En la sección anterior, nada m imaginaria. En esta sección se gr unos datos importantes que prov estudian a continuación.
Figura 2.10 – Diagrama
1
26
ura que el amortiguamiento tiene una influencia ba as naturales, sobre todo las primeras, que dism amiento fuerte. Sin embargo, ya que las regione as consecuencias son menos graves.
servó cualitativamente la influencia del amortiguam es y sus estabilidades, estos efectos se estudiarán
drán de las ecuaciones, y que se analizan.
álisis
a más se observaron las gráficas de frecuencias e graficará y analizará, en función de la fisura o de rovienen de estas gráficas. La figura (2.11) presenta ma de Frecuencias Naturales, para amortiguamiento
0.3 y 1 0.7, en el caso de una fisura ∆F 0.2
a bastante fuerte sobre isminuyen de manera iones alrededor de de
uamiento y de la fisura rán cuantitativamente,
cias, parte real como del amortiguamiento, enta los valores que se ientos 1 0, 1 0.1,
En esta figura, 1 0.03 y ∆F graficarán como van cambiando
5NK4K5 k y
5NK4K5) , representado p
manera va disminuyendo con el a desaparición de la zona inestable como se va moviendo el punto ll inestabilidad del sistema, ya que sea más rápido las amplitudes l amortiguamiento correspondiente el último dato que se graficará, y más importante, y uno de los obje Todas estas gráficas se obtendrá (2.22).
a. Velocidades crítica
Los rangos inestables aparecen cu imaginaria de las frecuencias natu
g h i h j 27 0.1. ∆ 5NK4K5 representa el “tamaño” de la ndo las 5NK4K5 con el amortiguamiento, así que o por ∆ 5NK4K5, para varias fisuras diferentes. Se el amortiguamiento, y como una fisura más grande ble. En otra figura se observará, en función de los m to llamado, en la figura (2.11), min'Im -V./. Este p ue cuanto más negativo se pone, más inestable se es las vibraciones crecen. Cuando este punto lleg iente es el que se ha llamado 1{6rN3|. Este amortigu
rá, y se observará como va cambiando con el amo objetivos de esta tesis.
ndrán directamente a partir de un análisis de las e
ticas y tamaño del rango inestable
n cuando el índice de estabilidad es negativo, es de naturales es negativa. La ecuación (2.22) proporcion
g h i h jVkF 1 ; @ ; n1 # 1); @); @ V)F 1 ; F# n1 # 1); @); @ VlF 1 ; @ ; n1 # 1); @)# @ VmF 1 ; F# n1 # 1); @)# @, G
Figura 2.11 – Datos importantes
la zona inestable. Se ue la diferencia entre Se observará de qué nde retrasa el punto de los mismos parámetros,
/ te punto representa la se vuelve el sistema, o llega alcanza cero, el rtiguamiento umbral es amortiguamiento. Es el
las ecuaciones (2.15) y
s decir cuando la parte ciona esas frecuencias.
donde F 74 F)-1 # 1). ; ∆ Se considera en este trabajo única
0 • 1 • 1. Por lo tanto, ‚ - 1. parte imaginaria negativa puede
VmF, la expresión en la raíz cuadra
viene con un signo negativo. Haciendo el mismo tipo de cálcu con un amortiguamiento diferent raíz de VmF es negativo.
1 #
Fm; 2
Ya que Fw 0 (por ser una velocid
Este rango dado por la ecuación índice de inestabilidad (figuras 2. inestable, porque esta “bola” se en el eje ƒ.
Sin embargo, para F „ cn1 # 1
1 #
Por lo tanto, VmF se puede escribir
28
∆@).
nicamente sistemas sub-amortiguados, es decir nad
. s 0 y 1 # 1) s 0. Con esto aclarado, aparece o ede resultar nada más de la cuarta frecuencia, VmF, drada se puede hacer negativa, por la @, y únicam álculo que anteriormente en el caso sin amortiguam
rente de cero, se busca para que velocidades el té
# 1); F)# 74 F)-1 # 1). ; ∆F)q 0 F); 1 # 1)q 74 F)-1 # 1). ; ∆F) F)-1 # 1). ; -1 # 1).)q 4 F)-1 # 1). ; ∆F) Fm# 2 )-1 # 1). ; -1 # 1).)q ∆F) b F)# -1 # 1).e)q ∆F) H F)F)# -1 # 1). q ∆@ # -1 # 1). w #∆@G g h i h j F q n1 # 1); ∆@ F w #n1 # 1); ∆@ F w n1 # 1)# ∆@ F q #n1 # 1)# ∆@ G.
locidad), este sistema se simplifica en el siguiente:
H FFq n1 # 1); ∆@
w n1 # 1)# ∆@G
ción (2.26) corresponde a la “bola” que se observa s 2.7, 2.8, 2.9, 2.11). Como ya se comentó, no cor se “levanta” con el amortiguamiento, y por lo tanto
1)# ∆F, n1 # 1); ∆Ff, resulta
# 1); F)# 74 F)-1 # 1). ; ∆F)q 0.
ibir de la siguiente manera
nada más casos donde e obviamente que una , ya que sólo en VlF y camente en VmF esta raíz guamiento, pero ahora l término dentro de la
(2.26)
erva en las gráficas de corresponde a la zona nto no queda centrada
donde n#-1 # 1). # @); Utilizando la forma (2.27)
#-1
En (2.28) aparece una forma cuad utilizan las formulas muy conocida En este caso,
Por lo tanto, las dos raíces son
g i j
Ya que las velocidades son positiv
g h i h j Las 5NK4K5k y 5NK4K5) se pueden ob De (2.30) se puede calcular ∆^…†Z\Z… ‡#-]ˆ]# v. ; 29 VmF 1 ; F# , ; @ es un numéro real. ‚ -VmF. 1 # 0 1 -1 # 1). # F); 74 F)-1 # 1). ; ∆F) 1) F); 1 74 F)-1 # 1). ; ∆F) Fm; 2 F); 1 #4 F)1); ∆F); 4 F) Fm; 2 F)-21)# 1. ; 1 # ∆F) 0.
cuadrada en F), de tipo ƒ); aƒ ; 9 0. Para ca cidas ƒk XrXn∆‰)3 , ƒ) XrŠn∆‰)3 , donde ∆‰ a)# 4 9 ∆‰ 4b-21)# 1.)# '1 # ∆F)/e. j 5NK4K5k ) #-21)# 1. # 7-21)# 1.)# 1 ; ∆F) 5NK4K5 ) ) #-21)# 1. ; 7-21)# 1.)# 1 ; ∆F)G. sitivas, j 5NK4K5 k ‡#-21)# 1. # 7-21)# 1.)# 1 ; ∆F) 5NK4K5 ) ‡#-21)# 1. ; 7-21)# 1.)# 1 ; ∆F) observar en la figura (2.11). ; 7-]ˆ]# v.]# v ; ∆F]# ‡#-]ˆ]# v. # 7-]ˆ (2.27) (2.28) a calcular sus raíces, se
9. (2.29) G. ) ) G. (2.30) 7-]ˆ]# v.]# v ; ∆F]. (2.31)
Se grafican con MATLAB las ecuac (ver apéndice 3) en las figuras (2.1
Figura 2.12 – Velocidades crítica
Figura 2.13 – Tamaño del ran
30
uaciones (2.30) y (2.31) para 6 valores de ∆F: 0, 0.1 (2.12) y (2.13).
íticas, para fisuras ∆F 0, ∆F 0.1, ∆F 0.2, ∆F 0.3
∆F 0.5
l rango inestable, para fisuras ∆F 0, ∆F 0.1, ∆F
0.4 y ∆F 0.5
1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5
3, ∆F 0.4 y
En la figura (2.12) aparece co amortiguamiento, para varias fisu mientras las curvas discontinuas c umbral, ambas líneas se juntan pa
∆F 0, las curvas son traslapadas
zona inestable, y como el amortig Un fenómeno interesante que ap grandes, la zona inestable ya no fenómeno ya se había observado (2.12) pone en evidencia que la fis La figura (2.13) presenta como va del rango inestable. Esto ya se obs Las curvas empiezan en el caso si (2.30), coincide bien con la (2.25) sin fisura, se queda como previsto Cual sea la fisura, todas las curva casi nula, y luego disminuyen pequeños amortiguamientos (de embargo, cerca del 1{6rN3|, que variación de 1 provoca un cambio Ya que las curvas parecen similare verifica más adelante en la figura
b. Mínimo del índice d
La ecuación (2.28), de segundo o índice de estabilidad, que se pu
9. tienen su mínimo (o máximo, e
a 2-21)# 1.. Por lo tanto el m
Sustituyendo en (2.27) resulta
min'Im-V./ min-1 #
31
como los valores de velocidades críticas van s fisuras. Las curvas continuas corresponden a las as corresponden a 5NK4K5) . Cuando el amortiguamie n para formar una misma: las velocidades ya no son adas desde el principio. Aquí se observa la fisura v
rtiguamiento, al contrario, la disminuye hasta cance e aparece también es como, con amortiguamiento a no es centrada en F 1, sino que poco a po
ado en la figura (2.9), para el caso del amortiguami la fisura también provoca este fenómeno.
o va disminuyendo, conforme el amortiguamiento a observó en la figura anterior, pero se pone más en o sin amortiguamiento. Haciendo el amortiguamien .25), que era el caso sin amortiguamiento. La curva
isto en 0, ya que no existe inestabilidad.
urvas tienen el mismo comportamiento: empiezan hasta terminar casi vertical hacia abajo. Esto (del orden de 0.01) no actúan mucho sobre la
que corresponde al cruce de las curvas con el eje bio radical en el tamaño de la zona inestable. ilares, se puede adelantar que la influencia de ∆@ p ura (2.15).
ice de estabilidad
do orden en F), da la ecuación de la parte inferi e puede volver negativo. Las ecuaciones de este
o, en el caso de que el coeficiente sea negativo) e el mínimo ocurre cuando
6K2 F ) 1 # 21).
. 1 # ‡7∆F); 4-1 # 21).-1 # 1). ; 1)#
an cambiando con el las velocidades 5NK4K5k , miento alcanza el valor son estables. En el caso ra va incrementando la
ncelarla.
entos grandes y fisuras poco disminuye. Este amiento, pero la figura
to aumenta, el tamaño en evidencia aquí.
iento 0 en la ecuación rva negra, para el caso
zan con una pendiente sto significa que muy re la inestabilidad, sin l eje ƒ, una pequeña parece lineal. Esto se
ferior de la “bola” del este tipo ( ƒ); aƒ ; o) en –)3r. Aquí 1 y (2.32)
•Ž•'ImImIm-[Im
Se grafica (figura 2.14) con MAT valores de ∆@ que en las figuras (2 Esta gráfica representa la evoluc para la figura (2.13), las curvas em las curvas empiezan con un valor son negativas, existe una zona de discontinua) simboliza el límite Es inestable. Se puede precisar tamb el sistema en esta zona.
Aquí, aunque la ecuación (2.33) n
1, afuera de la raíz en la ecuación cuando 1 0. Por esto las curvas
Cuando las curvas cruzan el eje ƒ Estos valores corresponden a los puede observar, es el hecho de significaría que la relación entre i lo que se observo también en la fi Figura 2.14 – Mínimo del ín
32
' -[./ ˆ # ‡7∆F]; •-v # ]ˆ].-v # ˆ]. ; ‘ˆ]
MATLAB esta ecuación (2.33) (ver apéndice 3), pa s (2.12) y (2.13).
olución del punto min-Im-V.. (ver figura 2.11). De s empiezan con 1 0. Excepto para el caso donde n alor negativo, que corresponde a una inestabilidad.
a de velocidades inestables en el sistema. Por lo ta te Estable/Inestable, la parte positiva siendo la esta ambién que cuanta más negativa empieza la curva,
3) no es lineal, al observar la figura, parece obvio q ción, es el término preponderante, los demás influye rvas parecen ser lineales.
ƒ, el valor de amortiguamiento correspondiente los que aparecen en la figura (2.13). Otro punto o de que los intervalos entre cada curva parece tre influencia del amortiguamiento e influencia de la la figura anterior, y es lo que se verifica a continuaci
el índice de estabilidad, para fisuras ∆F 0, ∆F 0.1
0.3, ∆F 0.4 y ∆F 0.5
]# ]. (2.33)
, para los mismos seis
. De igual manera que de no hay fisura, todas ad. Mientras las curvas o tanto el eje ƒ (recta estable, y la negativa la rva, más inestable está
io que el término lineal fluyendo poco, excepto
ente es el valor umbral. nto interesante que se ecen ser iguales. Esto de la fisura es lineal. Es uación.
c. Relación entre amo
El objetivo en esta parte es gra función de la fisura ∆@. Este valor otra vez a la ecuación (2.28) c ecuaciones, es de conocimiento ocurre cuando ∆‰ 0. En este trab
En (2.34a) aparecen dos solucion casos con pequeños amortiguamie
Se grafica con MATLAB (2.34b) (ve
Figura 2.15 – Comparación d
33
amortiguamiento umbral y fisura
graficar como va cambiando el amortiguamiento alor también se puede encontrar mediante las ecua 8) cuadrada en F), y utilizando otra vez las pro nto común que el valor limite de F) para el cual trabajo, utilizando (2.29), este valor se encuentra res
∆‰ 4b-21)# 1.)# '1 # ∆F)/e 0 -21)# 1.) '1 # ∆F)/ ’ 21)# 1 n1 # ∆F) 21)# 1 #n1 # ∆F)G g h i h j 1 ‡7“kX∆)”•–Šk 1 ‡X7“kX∆)”•–Šk .G
ciones. Sin embargo, ya que en este trabajo se obse amientos, la solución que se estudiará en este traba
ˆ—˜™†š› ‡
X7“vX∆”]–Šv
]
) (ver apéndice 3) en la figura (2.15).
ón de la curva de amortiguamiento umbral, con la re
nto umbral 1{6rN3| en cuaciones. Regresando propiedades de estas ual sólo existe una raíz
resolviendo: (2.34a) observaron únicamente abajo es la segunda: (2.34b) la recta A œ.k)•œ.)ž ∆@
Esta gráfica, objetivo del capítulo tamaño de la fisura, ∆@, y el am necesario para cancelar la ine amortiguamiento en un rotor se d sus soportes o chumaceras; esta muchos casos, 1 será mayor a embargo, en casos de soportes co este problema ocurra, y entonces Se comentó en las gráficas anter (2.15) se dibujó, además de la ecu esta recta se tomó dos valores de
1{6rN3
La gráfica muestra que es una m
∆@, para valores de ∆F• 0.4
5.
Comprobación num
En las secciones anteriores se reso en las ecuaciones de movimie continuación se utilizará MATLAB valores de velocidad de giro, am amortiguamiento, para velocidad las direcciones A y B van incre amortiguamiento para el cual las amplitudes disminuyen con el analíticamente en las secciones a que los valores corresponden.
a. Resolución con MA
Las ecuaciones (2.12) son las ecua
A( ; 21 234
B( ; 21 234
Para que los resultados correspo Primero el tiempo se adimensiona
34
ítulo, muestra la relación directa entre el coeficient amortiguamiento umbral 1{6rN3|. Este amortigua inestabilidad que apareció como consecuencia se debe a la fricción del aire, muy pequeña, y a la fr
sta fricción no es tan pequeña, pero depende del a 1{6rN3|, y por lo tanto no aparecerá ninguna es con muy poca fricción, como los baleros por ejem
ces tendrá que tomarse en cuenta en un diseño. nteriores que la relación entre 1{6rN3| y ∆@ parecía
ecuación (2.34b), una recta de ecuación A 0.126 s de 1{6rN3|:
{6rN3|-0. 0, 1{6rN3|-0.25. 0.126.
a muy buena aproximación decir que 1{6rN3| depe
ˆ
—˜™†š›u
.v]¡ .]¢∆
F.
umérica
resolvieron las ecuaciones proponiendo una solució imiento, se encontraron las frecuencias natural LAB para resolver y graficar directamente la respues , amortiguamiento y fisura, se verificará que para idades a dimensionales cercanas a uno, las amplitud
incrementando con el tiempo. Sin embargo l l las amplitudes parecen estabilizarse, y si se sigu
el tiempo, para cualquier valor de . Esto es l es anteriores. Aquí se comprobará que ocurre el
MATLAB
cuaciones de movimiento que se resuelven
234A: ; 234) A # ∆-A cos-2 . ; B sin-2 .. 0 234B: ; 234) B # ∆-A sin-2 . # B cos-2 .. 0.
spondan a los analíticos, conviene adimensionaliza ionaliza haciendo £ . La ecuación se convierte e
iente representando el iguamiento es el valor ncia de la fisura. El la fricción entre el eje y del tipo de soporte. En guna inestabilidad. Sin ejemplo, puede ser que
ecía lineal. En la figura
126ƒ/0.25. Para elegir
epende linealmente de
(2.35)
ución, y, sustituyéndola urales del sistema. A uesta. Modificando los para ciertos valores de litudes de vibración en o llega un valor de sigue aumentando, las es lo que se observó el mismo fenómeno, y
.
alizar estas ecuaciones. rte en
)A( ; 2 1 )B( ; 2 1 Multiplicando (2.36) por R¤¥¦• R¤¥¦• R• A( ;)§R” B( ;)§R”
MATLAB tiene una multitud de fu todas, una de las más usadas, por buenos, es la función ode45. ode45 resuelve el siguiente sistem
donde ¨ es una matriz que depen El sistema (2.37) es un ligeramen segundo orden, por tener derivad de estados, se puede solucionar e Haciendo
ƒk
las ecuaciones se convierten en
g h i h j ƒl: )§R” ƒm: )§R” Escribiendo (2.39) en forma de ma : © ª ª ª « “Rk”# #
Bajo esta forma, se puede resolve las amplitudes A y B a lo largo del
35
234A: ; 234) A # ∆-A cos-2£. ; B sin-2£.. 0 234B: ; 234) B # ∆-A sin-2£. # B cos-2£.. 0
k R”R¤¥¦•k , A: ;Rk”A # ∆ ” R”•-A cos-2£. ; B sin-2£.. 0 B: ;Rk”B # ∆ ” R”•-A sin-2£. # B cos-2£.. 0 .
e funciones para resolver sistemas de ecuaciones porque se puede aplicar en la mayoría de los casos
stema:
F ¨- . ¬ ,
epende del tiempo.
mente diferente, ya que el sistema de ecuaciones ivadas segundas. Sin embargo, escribiendo esta ecu ar este problema. A, ƒ) B, ƒl A:, ƒm B:, ƒk: ƒl ƒ): ƒm ƒl; “Rk”# ∆ ” R”•cos-2£.– ƒk# ∆ ” R”•sin-2£. ƒ) ƒm; “Rk”; ∆ ” R”•cos-2£.– ƒ)# ∆ ” R”•sin-2£. ƒk G. e matriz, con - ƒk ƒ) ƒl ƒm ® « 00 00 1 00 1 #R∆”•” cos-2£.– # ∆ ” R”•sin-2£. )§R” 0 ∆” R”•sin-2£. “Rk”; ∆ ” R”•cos-2£.– 0 )§R”¯° ° ° ± .
olver con MATLAB. El código a continuación permite del tiempo.
0
0. (2.36)
(2.37)
nes diferenciales. Entre sos con resultados muy
(2.38) nes diferenciales es de ecuación en el espacio G (2.39) ¯ ° ° ° ± . (2.40)
clear all
clc
%Resolución del sistema
[T,Y]=ode45(@ec_lineal_ma
%Gráfica de las amplitude
figure(1) clf(1,'reset')
plot(T,Y(:,1),'r',T,Y(:,2 xlabel('Tiempo adimension
ylabel('Amplitud', 'FontS
legend('Amplitud en y','A
axis
Para simplificar la escritura del contiene la matriz ¨- . y en do archivo .m en la misma carpeta qu automáticamente.
Este archivo .m contiene lo siguien function dy=ec_lineal_mat %Velocidad de giro omega=0.7; %Amortiguamiento xi=0; %Fisura Delta=0.1; %Matriz M(t) A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -1/omega^2+(Delta/ome 2*xi/omega 0; (Delta/omega^2)*sin(2 2*xi/omega]; dy=A*y;
Es importante precisar que en el p
ode45(@ec_
los siguientes vectores aparecen c [0 2000]: corresponde al vector de 2000 puntos, correspondiendo a u [0 0 -0.05 0.1] : son las condicione velocidades iníciales en A y B. Esta inestabilidades.
36
matA,[0 2000],[0 0 -0.05 0.1]);
des
,2),'b')
onal \tau', 'FontSize', 16);
tSize', 16);
'Amplitud en z')
del programa, se utilizó una función externa ec_
donde se fijan las variables , ∆@ y 1. Esta funció ta que el programa. Al correr el programa, la función
uiente:
atA(t,y)
mega^2)*cos(2*t) (Delta/omega^2)*s (2*t) -1/omega^2-(Delta/omega^2)*co
l programa, en la función ode45
_lineal_matA,[0 2000],[0 0 -0.05 0.1]
en como variables de entrada:
r de tiempo. Esto significa que se van a calcular las a o a un tiempo adimensional £ que va de 0 a 2000 de iones iníciales de ƒk, ƒ), ƒl y ƒm, es decir posición ini Estas condiciones iníciales no importan realmente p
c_lineal_matA que
nción se guarda en un ción creada es utilizada
sin(2*t) - os(2*t) 0 -
])
las amplitudes para de uno en uno. n inicial en A y B, y te para buscar las
b. Búsqueda de las ve
Utilizando este programa, y jug amplitudes crecen, y cuando dism Lo importante aquí es graficar pequeño, unas amplitudes que pa y por lo tanto disminuyen despué que se ven a continuación, el tiem
Las figuras (2.16a), (2.16b) y (2 amortiguamiento 1 0.05, el efe diferentes se observan aquí: - La figura (2.16a) presenta un ca el sistema se amortigua muy poc Figura 2.16 – Resultados nu amortiguamiento 1 0
F
37 s velocidades críticas
jugando con las variables , ∆@ y 1, se puede ob isminuyen. El punto límite corresponde al amortigu car con un tiempo suficientemente grande, ya q e parecen aumentar en realidad nada más toman la pués, antes de crecer de nuevo, y así periódicamen tiempo seleccionado es de 2000.
y (2.16c) representan, para una misma fisura ∆ l efecto de una modificación de la velocidad de r
n caso estable, amortiguado. En esta gráfica, F poco. Esto se debe al hecho que el valor de velocid s numéricos para la amplitud de vibración, para una
0.05, alrededor de la primera velocidad crítica: a u
0.843,b) F 0.845 y c) F 0.84391.
a) b)
c)
e observar cuando las tiguamiento umbral.
a que con un tiempo la forma de un latido, mente. Para las gráficas
∆F 0.3 y un mismo de rotación @. 3 casos 0.843. Sin embargo locidad seleccionado se una fisura ∆F 0.3, un : a una velocidad a)
encuentra justo antes de la pri amortiguan hasta casi desaparece - En la figura (2.16b) se observa u este caso F 0.845. Un cambio respuesta. Es fácil imaginar que p crecen exponencialmente a valore - La figura (2.16c) presenta un c amortiguamiento parece compen ni crecen ni disminuyen: se mantie De la misma forma se encuentra caso límite.
La figura (2.17a) presenta un ca
F 1.13. Las vibraciones aume
Figura 2.17 – Resultados nu amortiguamiento 1 0
a)
38
primera velocidad crítica 5NK4K5k . Con el tiempo recer.
va un caso inestable: con el tiempo las amplitudes s mbio de velocidad de dos milésimas provoco un ca ue para una velocidad más adentro de la zona inest
lores importantes en muy poco tiempo.
un caso límite. En este caso, para F 0.84391, l pensar exactamente la inestabilidad debida a la fis antienen iguales. Por lo tanto ^…†Z\Z…v . ´•‘µv. ntra 5NK4K5) . Las figuras (2.17a), (2.17b) y (2.17c) pr
n caso inestable, al límite superior de la inestabil umentan con el tiempo. Si se aumenta tantito la s numéricos para la amplitud de vibración, para una
0.05, alrededor de la segunda velocidad crítica: a u
F 1.13, b) F 1.131 y c) F 1.13052. b) c) po las amplitudes se es se van al infinito. En n cambio radical en la nestable las amplitudes
, la estabilización del a fisura. Las amplitudes
) presentan el segundo
tabilidad. En este caso o la velocidad, a F una fisura ∆F 0.3, un
1.131, la velocidad sale de la zon las vibraciones son amortiguadas figura (2.17c), un valor ^…†Z\Z…] inestabilidad generada por la fisur Se observó por lo tanto que es ba las amplitudes de vibración. El m límite entre una gráfica que incre
c. Comparación con la
En las secciones anteriores se c
∆F 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5. Con el
mismos valores de fisuras, los val para 6 valores de amortiguamient
a) ∆F 0.1 ˆ 0 ^…†Z\Z…v 0.949 ^…†Z\Z…] 1.048 b) ∆F 0.2 ˆ 0 ^…†Z\Z…v 0.894 ^…†Z\Z…] 1.095 c) ∆F 0.3 ˆ 0 ^…†Z\Z…v 0.837 ^…†Z\Z…] 1.140 d) ∆F 0.4 ˆ 0 ^…†Z\Z…v 0.775 ^…†Z\Z…] 1.183 39
zona de inestabilidad, como lo muestra la figura (2 adas. Buscando con más precisión el valor limite,
…†Z\Z… v. v‘ ¢]. Con este valor, el amortiguami
fisura, y las amplitudes se quedan constantes. bastante fácil buscar esos valores de velocidades El método sólo consiste en cambiar los parámetr
crementa hacia el infinito y una gráfica que tiende a
n la solución analítica
se comentaron gráficas de velocidades críticas pa n el fin de comparar adecuadamente estos casos, s valores de velocidades críticas (en ambos extremo
iento. Estos resultados están reunidos en las tablas (
0.1 0.2 0.3 0.4 0.950 0.953 0.959 0.968 1.047 1.044 1.038 1.028 0.02 0.04 0.06 0.08 0.897 0.902 0.913 0.931 1.093 1.086 1.073 1.052 0.03 0.06 0.09 0.12 0.840 0.848 0.863 0.889 1.136 1.126 1.106 1.074 0.04 0.08 0.12 0.16 0.778 0.788 0.807 0.839 1.179 1.163 1.136 1.092 a (2.17b). En este caso, ite, se obtiene, con la amiento compensa la
des críticas, graficando etros y buscar el valor de a 0.
para casos de fisuras os, se buscan, para los emos: 5NK4K5k y 5NK4K5) ),
las (2.1a) a (2.1e).
0.5 0.996 1 0.1 0.98 0.999 0.15 0.955 0.999 0.2 0.917 0.999
e) ∆F 0.5
ˆ 0
^…†Z\Z…v 0.708
^…†Z\Z…] 1.224
Los resultados se grafican encima En esta gráfica, los circulitos repre en las tablas (2.1). Cada círculo r que los resultados obtenidos analíticamente, y esto para los c propuesta para resolver el sistema Un método similar se podría utiliz verificar una segunda vez que las
Tabla 3.1 – Resultados numérico
∆F 0.1 (a), ∆F
Figura 2.18 – Comparación entre para fisuras ∆F 0
40
0.05 0.1 0.15 0.2 0.710 0.723 0.744 0.781 1.218 1.199 1.165 1.109
ima de la figura (2.12) (ver apéndice 4) para compara epresentan los puntos que han sido obtenidos gráfi
lo representa una entrada en las tablas. La gráfica numéricamente corresponden exactamente
os cinco valores de fisura elegidos. Podemos conc tema de ecuaciones diferenciales acopladas resultó c utilizar para encontrar los valores de amortiguamien las gráficas resultarían idénticas.
éricos de velocidades críticas obtenidos gráficament
F 0.2 (b), ∆F 0.3 (c), ∆F 0.4 (d) y ∆F 0.5 (e)
ntre resultados numéricos y analíticos de velocidade
0, ∆F 0.1, ∆F 0.2, ∆F 0.3, ∆F 0.4 y ∆F 0.5 0.25 0.867 0.999 paración. ráficamente y juntados fica pone en evidencia con los obtenidos oncluir que la solución ltó correcta.
mientos umbrales, y así ente, para fisuras
6.
Conclusiones
Se propuso en este capítulo mo Jeffcott. Se modificaron las ecua rigidez provocado por la fisura, y las ecuaciones, y resolviéndolas, Haciendo variar el parámetro de l las frecuencias naturales, sin cons e Ishida [34] un término de a amortiguamiento como de las fisu Se observó que la fisura, o una a para un rango de velocidades alre Esta zona inestable crece conform amortiguamiento (todo sistema t cancelarlo completamente para linealmente de la asimetría estruc En el caso de máquinas montadas grande para que ocurra la inestab los valores de amortiguamiento e Esos resultados son interesantes practico, sobre todo en program programas de cómputo comercial