4. Present study
4.5. Discussion
Donde:
es el voltaje de alimentación del motor es la resistencia de bobinado del motor
el coeficiente de autoinducción del bobinado del motor la corriente de armadura
es la constante de la fuerza electromotriz par mecánico desarrollado por el motor
es la inercia de la armadura del actuador es la velocidad angular del eje del motor es la aproximación lineal de la fricción viscosa
Suponiendo el campo magnético constante, el par motor será proporcional a la corriente de armadura
3-5
Donde es la constante de armadura
Representación del modelo planta y motor
Dado que la posición se controlará con la tensión es necesario relacionar el torque con la tensión del motor. Se asume la velocidad angular de la planta del sistema igual a la velocidad angular del motor, es decir dado que el eje del motor se ubicará a la altura de la articulación. De este modo se escogieron como las variables de estado a , , y las ecuaciones en variables de estado quedan expresadas como:
3-6
Considerando que el torque T es proporcional a la intensidad la expresión se obtiene reemplazando la ecuación 3-5 en la ecuación 3-2.
58 El sistema completo puede ser descrito en la representación de espacio de estados como:
3.7
Donde es el vector de estados, el vector de entrada de control y el vector de salida. La matriz de dimensiones es la matriz dinámica del sistema, la matriz de entrada y la matriz de salida. Dado que el modelo de estado que se obtuvo es no lineal se tiene que realizar la aproximación lineal del modelo alrededor del ángulo cercano a cero que en este caso es el punto de equilibrio .
Linealizando el sistema alrededor de dicho punto utilizando las ecuaciones 3-8 y 3-9
3-8
3-9
Donde los valores nominales , y satisfacen:
3-10
La función seno derivada en el desarrollo del Jacobiano presenta una función coseno que alrededor de cero es aproximadamente igual a 1. La representación del sistema lineal en el espacio de estados viene dada por la ecuación de estado siguiente:
3-11
3.2 Sensores y actuador
SensoresEspecificadas las variables de entrada y salida, es claro concluir la necesidad de sensores para obtener información de la posición del tobillo y del momento de inicio y final de la fase de oscilación de la marcha. Las tareas de identificación de la fase de oscilación y de actuación para el control de posición del pie se especifican en la Figura 3.3.
59 Figura 3.3. Identificación de la fase de oscilación con sensores de contacto. Adaptado de [20]
El inicio de la etapa de oscilación constituye la señal de inicio del control.
La adaptación de la técnica de medición del paso con sistemas de pie on-off (foot switch systems) [10] para identificar la fase de oscilación de la marcha se basa en la detección de los puntos clave que son: el despegue de los dedos y el asentamiento del talón. Para este fin se requiere de un sensor en la parte del ante pié y otro en el retropié Figura 3.4.
Sistemas de este tipo sobre una plantilla tienen medidas estándar para adultos, según las cuales, el sensor de contacto en el antepié debe estar ubicado en el área del dedo grueso (2cm x 2cm) y el sensor en el retro pié en el área del talón (4cm x 6cm). Con esta disposición se podría incorporar los sensores a plantillas que dependiendo del usuario puedan estar diseñadas para brindar apoyo del arco del pie o elevación del talón. En la Figura 3.4 se muestra adaptación de la plantilla para identificación de fase de oscilación, los sensores proporcionan una señal on/off para reconocer el inicio y final de esta fase.
(a) (b)
Figura 3.4. (a) plantilla con un arreglo de cuatro sensores para análisis de marcha. Fuente [56], (b) plantilla adaptada para identificación de la fase de oscilación de la marcha
En la Figura 3.5 se muestra el patrón de activación de las señales de los sensores a lo largo del ciclo de la marcha.
60 Durante el ciclo de marcha los sensores cambian su salida con lo que se puede identificar el tiempo de la fase de apoyo y tiempo de oscilación del pie derecho. Cuando el pie inicia el contacto con el suelo el sensor se activa hasta aproximadamente el 40% del ciclo cuando se despega el talón. El sensor se activa aproximadamente en el 20% del ciclo. y se activan solamente en la fase de apoyo y en la fase de oscilación los dos sensores se desactivan, lo que permite identificar la fase de interés.
Para este fin se plantea el uso del sensor de fuerza FlexiForce (hoja de datos en el anexo D) que basa su funcionamiento en la variación de resistencia eléctrica. La aplicación de una fuerza al área activa de detección del sensor se traduce en un cambio en la resistencia eléctrica en función inversamente proporcional a la fuerza aplicada. En este caso su conFiguración será para un funcionamiento on-off como resistencia variable en un circuito eléctrico, cuando el sensor no tiene fuerza aplicada, su resistencia es muy alta (superior a 5 M), y cuando se aplica una fuerza al sensor, la resistencia disminuye.
Se escogió este sensor por su característica física de ser totalmente plano, está integrado en una membrana de circuito impreso flexible de escaso espesor (Figura 3.6).
Figura 3.6. Aspecto físico del sensor de fuerza. Fuente: www.parallax.com
Estas señales se adquirirán para ser enviadas a un microcontrolador que podrá estimar el tiempo de cada fase en función del patrón de activación de los dos sensores indicado en la Figura 3.5.
61
Medición ángulo tibial – plantar
En el desarrollo de esta órtesis AFO activa, uno de los factores más importantes es el detectar el ángulo entre los segmentos pierna y pie. Para la retroalimentación del movimiento del tobillo se escogió un arreglo de dos sensores, un sensor de inclinación desarrollado en el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Federal de Espíritu Santo en Vitoria Brazil (Figura 3.6) y un encoder en la articulación del tobillo.
El sensor de inclinación consiste de tres acelerómetros que capturan la inclinación en los tres ejes de movimiento [56].
(a) (b)
Figura 3.6. (a) Sensor híbrido inalámbrico. Fuente: [56] (b) Ángulo a ser medido entre la pierna y el pie
En este caso, se debe fijar el sensor de inclinación en la pantorrilla para obtener un valor del ángulo existente entre este segmento y la línea vertical en dirección de la gravedad. Este arreglo permitirá al sistema de control conocer el ángulo de flexión/extensión de la pierna respecto al pie y realizar la estimación de la velocidad de la marcha. En la Figura 3.7 (a) se muestra el montaje del sensor en la pantorrilla para esta aplicación.
El encoder debe ubicarse a la altura del tobillo a fin de obtener una señal equivalente al ángulo de acción del pie durante el tiempo que dure la fase de oscilación de la marcha.
Debido a que se trata de un sensor con el cual se está trabajando en proyectos de investigación incluido este trabajo no es posible suministrar por el momento la hoja de características del mismo.
62
3.2.1 Actuador
Con la simulación en Simmechanics y el modelo físico se determinó que el torque necesario para asistir el movimiento del tobillo en la fase de oscilación es de 0.5 Nm, valor cercano al reportada en el diseño de una órtesis activa del trabajo de Sauer y Kozlowski Ankle Robot for
People with Drop Foot [24]. El torque generado con el modelo físico en el caso de pie caído es
de 0.3 Nm, existiendo una deficiencia de 0.2 Nm. En la simulación con la trayectoria de pie caído el torque fue de 0.45Nm en una posición de -30 que es el torque generado por el paciente, para posicionar el pie en 0 el torque es de 0.52 Nm por lo que el motor debe asistir 0.2Nm.
El actuador es un motor que recibe de la etapa de control la corriente necesaria para ubicar a los segmentos pierna y pie en la posición deseada. A fin de contar con un sistema actuador liviano, de fácil montaje y sin mecanismos alternativos se escogió el actuador angular de Bei Kimco (Figura 3.8) empleado en aplicaciones de posicionamiento y robots manipuladores [57]. Es un dispositivo de posicionamiento que utiliza una bobina de alambre en un campo magnético permanente. Este motor tiene un rango de 32 grados de movimiento, suficiente para esta aplicación y un torque 0.226 Nm. Su característica rotatoria, sus dimensiones y peso hacen hace posible su ubicación en paralelo al tobillo sin necesidad de un acople mecánico para el movimiento del pie (descripción de la integración de los componentes en el capítulo 4).
Figura 3.8. Motor rotativo angular RA29 BEI Kimco. Fuente: http://www.beikimco.com/actuators_rotary.php
3.3 Diseño del sistema de control
Ley del controlLa técnica de diseño del control es la de realimentación de estados basado en el modelo matemático del sistema linealizado reemplazando los valores de la tabla 3.1 en la ecuación 3-11.
Parámetros planta Motor*
Jc = 0.0037kg m2 constante de armadura Kt= 16 oz-in/A Kt= 0.113 Nm/A m = 0.857kg constante de fuerza
electromotriz
Ke= 0.11 V/(rad/seg) Ke= 0.0115 V/rpm d = 0.024 m resistencia de armadura Ra= 13 ohms Tg = 0.522 Nm
k = 0.01
inductancia de armadura La=0.01 henrios
*valores nominales del motor
63 La representación en espacio de estados queda entonces como:
3-12
Para el diseño del controlador se empleó Matlab y para analizar su desempeño Simulink en donde se armó el diagrama de bloques del modelo no lineal. Se comprobó la linealización con el comando linmod de Matlab.
Control por realimentación de estado
En el control por realimentación de estado Figura 3.9 la señal de control se propone lineal al estado
3-12
El sistema a lazo cerrado viene dado por:
3-13
Donde K es la matriz de ganancias de realimentación del estado.
(a) (b)
Figura 3.9. (a) Esquema de realimentación de estado Fuente: [55].
(b) Diagrama de bloques de la implementación del controlador por realimentación de estados en Simulink.
Diseño de la matriz K
Para elegir la matriz de ganancia K es necesario realizar antes la verificación de la controlabilidad del sistema comprobando que el rango la matriz de controlabilidad (Ecuación 3-14) sea igual al rango del sistema,
64 Esta condición se comprobó con el comando de Matlab: C = ctrb (Ab); Rank (C) con las matrices A y B del sistema (ecuación 3-11), que indica que el sistema es controlable. El cálculo de K se realizó por el método de ubicación de polos, por el cual se eligen la posición de dos los polos de manera tal que se satisfagan los requerimientos de tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, sobrepico, etc, que están en función de la velocidad de la marcha. Para utilizar realimentación completa de estado en el diseño del control de posición del pie, la ubicación de los polos debe tomar en cuenta el porcentaje del ciclo de marcha, para lo cual la función del tobillo se analizó empleando un modelo de segundo orden.
Con un valor de velocidad (característica del usuario) es posible calcular el tiempo pico y porcentaje de sobrecarga. El coeficiente de amortiguación (factor de amortiguamiento ) y frecuencia natural no amortiguada de la velocidad normal se calcularon con las siguientes ecuaciones:
3-15
Donde es el porcentaje de sobrecarga o sobreimpulso Mp
3-16
Donde es el tiempo pico
Los parámetros que describen el desempeño de la respuesta temporal están definidos por las expresiones de la tabla 3.2 Tiempo de subida Sobrepico máximo Tiempo pico Tiempo de establecimiento
Tabla 3.2. Fórmulas de los parámetros que describen el desempeño de la respuesta temporal
En la Figura 3.10 se muestra el modelo de segundo orden de la trayectoria del tobillo para la marcha humana adaptada del estudio de Blaya [7] para la fase de oscilación de la marcha que representa el 40% del ciclo total. Para una velocidad de 0.5 m/s un paso dura 1.5s y la oscilación tiene una duración en tiempo de 0.6s.
65 (a) (b)
Figura 3.10. Datos de la trayectoria del tobillo y el modelo de segundo orden adaptado para la velocidad de marcha patológica (0.5m/s 1 paso en 1.5s). (b) Representación geométrica del patrón de polos de un sistema sub-
amortiguado 23. Fuente: Adaptado de [7].
En la tabla 3.3 se muestran los resultados obtenidos para las velocidades de marcha de pie caído. V (m/s)
0.55 0.9 72 0.8 0.1 0.0015 0.4
Tabla 3.3. Valores de los parámetros requeridos para la ubicación de polos.
Bajo las consideraciones de las medidas de desempeño de la tabla 3.3 la ubicación de los dos polos dominantes basados en la Figura 3.10 es de . El tercer polo debe estar a una proporción mucho mayor para poder catalogar a los primeros polos como dominantes. El valor escogido para el tercer polo fue de 2000. Para hallar la matriz de control K se empleó el comando de Matlab: K = place (A,B,P), donde P es un vector de valores en los cuales se ubicarán los polos deseados para el sistema.
La matriz K obtenida es igual a:
Para eliminar el error de estado estacionario es necesario calcular cuál debería ser el valor de estado estacionario de los estados, multiplicar por la ganancia K elegida, y usar el nuevo valor como referencia para la entrada agregando una ganancia de precompensación constante N luego de la referencia como se muestra en esquema de la Figura 3.11.
Donde N es igual a:
3-17
23
66
(a) (b)
Figura 3.11. (a) Esquema de realimentación de estado con corrección de estado estacionario. Fuente: [55]. (b) Diagrama de bloques de la implementación del controlador por realimentación de estados con corrección de
estado estacionario en Simulink.
En la Figura 3.12 se muestra la salida sin control de estado estacionario y con la constate N de precompensación.
(a) (b)
Figura 3.12. Salida y con una referencia de -5
(a) sin control de estado estacionario (b) con control de estado estacionario
Observador de las variables de Estado
Un observador es un dispositivo cuya salida es una estima del vector de estado. Si es el valor estimado de del (sistema ecuación 3-1) suponiendo A, B, y C conocidas, y la entrada y la salida son medibles se puede duplicar el sistema.
3-18
3-19
donde es la salida que se obtiene de las variables de estado estimados. Si a este sistema se le ingresa una señal de corrección donde es una matriz de ganancia constante, de forma tal que si no hay error no se corrige nada, pero si hay error, un valor apropiado de L puede hacer que el error de estimación tienda asintóticamente a cero. La Figura 3.13 muestra la configuración del observador.
Tiempo (s) Tiempo (s) Á n g u lo ( )
67 (a)
(b)
Figura 3.13. (a) Esquema de un observador de estado completo Fuente: [55]. (b) Diagrama de bloques de la implementación del controlador con observador en Simulink.
Las ecuaciones vienen dadas por:
3-20
Si es tal que cuyos valores gobiernan la dinámica del error de estimación tenga autovalores negativos, el error de estimación tiende asintóticamente a cero.
El concepto de observabilidad tiene que ver con la posibilidad de estimar el vector de estado del sistema a partir del conocimiento de la salida por lo que es necesario definir si el sistema es observable comprobándose que el rango la matriz de observabilidad (ecuación 3-21) sea igual al rango del sistema,
3-21
Esta condición se comprobó con el comando de Matlab: To=[C; C*A; C*A^2; C*A^3]; nobserva = rank(To) con las matrices A y B del sistema (ecuación 3-11), que indica que el sistema es observable.
Para elegir los autovalores de , se debe elegir un vector 5 veces mayor al polo dominante. En este caso se escogió y con el comando de L=place(A’,C’,P) se obtiene un valor de L.
68 Para la simulación de seguimiento a referencias se colocó la trayectoria angular normal seguida por el tobillo en la fase de oscilación de un ciclo de marcha24. En la Figura 3.14 se muestra el comportamiento con y sin estimador.
(a) (b)
Figura 3.14. Salida (línea color verde) con una trayectoria angular normal del tobillo como referencia (línea azul) (a) sin estimador (b) con estimador.
Acción integral
Es un esquema de seguimiento de referencias constantes que se basa en aumentar la cantidad de variables de estado de la planta, agregando una nueva: que integra el error como se indica en la Figura 3.15.
Figura 3.15. Diagrama de bloques del esquema de seguimiento. Fuente: [55]
Donde se expresa como:
3-22
Si considera la realimentación de estado , el sistema a lazo cerrado de la Figura 3.15 se expresa con las siguientes ecuaciones de estado del sistema aumentado.
3-23
El cálculo de las ganancias y se empleó el mismo comando place. La matriz K y ganancia obtenida es igual a:
24
Tablas de trayectoria de tobillo obtenida del libro de Winter [60]
Á n g u lo ( ) Tiempo (s) Tiempo (s)
69
En la Figura 3.16 se muestra la implementación en diagrama de bloques de Simulink del control sobre el sistema lineal.
Figura 3.16. Diagrama de bloques de la realimentación de estado con acción integral
En la Figura 3.17 se muestra el resultado del seguimiento a referencias obtenido. Las condiciones iniciales son , e , y la condición inicial de la acción integral de -0.0117.
Figura 3.17. Referencia de trayectoria angular (color verde) y resultado obtenido de y lineal (color azul) con el controlador con acción integral.
3.4 Implementación y evaluación del control sobre el sistema no
lineal
El desempeño del controlador en lazo cerrado se analizó con Simulink, en el cual se armó el modelo no lineal y al se aplicó los esquemas de control diseñados. En la Figura 3.18 se muestra el diagrama de bloques en Simulink del esquema de control por realimentación de estados con corrección del error de estado estacionario y con el estimador en el sistema no lineal.
Á n g u lo ( ) Tiempo (s)
70 Figura 3.18. Diagrama de bloques de la realimentación de estado y estimador en el modelo no lineal
La Figura 3.19 muestra el desempeño obtenido del control por realimentación de estado y estimador sobre el modelo no lineal con una señal de referencia de 0 y con la trayectoria angular del tobillo.
(a) (b)
Figura 3.19. Salida y (a) referencia 0, (b) referencia trayectoria angular normal del tobillo (línea color azul)
El esquema de control por realimentación de estados con acción integral en el sistema no lineal se muestra en la Figura 3.20. Tiempo (s) Tiempo (s) Á n g u lo ( )
71 Figura 3.20. Diagrama de bloques de la realimentación de estado y acción integral
La Figura 3.21 muestra el desempeño obtenido de implementar el control con acción integral sobre el modelo no lineal con la señal de referencia como la trayectoria angular del tobillo.
Figura 3.21. Seguimiento a una señal de referencia de trayectoria angular de tobillo del control con acción integral sobre el modelo no lineal. Referencia de trayectoria angular (color verde), y lineal (color azul).
En la Figura 3.22 se muestra el error de seguimiento de trayectoria del control con estimador y el control con acción integral.
El comportamiento deseado de acuerdo a las especificaciones iniciales de diseño tiene un error de 5.46 con el control con acción integral y de 6.47 con el control con estimador. Los picos de error en el seguimiento ocurren a los 30ms iniciales del funcionamiento del control. La acción integral presenta un comportamiento más cercano a cero a lo largo del tiempo de funcionamiento. En términos de movimiento biomecánico el error en los dos casos puede ser aceptable por la variabilidad del ángulo durante la marcha, sin embargo, el avance del pie en la fase de oscilación inicial debería ser evaluado una vez implementado el sistema de control en el prototipo de AFO activa.
Á n g u lo ( ) Tiempo (s)
72 Figura 3.22. Error de seguimiento de trayectoria durante el tiempo de la fase de oscilación en el modelo no lineal.
En la Figura 3.23 se muestra el desempeño del control con diferentes trayectorias como referencia que buscan ubicar al pie en un ángulo fijo en la oscilación media de la marcha (0.5s). Trayectorias de este tipo se emplearían para posicionar al pie gradualmente a diferentes grados de dorsiflexión y dependen de las estrategias de rehabilitación recomendadas a cada paciente. Este control considera la asistencia en la fase de oscilación de la marcha en donde no existe contacto con el suelo.
(a) (b)
Figura 3.23. (a) Seguimiento a una señal de referencia de trayectoria angular de tobillo (color verde) con el control