Dissolution Profile Modelling:

Al comenzar este trabajo se mencion´o la importancia del estudio de los indi- cadores financieros y dimos una visi´on muy general de la destacada aportaci´on de la econof´ısica a dicho estudio. El an´alisis fractal, una de las principales her- ramientas de la econof´ısica, ha demostrado su utilidad en el modelado y estudio de los indicadores en los mercados financieros, demostrado las propiedades frac- tales en econom´ıa.

La historia de las propiedades en el flujo de moneda se remonta m´as de 100 a˜nos. En 1896 Pareto investig´o la distribuci´on de riqueza en Italia y hall´o que esta se distribuye con una ley de potencias [50]. En 1922 Gini tambi´en analiz´o la distribuci´on de riqueza en diferentes pa´ıses europeos y hall´o que obedecen a leyes de potencias [51].

Dos f´ısicos, Montroll y Schlesinger, estudiaron la ley de potencia natural de la distribuci´on de ingresos en 1983 y hallaron que el ingreso personal de 1 % sigue una ley de potencia, mientras el 99 % que (los asalariados) es caracterizado por una ley log-normal [52].

Mantega y Stanley establecieron una interesante relaci´on de escala en las estad´ısticas de crecimiento en compa˜n´ıas [51]. Dicho crecimiento es caracterizado por el logaritmo de la tasa de cambio de bienes por:

CAP´ITULO 4. ECONOF´ISICA ₄₉

R(t) =log A(t)

A(t−1) (4.2)

DondeA(t) son los bienes de la compa˜na en elt−esimoa˜no la funci´on de distribuci´on deR(t) fue observada para m´as de 10,000 compa˜n´ıas en 10 a˜nos en los EU y la funci´on de densidad de probabilidad deR(t) para una compa˜n´ıa se caracteriza aproximadamente con funci´on exponencial:

P(R|A) = √ 1 2σ(A)exp − √ 2|R− hR(A)i| σ(A) ! (4.3) donde σ(A) es la desviaci´on estandar para una media de bienes alrededor de

A(t) =Aexiste una relaci´on no trivial para las fluctuaciones enσ(A) tal que

σ(A)∝A−θ,θ∼0.15 (4.4) Es decir, el comportamiento de dicha relaci´on se ajusta una ley de potencia. Tambi´en Stanley y Mantega han analizado la variaci´on de la distribuci´on de los precios de acciones que encabezan los mercados y han hallado que todas muestran colas de Pareto, conα≃3 para el mercado de acciones [50-52].

En los mercados financieros se han estudiado los mercados de acciones [53], promedios de acciones [54], tasas de cambio de acciones [55] y otros merca- dos [56], estableci´endose algunas reglas emp´ıricas:

i) la distribuci´on de los cambios es aproximadamente sim´etrica y decrece con una ley de potencias en las colas de la distribuci´on con un exponente

α+ 1≈4 para la funci´on de densidad de probabilidad;

ii) el cambio de los precios est´a correlacionado en tiempos cortos de escala; iii) la amplitud de los cambios de precios tiene un largo periodo de correlaci´on,

espec´ıficamente las correlaciones decrecen con una ley de potencias con exponenteγ≈1/3.

Salvatore Miccich´e, Giovanni Bonanno, Fabrizio Lillo y Rosario N. Mantegna estudiaron la volatilidad de m´as de 100 mercados accionarios, hallando que la mejor distribuci´on de densidad de probabilidad tienen ley de potencias en las colas [57].

Tambi´en se han realizado an´alisis fractal al mercado de productos (com- modities) y se hall´o que hay mayor fluctuaci´on que el precio de las acciones. De hecho, la distribuci´on de probabilidad de los rendimientos de productos, tales como el algod´on, tiene una distribuci´on Levy estable (ley de potencias). Se analizaron los rendimientos diarios de 29 productos t´ıpicos alrededor de 20 a˜nos, encontr´andose que la distribuci´on de rendimientos decrece de acuerdo a una ley de potencias con exponenteα, cuyo valor esα >2. S´olo por mencionar algunos casos de an´alisis fractal y el ajuste a leyes de potencia de diferentes indicadores econ´omicos.

CAP´ITULO 4. ECONOF´ISICA ₅₀

En 1999 en un estudio de las burbujas especulativas que fueron seguidas por desequilibrios econ´omicos, se demostr´o que lo ´ındices obedec´ıan a ditribu- ciones log-peri´odicas (ley de potencia), en este estudio se analizaron los merca- dos accionarios de pa´ıses como: Argentina, Brasil, Chile, M´exico (IPC), Peru, Venezuela, Honk-Kong, Indonesia, Korea Malasia, Filipinas [58].

El IPC de la BMV ha sido analizado desde varias perspectivas. En 2004 Francisco Lop´ez Herrera, en sus tesis ”Modelado de la volatilidad y pron´ostico del ´ındice de precios y cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores”, us´o mod- elos de la familia ARCH y verific´o la contribuci´on de tres de ´estos modelos al reproducir los primeros cuatro momentos de la distribuci´on del IPC [59].

H.F. Coronel-Brizio, C.R. de la Cruz-Laso y A.R. Hernandez-Montoya, de la Facultad de F´ısica e Inteligencia Artificial (Universidad Veracruzana), han trabajado sobre el IPC en los ´ultimos a˜nos, demostrando que los cambios en el IPC se distribuyen de acuerdo a una ley de potencias con par´ametro de forma

α⋍3 [60]. Los mismos H.F. Coronel-Brizio, A.R. Hern´andez-Montoya, tambi´en presentaron un an´alisis estad´ıstico de las diferencias logar´ıtmicas diarias de la BMV, estudiando la funci´on de distribuci´on acumulativa de una muestra del IPC de un periodo de 13 a˜nos (04/01/1990 - 08/21/2003), donde hallaron que dicha distribuci´on puede describirse para los valores extremos mediante una distribuci´on de Pareto-Levy (ley de potencia) con exponentesα= 3.634±0.272 y α = 3.540±0.278 para las colas positiva y negativa, respectivamente. Por lo tanto, estos autores concluyeron que el resultado es consistente con estudios previos que muestran que para los mercados financieros de diferentes partes del mundo 2.5< α <4 [61].

En 2002 Edgar Palomas Medina, en su tesis ”Evidencia e implicaciones del fen´omeno Hurst en el mercado de capitales”, presento un an´alisis al rendimien- to logar´ıtmico del IPC utilizando el m´etodo de rango reescalado, cubriendo un periodo que va del 4 d enero de 1988 al 11 de septiembre de 2001(3 571 observa- ciones) arrojando un coeficiente de Hurst deH=0.5838 para corridas menores o iguales a 1 000 observaciones y para corridas mayores a 1 000 observaciones se sigue una caminata aleatoria (H=0.5) donde esto es evidencia de memoria a largo plazo aproximadamente de 4 a˜nos, es decir, lo que ocurra al IPC en un momento dado seguir´a influenciando al sistema que genera la misma serie hasta por 4 a˜nos, el valor del coeficiente de Hurst para el IPC diario es H=0.5838 y mensualmenteH=0.7132 para ciclos de 4 a˜nos, tambi´en se aplico el an´alisis a otros indicadores como el Down Jones (H=0.6584) y el S&P 500 (H=0.78) para los mismos ciclos mostrando similitudes de comportamiento entre estos ´ındices y el IPC [62]

En 2003 Ernesto Galvez Medina, Alexander Balankin, Oswaldo Morales Matamoros, analizaron los datos hist´oricos del IPC en un periodo que va desde 1982 a 2002, a trav´es del enfoque del exponente de Hurst, hallando que el IPC se comporta de una manera fractal obteniendo un valor promedio de H >0.6 indicando la existencia de correlaciones a largo plazo [63]

CAP´ITULO 4. ECONOF´ISICA ₅₁