Tiempo Temperatura (oC) (h) 850o 900o 950o 1000o 2 27.8 ± 6.7 41.6 ± 14.2 56.7 ± 21.5 81.4 ± 28.6 4 37.6 ± 9.6 52.4 ± 16.9 79.2 ± 29.5 121.3 ± 40.1 5 48.2 ± 16.8 69.6 ± 24 84.5 ± 27.3 129.3 ± 45.2 6 60.5 ± 17.8 74.5 ± 28.4 118.4 ± 39.2 155 ± 50.3 8 69.2 ± 19 91.6 ± 33.5 121.2 ± 27.7 180.1 ± 60
. .
MODELO MATEMÁT)CO
. . .
)
NTRODUCC)ÓNEn un medio isótropo, las propiedades físicas y químicas son
independientes de la dirección, mientras que en un medio
anisótropo las propiedades dependen de la dirección considerada.
La difusión es isótropa en gases, en la mayoría de los líquidos, en materiales poli‐cristalinos sin textura, en cristales cúbicos, etc. En
materiales isótropos la difusividad es una cantidad escalar. Numerosos materiales de ingeniería tienen estructuras cúbicas. Por
ejemplo, están los metales con estructura cúbica centrada en las
caras (FCC) como (Cu, Ag, Au, Al, Pb, Ni,…), metales con estructura
cúbica centrada en el cuerpo (BCC), y aceros austeníticos que son
FCC. Todos estos materiales importantes, y una gran cantidad de aleaciones, presentan simetría cúbica y difusividades escalares. La
difusión es anisótropa en cristales no cúbicos y en algunos cuasi‐
cristales.
. . .
P
R)MERAL
EY DEF
)CKConsiderando un flujo de partículas que se difunden en una
dimensión (dirección‐x). Dichas partículas pueden ser átomos,
moléculas, o iones. La primera Ley de Fick para un medio isótropo puede escribirse como:
(3.2)
Aquí la es el flujo de partículas (flujo de difusión) y la C es la
densidad (concentración). El signo negativo de la ecuación anterior
indica direcciones opuestas entre el flujo de difusión y el gradiente de concentración. El factor de proporcionalidad, D, es conocido
como el coeficiente de difusión o como la difusividad de las especies
consideradas.
El flujo de difusión se expresa en número de partículas (o en moles)
atravesando una unidad de área por unidad de tiempo y la
concentración en número de partículas por unidad de volumen. Por
lo tanto, la difusión D tiene dimensiones de longitud al cuadrado
por tiempo y se representa como (cm2s‐1) o (m2s‐1).
La primera Ley de Fick es fácilmente generalizada para tres
El vector de flujo de difusión J es opuesto a la dirección del vector
que representa al gradiente de concentraciones . El símbolo nabla, , es usado para expresar la operación vectorial del lado
derecho de la ecuación en notación vectorial. El operador nabla
actúa en el campo escalar de concentraciones , , , y produce el campo del gradiente de concentraciones . El vector del
gradiente de concentraciones siempre apunta a la dirección para la
cual el campo de concentraciones presenta el mayor incremento y su magnitud iguala a la razón máxima del incremento de
concentración en ese punto. Para medios isótropos el flujo de
difusión es antiparalelo al gradiente de concentración.
Las dos ecuaciones anteriores representan la forma más simple de
la primera Ley de Fick.
Usualmente, en procesos de difusión el número de partículas
difundidas se conserva. Para especies difundidas para el cual se
obedece la ley de conservación y la ecuación de continuidad puede formularse. Tomando un punto P localizado en (x,y,z) y un volumen
de control con tamaño ∆ , ∆ , y ∆ . El flujo de difusión J y sus
componentes , , y varía a través del volumen de control. Si la suma de los flujos entrantes y salientes del volumen de control no
se equilibran, una acumulación o pérdida puede ocurrir. Este balance de material puede ser expresado como
Entrada ‐ salida=acumulación o pérdida
El componente de flujo puede sustituirse en esta ecuación para dar:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ acumulación o pérdida
(3.4)
Utilizando expansiones de Taylor los componentes del flujo, las expresiones dentro de los corchetes pueden representarse como
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (3.5)
En donde la acumulación o la pérdida en el volumen de control es
expresada en términos de la derivada parcial del tiempo de la concentración. Para un tamaño infinitesimal el volumen de control,
la ecuación puede escribirse en forma compacta introduciendo el vector operacional de la divergencia ·, el cual actúa en el vector
del flujo de difusión:
· J (3.6)
Y esta ecuación se conoce como la ecuación de continuidad.
. . .
S
EGUNDAL
EY DEF
)CK–
L
AE
CUAC)ÓN DED
)FUS)ÓNLa primera Ley de Fick y la ecuación de continuidad pueden ser combinadas para dar la ecuación comúnmente llamada La segunda Ley de Fick o la ecuación de difusión:
· (3.7)
Desde el punto de vista matemático, la segunda Ley de Fick es una
ecuación diferencial parcial de segundo orden. Es no lineal y D
depende de la concentración. La difusividad que es dependiente de la composición es usualmente mostrada como el coeficiente de
interdifusión.
Si la difusividad es independiente de la concentración, que es el
caso para algunos sistemas químicos homogéneos o para difusión
de soluciones sólidas ideales, la ecuación se simplifica a:
donde el operador ∆ significa el operador de Laplace o Laplaciano,
esta forma de la segunda Ley de Fick es algunas veces llamada la
ecuación de difusión lineal. Es una ecuación diferencial parcial de
segundo orden para el campo de concentraciones , , , .
Ecuación que tiene solución analítica, si las condiciones de frontera e iniciales son establecidas.
La segunda Ley de Fick, que describe la difusión dinámica, o en
estado no estacionario de los átomos está dada por la ecuación siguiente:
(3.9)
Si se supone que el coeficiente de difusión D no es una función de la
ubicación z ni de la concentración C de la especie que se difunde, se puede plantear una versión simplificada:
(3.10)
Una solución es:
erf
√ (3.11)
donde las variables son,
= es la concentración constante de los átomos que se difunden
en la superficie del material,
= es la concentración inicial uniforme de los átomos que se
difunden en la superficie del material,
= es la concentración del átomo uniforme que se difunden en el lugar x debajo de la superficie del material en el tiempo t,
Y la función erf(x) está dada por la siguiente ecuación.
erf
√ exp (3.12)
. . .
S
OLUC)ÓN DE LAE
CUAC)ÓND
)FERENC)ALEl problema con valores en la frontera que se resolverá es:
para , (3.13)
donde , para , , para
lim , existe, para
El problema impone la condición de que el valor límite sea . Para
simplificar el problema trabajamos con la Transformada de Laplace
transformando del dominio , al dominio , para y . Para ello es necesario hacer uso de las funciones de clase A,
que en resumen dicen lo siguiente:
• La función es continua por secciones sobre cualquier intervalo finito en el rango .
• La función es de orden exponencial cuando ∞.
Y además deben cumplirse los siguientes dos teoremas.
• Si es una función de clase A, la transformada
.
• Si es de clase A y si , lim .
Con lo anterior es posible utilizar la siguiente Transformada de
Laplace para derivadas:
exp exp exp
Se tiene la ecuación:
(3.15)
Ahora se puede aplicar lo anterior y se transforma en:
(3.16)
(3.17)
Con las condiciones anteriores, se tiene:
y (3.18)
La ecuación diferencial ordinaria de segundo orden tiene como
solución general: exp √ √ exp √ √ (3.19)
En la que y pueden ser funciones de s, pero no de x. Cuando
∞, la w de la ecuación anterior tenderá a un límite si y sólo si,
. De aquí que la condición nos dé el resultado:
exp √
√ (3.20)
Al utilizar las condiciones, se obtiene:
(3.21)
, exp √ √ , exp √ √ exp √ √ (3.22) Sabemos exp √ √ erfc √ (3.23) Para
Procedemos con la anti‐transformada de la , , tomando en
cuenta que . Para , .
, erfc
√ erfc √ (3.24)
Con la identidad erf x ‐erfc x se obtiene
, erf √ erf √ erf √ erf √ (3.25)
Y finalmente se determina la solución al problema en el dominio
, .
, erf
√ (3.26)
Debido a que se busca una solución con la forma ,
erf √ , encontramos que los coeficientes A y B están dados
CO M P R O B A C I Ó N
Como se desconoce si el resultado es correcto, procedemos en
orden inverso para despejar el valor de c:
erf donde √ erf erf erf erf z erf lim erf lim erf
Por lo tanto, se tiene que
Así que la ecuación es igual a la encontrada anteriormente.
, erf
, erf
√
. . .
P
ERF)LES DEC
ONCENTRAC)ÓNSe considera el siguiente perfil de concentraciones y se obtienen las ecuaciones que definen la concentración para cada uno de los