4.3 Other legislative frameworks
4.3.3 Education Act [Chapter 25-04]
1. Sean A B, ∈ (n n×); entonces, det (A B· )=det ( ) · det ( ).A B 2. Generalizando el resultado anterior tenemos:
Capítulo 3: La función determinante
Lewis Carroll
Lewis Carroll es el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, escritor, matemático y lógico inglés conocido principalmente por su inmortal creación Alicia en el país de las maravillas. Carroll nació en Daresbury, Inglaterra, en 1832, primer varón y tercer hijo de una familia de once hermanos, todos ellos tartamudos. Su padre era un clérigo acomodado que ascendió a archidiácono. De niño demostró gran precocidad, que incluía una prematura preocupación por el significado de los logaritmos, una gran afición por las marionetas y los espectáculos mágicos, y una enorme habilidad para inventar jeroglíficos matemáticos.
Después de una temprana educación familiar, durante la que su padre le inculcó el interés por las matemáticas y la teología, Carroll ingresó en un colegio privado en Richmond. Fue un buen estudiante, excepcional en matemáticas y aceptable en disciplinas clásicas. Pero debido a que sus aficiones no eran las mismas de sus compañeros, no fue feliz en Rugby, donde también estudió. Más tarde escribiría: «No sé si ninguna consideración humana podría inducirme a pasar de nuevo por estos tres años». Se refugió en su trabajo literario y empezó a escribir para distintas revistas. Una de ellas contiene curiosos artículos sobre rompecabezas matemáticos de diversos tipos, que incluyen uno de sus ensayos más controvertidos llamado «Un problema hemisférico» o «¿Dónde cambia el día de nombre?». Este era un problema real. El día cambia su nombre en la línea internacional de cambio de fecha, pero esta demarcación no fue inventada hasta 25 años más tarde después de que el problema empezara a preocuparlo. Siempre estuvo obsesionado por el tiempo, y algunos de los maravillosos y desconcertantes efectos de sus últimas obras fueron conseguidos por el modo como lo manejaba. En enero de 1851 Carroll ingresó en el Christ Church College de Oxford. Allí estuvo 47 años, hasta su muerte. Pasó todos sus exámenes con distinciones, entró a formar parte de su personal docente y en 1861 fue ordenado diácono de la Iglesia de Inglaterra. Sin embargo, no llegó nunca a ordenarse sacerdote y su misma ordenación de diácono fue precedida por largos años de autoexamen y de recelos. Su tartamudez y sus dudas doctrinales no fueron los únicos obstáculos que le impidieron entrar al sacerdocio. Su profesión de matemático le gustaba más, aun cuando no destacase extraordinariamente como tal, y, además, se resistía a someterse a ciertas reglas impuestas por la costumbre a los que se ordenaban sacerdotes. En sus lecciones a los niños utilizaba un sistema de diapositivas de su invención. Reunió una biblioteca de 5000 volúmenes, compró un esqueleto para estudiar anatomía e instaló termómetros y estufas de gas en sus habitaciones porque sentía horror a las corrientes de aire. Usaba cinco tamaños de papel para escribir, mantenía una prodigiosa correspondencia que tenía catalogada y llegó a ser uno de los mejores fotógrafos de su tiempo.
Sus dos libros principales, Alicia en el país de las maravillas y La caza del Snak, son alegorías en las que están fundidos dos temas: su inexpresado amor por Alicia Liddell y la atracción que sentía por los misterios matemáticos
Demostración de 1
Analicemos dos casos posibles para el producto A · B.
a. Si A · B es invertible.
En este caso A y B son invertibles y en consecuencia A se puede expresar como un producto de matrices elementales, por el segundo criterio de invertibilidad. Esto significa que
1
·...· k
F F =A (1)
y multiplicando a la derecha por B tenemos 1
(Fk·...·F) ·B=A B· . (2)
Aplicamos ahora la función determinante: 1
det (Fk·...·F ·B)=det (A B· ) (3)
y esto nos conduce a: 1
det (Fk) ·...· det ( ) · det ( )F B =det (A B· ) (4)
(por el corolario 2 del teorema 3).
Ahora, aplicando la función determinante en la ecuación (1) y por la misma razón exhibida en el paso anterior, afirmamos que
1
det (Fk) ·...· det (F)=det ( )A (5).
Sustituyendo este resultado en la ecuación (4), concluimos que:
det ( ) · det ( )A B =det ( · ).A B
b. Si A · B no es invertible.
En este caso A no es invertible o B no es invertible. Asumiendo que A no es invertible, tenemos que:
det (A B· )=0 y det ( )A =0, y en consecuencia,
det (A B· )=det ( ) · det ( )A B (¿por qué?) (lo mismo ocurre si asumi-
mos que B no es invertible).
Conclusión: det ( · )A B =det ( ) · det ( ).A B
La demostración de la proposición del numeral 2 se efectúa por el método de induc- ción matemática y se deja al lector.
Corolario Si A(n n×) es invertible, entonces 1 1 det ( ) det ( ) A A − = .
con ella se acabó y también su inspiración. No obstante, varias obras de matemáticas, literarias y de imaginación, salieron años después de su pluma.
A medida que fue entrando en años, se hizo más susceptible, más intolerante y difícil. Fue evadiéndose cada vez más del mundo real a otro imaginario de juegos, rompecabezas y paradojas lógicas. Imaginaba sin cesar sistemas para mejorar cosas. Como padecía de insomnio crónico y su salud era excelente, tenía mucho tiempo para llevar hasta sus últimas y absurdas consecuencias cualquier inofensiva fantasía. Tenía el hábito de trabajar durante toda la noche en su escritorio; también trabajaba en la cama sin luz, con ayuda de un instrumento de su propia invención llamado nictógrafo, que mantenía la escritura recta y la pluma sobre el papel. El 6 de enero de 1898 contrajo una infección de vías respiratorias y murió ocho días después. En una carta dirigida a un amigo, Carroll escribió: «Las palabras tienen más sentido del que nosotros les damos al usarlas; por consiguiente, un libro entero debe significar mucho más de lo que su autor cree». Ninguna opinión tan profunda como ésta, para enjuiciar sus propias y extrañas obras maestras.
Demostración
Supongamos que A(n n×) es invertible (hipótesis). Luego existe A1tal que ·A A1 I(n n)
− −
×
= (¿por qué?), y aplicando la función de- terminante en esta ecuación tenemos que:
1
( x ) det (A A· ) det (In n ) 1;
− = =
del teorema inmediatamente anterior podemos afirmar que: 1 det ( ) · det (A A− )=1 y concluimos que: 1 1 det ( ) . det ( ) A A − =
Veamos finalmente cómo la función determinante interviene en la construcción de la inversa multiplicativa de una matriz. Con este objetivo introduciremos los siguientes elementos.
13.1.1 Matriz de cofactores de A
(n, n)Sea ( , )n n
A .
Definimos la «matriz de cofactores de A» y la denotamos por A así:
( ), donde ( 1) det ( ). i j ij n n ij ij A C C + A × ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ = − Ilustración 10 Sea (3, 3) 2 1 2 3 5 0 1 7 2 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ Calculemos A. Solución (3, 3), donde ( 1) det ( ), i j ij ij ij
A=⎡ ⎤⎣ ⎦C C = − + A y por tanto tenemos:
2 11 11 5 0 ( 1) det ( ) 1 . 10, 7 2 C = − A = =
3 12 12 3 0 ( 1) det ( ) 1 . 6, 1 2 C = − A = − = − − 4 13 13 3 5 ( 1) det ( ) 1 . 26. 1 7 C = − A = = −
El lector puede verificar que los cofactores restantes son los que se indican a continuación: (3, 3) 10 6 26 16 6 13 10 6 13 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ − ⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦
13.1.2 Matriz adjunta de A
(n, n) Sea A(n n×)Definimos como «matriz adjunta de A», y la denotamos adj (A), a la transpuesta de la matriz A.
Esto es, adj ( ) ( ) .A = AT
Ilustración 11
Determinemos la adjunta de la matriz A en la ilustración 10.
(3, 3) 10 16 10 adj ( ) ( ) 6 6 6 26 13 13 T A A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = −⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ Teorema 6
Sea A(n n×); entonces, A· adj ( )A = det ( ) ·A I(n n×).
Este teorema establece que el producto de una matriz por su adjunta es igual a una
matriz escalar, cuyo valor constante corresponde al determinante de la matriz A.
Corolario: Fórmula única para la determinación de la inversa de una matriz
Si A(n n×) es invertible, entonces 1 1 · adj ( ). A A A − = ⎜⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Este resultado establece que la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada es un múltiplo escalar de la matriz adjunta de dicha matriz, donde el escalar corresponde al inverso multiplicativo del determinante de la misma. Podemos observar en la estruc- tura de la fórmula, el papel absoluto que en ella desempeña la función determinante.
Colin Maclaurin
El matemático escocés Colin Maclaurin nació en Kilmodan en 1698 y murió en 1746 en Edimburgo. Empezó estudios universitarios a la edad de 11 años, fue profesor en la Universidad de Aberdeen a los 19 y posteriormente en la de Edimburgo. Expuso un original método de generación de las cónicas en su obra Geometría orgánica, publicada en 1720, y sentó las bases para una fundamentación lógica del cálculo infinitesimal en el Tratado de las fluxiones, aparecida dos años más tarde. En su Tratado de álgebra, obra póstuma aparecida dos años después de su muerte, aplicó el método de los determinantes a la resolución de ecuaciones con cuatro incógnitas.
La curva conocida como «trisectriz de Maclaurin» fue estudiada por él en 1742, tratando de solucionar el problema de la trisección del ángulo. De ahí su nombre. Y hay que decir que efectivamente consiguió trisecar un ángulo, pero no como los antiguos griegos querían, pues la curva que inventó no se puede trazar sólo con regla y compás; y aunque hoy en día con las nuevas tecnologías es realmente fácil hacerla con mucha precisión, es justo reconocer el mérito que Maclaurin se merece por el dibujo que de ella hizo en sus tiempos.
Demostración
Supongamos que A(n n×) es invertible (hipótesis). Luego existe A−1
tal que A A· 1 A1·A I(n n).
− −
×
= =
A su vez, A· adj ( )A= det ( ) ·A I(n n×) por lo afirmado en el teorema 6.
Multiplicando a la izquierda en la ecuación anterior por A−1
, tenemos:
1 1
( )
· ( adj ( )) · ( det ( ) . n n ),
A− A A = A− A I ×
lo que nos conduce a que
1 ( )
adj ( )A = det ( ) · (A A− ·In n× )(¿por qué?), y a su vez 1 · adj ( ) 1 detA A A − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠ puesto que det ( )A ≠0.
Ilustración 12
Para la matriz A(3, 3) propuesta en la ilustración 10: 1. Calculemos A · adj (A).
2. Calculemos det (A).
3. Si A es invertible, determinemos A−1 mediante la fórmula única.
Solución
1. Tomando la matriz adj (A), determinada en la ilustración 11, tenemos:
2 1 2 10 16 10 78 0 0 · adj ( ) 3 5 0 . 6 6 6 0 78 0 . 1 7 2 26 13 13 0 0 78 A A − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢= ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Esto es: (3, 3) 1 0 0 · adj ( ) 78 · 0 1 0 78 , 0 0 1 A A I ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
y por el teorema 6 se concluye que det (A) = 78 (¿por qué?). 2. det (A) = 78.
3. Lo anterior nos permite afirmar que A es invertible, y por la fórmula demostrada en el último corolario tenemos:
Capítulo 3: La función determinante
Carl Gustav Jacobi
Carl Gustav Jacobi, matemático alemán, nació en Postdam el 10 de diciembre de 1804. El primer maestro que tuvo fue uno de sus tíos maternos, quien le enseñó lenguas clásicas y matemáticas, preparándolo para que ingresara al Instituto de Postdam. Como Carl Friedrich Gauss, Jacobi pudo haber logrado una gran reputación en filología, si no le hubieran atraído más fuertemente las matemáticas. Habiendo observado que Jacobi tenía genio en este campo, el maestro Heinrich Bauer dejó que trabajara como quisiera, después de una prolongada discusión en la que Jacobi se reveló, negándose a aprender matemáticas de memoria y siguiendo reglas de aprendizaje.
El desarrollo matemático de Jacobi ofrece en ciertos respectos un curioso paralelo con el de su gran rival, Niels Henrik Abel. Jacobi también leía a los maestros; las obras de Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange le enseñaron álgebra y cálculo y le hicieron conocer la teoría de números. Esta precoz autoinstrucción iba a dar como resultado la primera obra sobresaliente de Jacobi, sobre funciones elípticas. Por su aguda capacidad para tratar problemas de álgebra, Euler y Jacobi no han tenido rival, como no sea el genio matemático hindú Srinivasa Ramanujan, en el siglo XX. Abel también trataba las fórmulas como un maestro, cuando así deseaba, pero su genio fue más filosófico, menos formal que el de Jacobi.
Los estudios de Jacobi en Berlín duraron desde abril de 1821 hasta mayo de 1825. Durante los primeros dos años dedicó su tiempo igualmente a la filosofía, a la filología y a las matemáticas. En el seminario filológico atrajo la atención de Auguste Boeckh, un renombrado humanista que había publicado, entre otras obras, una excelente edición de
Píndaro. Pero Boeckh, felizmente para las matemáticas,
fue incapaz de atraer a su notable discípulo a los estudios clásicos para que constituyeran la disciplina de toda su vida. En matemáticas poco era lo que se ofrecía para un estudiante ambicioso, y Jacobi continuó su estudio privado de maestros, pues las conferencias universitarias de temas matemáticos eran consideradas por él como pura charlatanería.
Después de obtener su título Jacobi pronunció conferencias en la Universidad de Berlín sobre las aplicaciones del cálculo a las superficies curvas y a las curvas alabeadas. Más tarde, cuando comenzó a desarrollar sus propias ideas con una velocidad sorprendente, llegó a ser el maestro matemático más inspirado de su época. Su talento como maestro le aseguró una posición en la Universidad de Königsberg, en 1826, después de haber permanecido durante seis meses en un cargo semejante en la de Berlín. Un año más tarde, algunos resultados que publicó sobre la teoría de números provocaron la admiración de Gauss. Como éste no era un hombre que se emocionara fácilmente, el Ministro de Educación pronto tuvo conocimiento de la obra de Jacobi, y lo puso a la cabeza de sus colegas para el cargo de profesor asistente, cuando tenía 23 años. Como es natural, los pretendientes a la plaza protestaron contra el ascenso, pero dos años más tarde, en 1829, cuando Jacobi publicó su primera obra maestra, Nuevos fundamentos de la teoría
de las funciones elípticas, fueron los primeros en decir que
se había hecho justicia y felicitaron a su brillante y joven colega.
1 1 · adj( ) A A A − = 10 16 10 1 6 6 6 . 78 26 13 13 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢− ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ Observación
Podemos verificar, en un caso tan sencillo como el propuesto, el alto número de
operaciones y de procesos que requiere la determinación de la inversa por medio
de la fórmula. En consecuencia, cuando el objetivo es básicamente el resultado numérico, indudablemente el camino a seguir es la aplicación del algoritmo de re- ducción de Gauss-Jordan.
13.2 La función determinante y sus relaciones con la
determinación del conjunto solución de un S.E. L.
(n,n)Analicemos, por último, una aplicación de la función determinante dirigida a la deteminación del conjunto solución de un S.E.L.(n, n), conocido como la regla de Cramer.