∈ Im β y n = b + γ(α(n)). Por otra parte, si β(c) = γ(m),
aplicando α obtenemos que m = 0, luego la suma es directa.
b) ⇒ c) Podemos formar una sucesi´on exacta como la de b) con N libre. Entonces N = C ⊕ γ[M].
c) ⇒ a) Consideremos un epimorfismo α : N −→ P y un homomorfismo
β : M −→ P . Extendemos trivialmente β a M ⊕ M0. Consideramos una base de este m´odulo y a cada uno de sus elementos le asignamos una antiimagen en
N de su imagen en P . Esta asignaci´on se extiende a un homomorfismo γ, el cual se restringe a su vez a un homomorfismo sobre M que cumple lo requerido.
La condici´on c) implica en particular que todo m´odulo libre es proyectivo. En la prueba del teorema anterior se ve que si M es un m´odulo proyectivo finitamente generado, entonces el m´odulo M0 tal que M ⊕ M0 es libre se puede tomar tambi´en finitamente generado. Tambi´en es obvio que la suma directa de m´odulos proyectivos es proyectiva y que todo sumando directo de un m´odulo proyectivo es proyectivo. En particular, es evidente que todo A-m´odulo M es imagen de un A-m´odulo proyectivo, pues todo A-m´odulo M es imagen de un m´odulo libre.