G ENERIC AND SAMPLE SPECIFIC MODES

El hecho de no haber desarrollado la segunda y tercera partes del taller de la manera prevista, nos impide hacer un balance crítico de éstas. Sin embargo, como la primera parte sí se desarrolló de manera bastante aproxi- mada a como se había planeado nos ofrece la posibilidad de hacer tal balance.

Figura Nº 11. Aumentos o disminuciones proporcionales para generar rectángulos semejantes

a b a + x b + y x y

Al respecto de la tarea del literal a, consideramos que fue una decisión acertada entregar una a una las figuras, pues así no se anticiparon problemas que subyacen a la construcción de figuras con condiciones diferentes; habría sido conveniente anunciarles qué cantidad de figuras se iban a entregar para generar más consciencia de la limitación impuesta por el tiempo disponible. También fue acertado el orden de entrega de las figuras pues implicó, como se tenía previsto, la aparición de nuevos problemas y el cuestionamiento de las estrategias utilizadas.

De otra parte, vemos necesario considerar la pertinencia de algunos cambios de distinta índole. Por ejemplo, entre los instrumentos disponibles se deberían incluir calculadoras para agilizar la realización de los posibles cálculos. Otro asunto sobre el que aún no tenemos total claridad, se refiere a la conveniencia de cambiar algunas figuras: presentar un triángulo que no sea rectángulo y un rectángulo para el cual la diferencia entre las longitudes de los lados adyacentes sea mayor. Un tercer cambio tiene que ver con la idea de incluir una tarea inicial, a través de la cual se pueda generar una re- flexión y discusión acerca de la idea de semejanza que tienen los profesores antes de realizar las tareas de construcción y justificación.

Con respecto a la tarea propuesta en el literal b, logramos advertir que el proceso de escribir con detalle los pasos de la construcción de las figuras se- mejantes, ayudó a que los profesores vieran los supuestos tácitos que habían hecho y la necesidad de explicitarlos y comprobarlos; adicionalmente, este proceso contribuyó a que utilizaran un lenguaje matemático más cuidadoso para expresar sus realizaciones —e incluso a emplear notaciones y lenguaje algebraico—, siendo más precisos en el uso de los términos. Sin embargo, durante la implementación no logramos que este proceso se realizara para todas las figuras abordadas con lo cual suponemos que se perdió en preci- sión y concreción respecto de los procesos empleados para es resto de las figuras. Además, la poca insistencia de nuestra parte en que se describieran los procedimientos limitó las posibilidades de que los profesores a través de éstos pudieran reconocer que hay al menos dos ideas de semejanza (como transformación geométrica y como relación entre figuras geométricas) que pueden depender del tipo de estrategia usada; así por ejemplo, si la estrategia usada es la homotecia, la idea de semejanza que mejor se compagina es la de transformación geométrica.

Definitivamente, consideramos que la tarea de justificación, presentada en el literal c, fue y es medular. Desde nuestra perspectiva de lo sucedido, pensamos que la justificación no constituye en sí misma un objetivo del ta- ller sino más bien un medio a través del cual se logran cuestionar las condi- ciones de semejanza, se exige y promueve la comprobación de la satisfacción de éstas, y se gana en consciencia sobre el carácter necesario y suficientes de tales condiciones.

Finalmente, debemos precisar que el taller, en su conjunto, no sugiere rumbos didácticos para la enseñanza de la semejanza; ésta no es su intención

general. No obstante, sí involucra una reflexión sobre el conocimiento ma- temático que constituye un insumo importantísimo a la hora en que los pro- fesores deban diseñar una propuesta didáctica para promover el aprendizaje de la semejanza en los cursos de geometría de sus instituciones escolares.

C

En primer lugar, el tiempo estimado para el desarrollo de cada una de las partes del taller fue bastante reducido en comparación con el tiempo empleado. Este hecho puede justificarse parcialmente en que estimamos el tiempo requerido sobre la base del tiempo empleado por nosotros para resolverlo trabajando de manera individual y no en grupo, lo cual no permi- tió que hubiese espacio para la discusión o conversación con otros, ni para que cada quien presentara su(s) estrategia(s) empleada(s) a los demás, cir- cunstancias que sí se dieron en la implementación del taller con los profe- sores y que tomaron un tiempo considerable. Por otro lado, la no presencia de un observador que cuestionara los resultados del trabajo, mientras resol- víamos el taller, disminuyó la posibilidad de generar una revisión de las estrategias, las justificaciones, las construcciones, etc. También, la diferen- cia entre los tiempos estimados y empleados pudo deberse a que en algunas partes del taller los profesores dirigieron su atención a aspectos secundarios o marginales del trabajo (v.g., la insistencia de construir a través de una rotación, una figura congruente a la figura semejante ya construida), o a la realización de cálculos aritméticos sin recurrir a la calculadora. En conse- cuencia, reconocemos que para una próxima implementación debemos pre- ver un tiempo mayor para el desarrollo del taller, hacer la previsión con base en una implementación que contemple la actividad de grupo, así como estar atentos a reorientar la actividad de los profesores cuando advirtamos que se ocupan de aspectos no centrales para el taller; con respecto a esto último, creemos conveniente anticipar tales aspectos y disponer de poten- ciales reacciones para reencauzar el trabajo.

En segundo lugar, debemos referirnos a nuestra actuación en la imple- mentación del taller. En nuestra condición de observadores del desarrollo del taller en repetidas oportunidades tuvimos duda acerca de si hacer o no intervenciones ante el trabajo de los profesores (v.g., presentar una pregunta, expresar un comentario en favor o en contra, establecer una respuesta alter- nativa, realizar una acción o expresión de aceptación o rechazo, etc.). Estas dudas pueden explicarse de diferente manera. De un lado, reconocemos que el papel de observador genera ciertas restricciones a la intervención, pues es evidente que cualquier intervención modifica y condiciona la actuación na- tural de los profesores, aspecto que interesa observar. De otro lado, es tam- bién claro que a pesar de que en la etapa de diseño hayamos realizado un estudio y reconceptualización de la semejanza geométrica, no siempre nos sentimos suficientemente seguros con el conocimiento geométrico alcanza- do, ni siempre el conocimiento didáctico logrado por la reflexión y actuar

docente tiene un nivel tal que garantice que las intervenciones efectivamente beneficiarán el aprendizaje de los profesores que abordan el taller. Un tercer aspecto a considerar es precisamente el hecho de que estamos convencidos de que cada quien logra una apropiación específica de las intenciones del ta- ller y que a pesar de haber comentado y discutido tales intenciones, queda la duda de si las intervenciones favorecerán el logro de dichas intenciones. Un último aspecto tiene que ver con la anticipación de respuestas; si bien, como se puede evidenciar en este documento, habíamos previsto varias respuestas de los profesores a las diferentes tareas propuestas en el taller, no explicita- mos las reacciones posibles y potencialmente convenientes que a modo de guión nos ofrecieran un marco de acción reflexionado con anterioridad.

Para una próxima implementación del taller, si bien contamos con la ex- periencia brindada por la implementación objeto de este artículo, creemos necesario explicitar de manera más precisa las intenciones de aprendizaje del taller y las reacciones posibles de los observadores (tales como comen- tarios, preguntas, ejemplos, contraejemplos, enunciados matemáticos, etc.). De otra parte, sentimos la necesidad de expresar nuestra reflexión sobre la plenaria. Consideramos que ésta constituyó fundamentalmente un espacio de socialización del trabajo realizado, pero no constituyó un espacio para institucionalizar y construir una consciencia colectiva al respecto del trabajo elaborado. Si bien en la plenaria se presentaron los procedimientos emplea- dos para construir las figuras semejantes y se reprodujeron los argumentos que podrían sustentar la existencia de semejanza entre las figuras —aspectos importantes en el taller—, no se abordó con profundidad la discusión en tor- no a otros aspectos no menos importantes. Por ejemplo, no se realizó una re- flexión sobre el concepto de “forma” y sobre la posibilidad y limitación de establecer una relación de la semejanza geométrica —en tanto concepto ma- temático— con éste. Tampoco se abordaron con detalle las diferencias esen- ciales entre las diferentes estrategias de construcción utilizadas ni las reelaboraciones con respecto a la definición de semejanza que los profesores habían logrado en el desarrollo del taller. Lo anterior se pudo deber a la li- mitación del tiempo, a la decisión de cambiar la estrategia de trabajo en la segunda y tercera parte del taller y a la consecuente poca preparación de la plenaria bajo estas nuevas condiciones. A pesar de esta mirada crítica a lo efectivamente realizado en la plenaria, tenemos la percepción de que las ac- ciones y discusiones desarrolladas sí contribuyeron a ganar consciencia en cada uno de los profesores asistentes; de hecho creemos que quienes no asis- tieron a ésta quedaron a menos de la mitad de camino en la reflexión y re- elaboración en torno a la semejanza geométrica.