4. Cost-Benefit Analysis
4.2.2. Electricity Consumption Data
Dados dos sucesos A y B, la probabilidad condicional de A dado B es la cantidad definida como
(1.14) P(A | B) = P(A ∩ B)
P(B) ,
siempre y cuando P(B) > 0. Esta cantidad representa la posibilidad del suceso A
cuando se tiene la certeza que el suceso B ha ocurrido en el experimento. La defini- ci´on resulta natural de la interpretaci´on frecuentista de probabilidades: si el mismo
experimento se repitiera un n´umero grande n de veces, entonces el suceso B debiera ocurrir alrededor de n· P(B) veces, mientras que el suceso (A ∩ B) debiera ocurrir alrededor de n· P(A ∩ B) veces. En particular, la fracci´on de veces que esperamos que A ocurra cada vez que B ocurre est´a dada por la raz´on
n· P(A ∩ B) n· P(B) =
P(A ∩ B)
P(B) .
La probabilidad condicional de A dado B representa, por lo tanto, la fracci´on de
experimentos en los que esperamos que el suceso A ocurra, cuando s´olo consideramos aquellos experimentos donde B ocurrir´a.
Ejemplo 1.6. Si en un cierto experimento los sucesos A y B ocurren simult´aneamente 1 de cada 13 veces, mientras que B ocurre 4 de cada 13 veces, entonces la posibilidad de A cuando B ocurre est´a dada por la probabilidad condicional
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B) = 1/13
4/13=
1 4.
Una situaci´on espec´ıfica del caso anterior, es el experimento donde se escoge una carta al azar de una baraja inglesa y los sucesos A=“la pinta de la carta es tr´ebol” y B=“el n´umero de la carta es A, J, Q o K”. Es intuitivamente claro que la pinta de la carta escogida ser´a tr´ebol s´olo 1 entre 4 veces que ´esta tenga marcado el n´umero A, J, Q o K. ¡El c´alculo anterior corrobora esta intuici´on!
Ejemplo 1.7. Para fijar ideas considere el experimento que consiste en lanzar un dado equilibrado y los sucesos
A = “la cara lanzada es un n´umero par”,
B = “la cara lanzada es menor o igual a cinco”.
ClaramenteP(A) = 1/2, debido a que s´olo tres de las seis caras del dado son n´umeros
pares. Veremos, sin embargo, queP(A | B) = 2/5; en particular, A es menos probable
cuando B ha sucedido. Una manera intuitiva de ver que ´este es el caso, es notar que
s´olo dos de las caras menores o iguales a cinco son pares. Como ninguna de estas
cinco caras es m´as probable que otra, la posibilidad de A cuando sabemos que la cara lanzada es menor o igual a cinco debiera ser 2/5. Esta intuici´on es consistente con la definici´on dada. De hecho observe que (A∩ B) = {2, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5}. En particular, tenemos que
P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) = 2/6 5/6 = 2 5. Dados dos sucesos A y B tales queP(B) > 0, observe que
(1.15) P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B).
Usaremos esta identidad a menudo para determinar la probabilidad que A y B ocurran simult´aneamente.
Ejemplo 1.8. Si en un cierto experimento el suceso A tiene una chance de un 60 % y, entre las veces que A ocurre, el suceso B tambi´en ocurre el 10 % de las veces, ¿cu´al es la probabilidad que A y B ocurran simult´aneamente? De acuerdo a la informaci´on
dada P(A) = 0,6 y P(B | A) = 0,1. En particular, la respuesta a la pregunta viene
dada por
P(A ∩ B) = P(B | A) · P(A) = 0,1 · 0,6 = 0,06.
La identidad en (1.15) resulta particularmente ´util en combinaci´on con la F´ormula de Probabilidades Totales (Teorema 1.3): si A1, . . . , An son sucesos disjuntos, cada
uno con una probabilidad estrictamente positiva, y Ω = ∪n
i=1Ai entonces para todo
suceso A aplica que
(1.16) P(A) =
n
i=1
P(A | Ai)· P(Ai).
Ejemplo 1.9. Considere tres monedas que se ven id´enticas, sin embargo, s´olo una de ellas es equilibrada, mientras que las otras dos tienen probabilidad 47/100 y 51/100 de salir cara, respectivamente. Al tirar una de estas monedas, ¿cu´al es la probabilidad que la moneda salga cara?
En lo que sigue hablaremos de la moneda 1, 2 y 3, donde la moneda 1 es la que tiene la menor probabilidad de cara y la 3, la mayor. Este experimento consiste
de dos partes: escoger una moneda y luego tirarla. Denotaremos como Ai el suceso
“la i-´esima moneda fue escogida”. Como las monedas son visualmente id´enticas, es razonable definirP(Ai) = 1/3.
Por otro lado, si A denota el suceso “la moneda tirada sali´o cara” entonces la
probabilidad de este suceso usando la moneda 1 es 47/100 i.e. P(A | A1) = 47/100.
Similarmente tenemos queP(A | A2) = 1/2 yP(A | A3) = 51/100.
Sea cual sea el espacio muestral escogido para este experimento, observe que Ω= (A1∪ A2∪ A3). Como estos tres sucesos son disjuntos, la F´ormula de Probabilidades Totales dada en (1.16) implica que
P(A) = P(A | A1)· P(A1) +P(A | A2)· P(A2) +P(A | A3)· P(A3),
= 47/100· 1/3 + 1/2 · 1/3 + 51/100 · 1/3 = 37/75.
Imagine que al tirar la moneda ´esta sali´o cara, ¿cu´al es la probabilidad que la moneda 1 haya sido la tirada? La respuesta no es 1/3 ya que si la moneda sale
cara, la moneda 1 es la menos probable entre las tres. La respuesta es de hecho la probabilidad condicional P(A1| A), la cual viene dada por
P(A1| A) = P(AP(A)1∩ A) =P(A | AP(A)1)· P(A1) = 47/10037/75· 1/3 =14847 ≈ 31,7 %,
donde para la segunda identidad hemos usado (1.15).
Para motivar la siguiente definici´on ser´a instructivo considerar un ejemplo simple. Considere el experimento donde se lanza un dado equilibrado y los sucesos
A = “la cara lanzada es un n´umero impar”,
B = “la cara lanzada es mayor o igual a tres”.
Observe que
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B) =2/6
4/6 =
1 2.
ComoP(A) = 1/2, vemos que P(A | B) = P(A) i.e. la posibilidad de A no aumenta ni
independientes. Usando la identidad en (1.15), esto equivale a decir queP(A ∩ B) = P(A) · P(B). Este tipo de identidad motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 1.4. Dados dos sucesos A y B, diremos que son independientes cuando P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Es casi directo ver que lo anterior es equivalente a tener que P(A | B) = P(A),
cuandoP(B) > 0, o tambi´en que P(B | A) = P(B), cuando P(A) > 0. En palabras: dos
sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no cambia (i.e. no aumenta ni disminuye) la posibilidad del otro. Para fijar ideas consideraremos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.10. Considere el experimento donde se escoge una carta al azar de una baraja inglesa y los sucesos
A = “el n´umero de la carta es 10, J, Q, K o A”,
B = “la pinta de la carta es coraz´on”.
Claramente P(A) = 5/13, P(B) = 1/4 y P(A ∩ B) = 5/52; en particular, P(A) · P(B)
es igual aP(A ∩ B) i.e. A y B son independientes.
Ejemplo 1.11. Imagine que usted lanza una moneda equilibrada tres veces. ¿Son
independientes los siguientes sucesos?
A = “la moneda sale cara en el primer lanzamiento”,
B = “los resultados de los tres lanzamientos son id´enticos”.
Observe que los ocho resultados posibles para este experimento son igualmente
probables. En particular, como el suceso (A∩ B) consiste de un ´unico resultado,
P(A ∩ B) = 1/8. Similarmente, se tiene que P(A) = 1/2 y P(B) = 1/4. Por lo tanto, P(A ∩ B) = 1/8 = 1/2 · 1/4 = P(A) · P(B), y concluimos que A y B son sucesos independientes.
Ejemplo 1.12. Imagine un juego basado en tres lanzamientos de una misma moneda equilibrada y que usted jugar´a con un amigo. Para comenzar, y antes que usted tire las monedas, su amigo tiene que apostar a un cierto suceso que tiene una probabilidad
exacta de 1/2 (e.g. que el primer lanzamiento saldr´a cara). Siguiendo esto, usted
tira a escondidas las monedas y est´a obligado a revelar algo no obvio pero cierto, que observ´o en los lanzamientos. La gracia del juego es que, basado en lo que usted revela, su amigo tendr´a la opci´on de mantener su apuesta o cambiarla por lo completamente opuesto. Usted gana el round si la opci´on final de su amigo es incorrecta. ¿Cu´al es una buena estrategia para usted en este juego?
Para fijar ideas, suponga que su amigo apuesta al suceso
A = “la moneda saldr´a cara en el primer lanzamiento”.
Intuitivamente, cualquier afirmaci´on acerca del segundo o tercer lanzamiento debie- ra ser independiente de A. As´ı, por ejemplo, si al tirar las monedas usted obtiene (cara, cara, cara) entonces usted podr´ıa revelar a su amigo la ocurrencia del suceso
¡Usted no estar´a entonces dando ninguna informaci´on ´util a su amigo! De hecho, si Ω ={(x, y, z) : x, y, z ∈ {cara, sello}} entonces el suceso (A ∩ B) consta de s´olo dos resultados, mientras que B consta de cuatro. Como los ocho elementos de Ω debieran ser igualmente probables, obtenemos que:
P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) = 2/8 4/8 = 1 2 =P(A).