Resulta deseable que las ideas o métodos matemáticos, necesarios en un punto particular de otra asignatura, aparezcan algún tiempo antes en eí aula de matemáticas. Recibir una receta de los profesores de otras asignaturas en el momento de usar una técnica matemática va en detrimento de la comprensión del alumno. No sólo es probable que no entiendan la técnica cuando es introducida en otra asignatura sino que, cuando sea desarrollada más tarde en matemáticas, las anteriores experiencias del alumno les causarán considera- bies dificultades de aprendizaje.
Los problemas originados por la falta de coordinación de lus programas no deben ser subestimados. Las asignaturas individuales tienen su propio curso separado y su propio diseño de programa. En matemáticas, en particular, los profesores no desean introducir temas fuera de su secuencia jerárquica o lógica simplemente porque las ciencias, por ejemplo, hayan adoptado un orden particular. Sin embargo* con una buena relación interdepartamenul y acritudes ade- cuadas se pueden conseguir progresos en todos los aspectos, aunque un acuerdo completo sobre el dominio completo de asignaturas escolares pueda parecer imposible.
Jasmine Denyer, en su libro Mathematics Across the Curtí-
cttlumxy detalla dos estudios sobre esta cuestión; se pueden
encontrar otros en la revista Mathematics for Schools* publicado por la Mathematical Association* volumen 10, números 3, 4, 5 y volumen 11, números 1-5 desde mayo de 1981 en adelante. Estos artículos contienen estudios sobre 100 escuelas, propuestas de cooperación interdepartamental y una extensa bibliografía.
El acuerdo sobre la coordinación de programas debe ir de la mano con ei tratamiento de los temas para asegurar que la forma en que es utilizada una técnica matemática en otra asignatura no parecerá diferente de la forma en que se aprende en el aula de matemáticas. Por ejemplo, los alumnos pueden estar acostumbrados, en matemáticas, a usar la razón en la proporcionalidad directa, mientras que el profesor de geografía, por ejemplo, puede realizar sus cálculos a través de la proporción. Puede evitar cualquier método relaciona! recu- rriendo a Ja mnemotecnia como en el siguiente caso:
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Cütfocih * Denyer, J. 19#4: Matbetnacia Across the Curricwlum* LotignianíSchooljpara dar los cálculos distancia* velocidad-tiempo. El uso de tal diagrama puede llevar al alumno, en su esfuerzo por recordar dónde va cada letra, a perder todo lo que había entendido de las relaciones matemáticas entre distancia, velocidad y tiempo. Un segundo ejemplo sería el de las ecuaciones y fórmulas que se encuentran en ciencias. Pueden presentarse de forma diferente a como se presentan en matemáticas. No sólo son utilizadas letras inhabituales como V, P, A —en contraste con las xs e ys tan comunes en matemáticas— sino que tales
letras presentan ya un significado; por ejemplo» V representa el voltaje, V el peso y A la altura. Consecuentemente, tienen unidades relacionadas con ellas. Esto les puede parecer a los alumnos muy diferente de las variables sin dimensión típicas en la clase de matemáticas. Estos (y otros) aspectos de las fórmulas serán discutidos más adelante en el Capítulo 10.
O t r o tema que deja claras las diferencias entre los enfoques escolares de las matemáticas y otras asignaturas son los
icos* En matemáticas, normalmente los gráficos tienen una variable independiente (usualmente denotada por x) sobre el eje horizontal y una variable dependiente (denotada por y) sobre el eje vertical. En otras áreas de! curriculum los gráficos pueden estar orientados de forma diferente y sólo raramente etiquetados (si alguna vez) como ejes x e y* Las gráficas en la clase de matemáticas tienden a comenzar los ejes en la escala 0; en otras asignaturas los ejes pueden muy bien no empezar en 0.
No se puede afirmar que el resto del mundo educativo se equivoca en !o que los profesores de matemáticas ven como una notación habitual. Por ello, estos últimos deben prestar atención a las formas en que aparecen las ideas matemáticas en otras asignaturas y familiarizar a sus alumnos con ellas. A este respecto, muchos profesores de matemáticas tienen un punto de vista demasiado estricto en lo que se refiere a la corrección de una fonna matemática. No existe nada inmutable, por ejemplo, en cómo deben ser dibujados los ejes coordenados —es una simple cuestión de gusto y conveniencia* Por otra parte, los profesores de matemáticas tienen la responsabilidad de asegurarse de que los profesores de otras asignaturas usan con exactitud la notación matemática.
En este punto surge la necesidad de una revisión constante. Cuando hay un buen acuerdo en la coordinación de los programas, se puede dar un tema particular en matemáticas algún tiempo antes de que se le necesite en otra asignatura. Si transcurre más de una semana* quizá no se recuerde bien dicho tema. Tales situaciones deben identificarse y tomarse en cuenta cuando se planifican los programas del departamento de matemáticas. De esta forma, un profesor de matemáticas
será capaz de recordar a sus alumnos las ideas y los métodos U FNSIIÍANZA ut
necesarios poco antes de que aparezcan en otra asignatura, L-UNATIHÁTICU La cuestión se complicaría i\ no todos los alumnos de
matemáticas lo son de la otra asignatura. En tal caso, $e puede invitar a un profesor de matemáticas desde el departa- mento de b otra asignatura para que efectúe la necesaria revisión y refuerzo de los alumnos. Alternativamente, el departamento de matemáticas puede comunicar a los profesores de la otra asignatura el fundamento matemático y el nivel de conocimientos que se espera de sus alumnos (ver Sección ?), Donde existe buena voluntad y una relación eficaz son posibles estos y oíros aspectos de la cooperación inierdepar- tamental.
2, Actitudes de lo* profesores de oirás asignaturas hacia
las matemáticas
Esta es una cuestión más delicada ya que depende de la actitud hacia las matemáticas antes que de la organización. Muchos profesores de ciencias y geografía admitirían abierta- mente que tienen una perspectiva de *caja negra- respecto de ¡as matemáticas se meten los datos en ella, se da al botón y se esperan los resultados. Lo que sucede dentro de la caja es irrclevante y no interesa. Ahora bien, aunque esto resulte razonable para un profesional que desea hacer uso de las matemáticas en su propio trabajo, es insatisíactorio en el contexto de la educación total de un niño. Un profesor de ciencias o de geografía tienen la responsabilidad de asegurarse de que las matemáticas que usa en el contexto de su propia asignatura, lo son de una forma que ios alumnos puedan comprender. Ciertamente, ello significará que debe discutir con sus colegas de matemáticas el uso que se propone dar, buscar su consejo observando lo que sus alumnos conocen y son capaces de hacer. Ha de reforzar la comprensión del alumnado respecto de las matemáticas permitiéndoles que el trabajo que realizan en la clase de matemáticas sea aplicado al estudio de su propia asignatura para obtener resultados. Haciéndolo as¡ puede jugar un importante papel reduciendo la ansiedad y la tensión de sus alumnos hacia las matemáticas. Este punto está expuesto de forma interesante en el libro mencionado antes Mathematics ACTOÍS the Curriculum de
jasmine Denyer donde* en una sección de propuestas generales, formula diez puntos, cuatro de los cuales se relacionan con la necesidad de los profesores de otras asignaturas, así como los de matemáticas, de tener una actitud positiva hacia esta ciencia y, en tanto sea posible, fomentar en sus alumnos el
MATEMÁTICAS * gusto por las matemáticas. Algunos de los puntos más TRAvtsori, sobresalientes son los siguientes:
CUtUUCULUH
a) La necesidad matemática más importante para la vida adulta es tener suficiente confianza para hacer un uso eficaz de las destrezas y conocimientos matemáticos que se posean,
b) El departamento de matemática* debe ver en otras asignaturas la oportunidad de poner en práctica las destrezas matemáticas y, debido a ello, incrementar la
motivación del alumnado. ¿ c) Es importante fomentar actitudes positivas hacia las
matemáticas. Deben buscarse oportunidades para integrar los ejercicios matemáticos en tixlas las asignaturas, y los profesores de éstas últimas no deben evitar las matemáticas.
d) Los profesores que no sean de matemáticas y que no estén seguros de los métodos actuales de su enseñanza deben ser invitados a acercarse al departamento de matemáticas.
Es necesario aquí lucer una mención más. Los profesores de otras asignaturas, como les sucede a los de matemáticas, pueden no apreciar todas las dificultades de aprendizaje que los niños tienen en su asignatura. Si un alumno no entiende completamente un concepto o un procedimiento en. por ejemplo, geografía, el intento de utilizar las matemáticas en este contexto auméntala su confusión. Si no entiende total- mente el coeficiente de expansión (o lo que es un coeficiente) en física, difícilmente se aplicará la aritmética decimal (bastante compleja) al cálculo de tales coeficientes. Así, antes de introducir ias matemáticas en un tema, el profesor de otra área debe asegurarse de que sus alumnos comprenden bien las matemáticas necesarias.
3. Actitud de los profesores de matemáticas hacia otras
asignaturas
Un énfasis excesivo en la enseñanza de destrezas, aprendi- zaje rutinario y práctica con ejemplos puramente mecánicos, no sólo tiene efectos desafortunados sobre la comprensión de :os alumnos en matemáticas, sino que puede proporcionarles considerables dificultades cuando se les requiera el uso de las matemáticas en otra parte del curriculum. Los profesores de matemáticas tienen que conocer la forma en que se pueden usar las matemáticas y, como ya se ha dicho, familiarizar a sus alumnos con las aplicaciones a otras asignaturas. Esto también
ayudará a incrementar la importancia de las matemáticas- Para I-A ENSEÑANZADE muchos alumnos, las matemáticas como un fin en sí mismas IAS MATEMÁTICAS no son apropiadas; muchos profesores pueden indicar aplicacio-
nes que será probable que permitan un aumento en el interés en su asignatura.
Uno puede pensar que tales consejos son evidentes por sí mismos pero, desafortunadamente, la experiencia muestra que no es así.
Una extensa investigación sobre las formas en que las matemáticas son utilizadas en orras asignaturas fue llevada a cabo en Glasgow, Escocia, entre 1977 y 1980. Bajo los auspicios del National Committee on Mathematics for the
Less Able se estableció un subgrupo con el siguiente objetivo: -«Establecer bs formas en que los alumnos que tienen dificultades con las matemáticas pueden ser ayudados a través de relaciones con otras asignaturas-*
El informe final del subgrupo incluye un examen del contenido matemático en todas las asignaturas de la educación secundaria, poniendo el énfasis en el trabajo realizado con los menos capacitados y en referencia a los primeros dos años de educación secundaria escocesa (12*13 anos)- Con todo ello, el informe» Learning Difficulties ir: Mádyernatics Sí y S2*> publi- cado por el Scottisch Curriculum Development Service, con- tiene una gran riqueza de información respecto del uso de las matemáticas en otras asignaturas. A partir de una de las secciones de conclusiones, citamos lo siguiente;
La ocurrencia de las matemáticas (en otras asignaturas)
1. Es intermitente e imprevista-,, requiriendo un recuerdo instantáneo y uoa re-orientación por pane del alumno.
2. Surge en contextos no familiares-, donde se supone la
habilidad para aplicar el conocimiento.
3- Precisa inmediatamente la re-orientación y el recuerdo— que son funciones de una alta capacidad intelectual.
4. Da salida a situaciones:
a) que implican frecuentemente técnicas que no han sido introducidas (o no todavía) ni enseñadas por el departa- mento de matemáticas,., debido a la ausencia de una relación ¡mercurricular.
b) que raramente dependen de destrezas básicas.-, sino mejor de su aplicación, apreciación y'o extensión.
2 Scottisch Curriculum Development Service 1980: Learning Difficulties
t ^fi *** Mathematics St asta $2 - Does every teachw teach mathematics? Scottisch i jl) Curriculum Development Service, Dundee College of Education.
Hemos discutido antes su relación con otras asignaturas y el hecho de que no existe habitualmente unacoordinación
preliminar. La técnica matemática que se requiere puede que no haya sido utilizada por el alumno desde hace bastante tiempo. Como ya se ha mencionado, los profesores de matemáticas deben repasar con sus alumnos las ideas y métodos necesarios. La cita numerada como 4 b) indica también la necesidad dr un sentido numérico genuino.
Concluimos este capítulo con algunas ilustraciones especf*
ficas de las dificultades que atraviesan ios alumnos al usar las
matemáticas en otras áreas del curriculum. Se han extraído de una selección de preguntas de examen y son incluidas para atraer la atención hacia los caminos irreales por ios que se pueden usar ¡as matemáticas y los problemas que surgen de aplicar en otras áreas curnculares las destrezas aprendidas en
la clase de matemáticas.
La primera proviene del ejercicio CSE en economía. 1 Número de Número de Número de
paradas trabajadores días de trabajo implicados perdidos Huelga oficial 82 84-700 643-000 Huelga no oficial 2.125 663-300 1.85/.OCO
a) ¿Cuál ha sido el tipo más frecuente de huelga durante estos años?
b) Explicar la diferencia entre los dos tipos de huelga.
c> ¿Cuántos hombres, por término medio, estaban implicados en cada huelga oficial?
d) Del total de días de trabajo perdidos por huelgas, ¿qué proporción se perdió a causa de bs huelgas no oficiales? Las cuestiones c) y d) no son sólo difíciles sino que además muestran la ausencia de conocimiento sobre puntos importantes concernientes al manejo de los datos matemáticos.
En la pregunta c) ¿qué respuesta se puede esperar del cálculo 84-700 + 82? ¿Es 1.000 una buena respuesta (obtenida por una acertada aproximación) o es mala (no bastante exacta)? ¿Es 1.032,9268 una buena respuesta o es una solución ridicula en esre contexto? ¿Es 1.033 la mejor respuesta aquí? Los autores de esta pregunta pueden tener una regla general acerca de la aproximación, adoptada por el tribunal de examen. No obstante, fa pregunta, que es s i n duda simple en
términos de interpretación general, requiere un entendimiento claro de los conceptos de media y estimación.
De igual forma, en la parte d) la idea de proporción resulta difícil a este nivel. Encierra más dificultades cuando
se ha realizado un cálculo previo para obtener el número total de días perdidos- Como en la parte c) ¿conocerán los examinadores las formas diferentes en que se puede expresar la respuesta? Quizá nuevamente tengan reglas generales que cubran la situación, pero las demandas matemáticas de !a cuestión (d) parecen desproporcionadamente más duras que la interpretación general.
LA ENSEÑANZA DE