Examples

Las características del computador en el cual se realizaron las pruebas de funcionamiento de la aplicación (Algoritmo Multicapa) se muestran a continuación:

 Sistema Operativo: Windows 7.

 Procesador: Intel

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 RAM: 3 GB.

 Tipo de sistema: Sistema operativo de 64-bit.

 Con Matlab R2009a instalado o versiones posteriores y con todas las librerías activadas.

4. DESARROLLOS

En esa sección se explicarán los procedimientos que se realizaron para llegar a la solución del ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL ITO a partir de sus espectros de transmisión y reflexión, explicando las restricciones y consideraciones que se tuvieron para cada etapa del proyecto. El proyecto comprende las siguientes etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en cuenta: INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, ANDI N, ANDI K, ANDI INICIO - FIN N, ANDI INICIO - FIN K y por último SOLUCIÓN, es decir, las gráficas de las constantes ópticas halladas y los espectros ajustados (fitted) en función de la longitud de onda. Es importante recordar, que con la medición de referencia (ITO) se pretende ver la aproximación (exactitud) en cuanto a la estimación de los parámetros a hallar; sin embargo, medir la precisión del algoritmo no está al alcance del presente trabajo ya que para cada material orgánico sus constantes ópticas son diferentes, y más aún, determinar la exactitud y precisión del presente material orgánico (MDMO-PPV) del cual no existe documentos que reporten el comportamiento de las constantes ópticas de dicho material orgánico.

El algoritmo debe proporcionar un “ buen” grado de aproximación a la hora de evaluar dichas constantes

ópticas, las cuales serán determinadas luego de un determinado número de iteraciones sobre la misma medición de referencia, comprobando que en cada una de esas iteraciones los valores calculados de las constantes ópticas se acerquen a los valores esperados de la medida inicial. Una vez se alcance un grado de “aproximación alta” con la medida de referencia, se podrán hallar las constantes ópticas del material orgánico que nos interesa, la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV; proceso que se estudia con más detalle en el siguiente capítulo.

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS

A partir de esta etapa, se inicia un proceso de ingeniería inversa, es decir, que a partir de sus espectros de transmisión y reflexión se deben encontrar de forma aproximada las constantes ópticas de la película delgada semiconductora ITO, tal como se muestra en la figura 4.1. En esta etapa se procedió a realizar la extracción de los espectros de transmisión y reflexión a partir de las constantes ópticas de la película semiconductora ITO, según [30]. Entonces, usando el método de interpolación polinomial (modelar un conjunto de datos a una función polinómica) [31], se modelaron los datos de las constantes ópticas del ITO en función de la longitud de onda por medio de dos ecuaciones, la del índice de refracción y el coeficiente de extinción. Una vez modelado los “datos experimentales”, según [30], se elabora el programa (Delta.m) en MATLAB (ver anexo F), el cual halla los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda, a partir de sus constantes ópticas, ver figura 4.1.

El programa (Delta.m) está compuesto por: el método numérico Multicapa y los datos conocidos por el usuario, tales como: espesores del sustrato y la película; constantes ópticas del sustrato y la película; datos inicio – fin de la variable incremento de la longitud de onda; además, de las ecuaciones (índice de refracción y coeficiente de extinción) y sus respectivas constantes que se obtuvieron al utilizar interpolación polinomial.

Finalmente, procedemos a interconectar los elementos de nuestro sistema de la siguiente manera

Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la película delgada a partir de sus espectros de transmisión y reflexión.

Por lo tanto, el proyecto comprende etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en cuenta: INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, indeterminaciones de N y K y finalmente, SOLUCIÓN. El esquemático final del algoritmo Multicapa se muestra en el anexo G.

4.2 INICIO

Para este desarrollo se comienza con la etapa INICIO; en esta fase es necesario definir las entradas al algoritmo, en este caso tenemos: los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en

función de la longitud de onda , los cuales ingresan al algoritmo como arreglos; además, datos tales

como: el espesor de la película; el espesor del sustrato; índice de refracción y coeficiente de extinción del sustrato; rango inicial y final del índice de refracción de la película; rango inicial y final del coeficiente de extinción de la película; paso del índice de refracción de la película, paso del coeficiente de extinción de la película, las interfaces simples de reflexión y transmisión del modelo matemático y la suma de los cuadrados de las constantes ópticas del sustrato.

Para tal propósito, se aplico en orden la siguiente notación en MATLAB: ONDA, TRA, REF, d_l, d_s, n_s, k_s, INICIAL_N, FINAL_N, INICIAL_K, FINAL_K, paso_nl, paso_kl, R_vs, T_vs , T_sv y suma1, respectivamente.

En cuanto a las salidas del sistema multicapa se encuentran las gráficas del índice de refracción, coeficiente de extinción, transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora. Estas cuatro salidas estarán presentes en cada una de las iteraciones del algoritmo, con el atenuante de que los resultados de la iteración inmediatamente posterior deben ser mejor que la anterior.

4.3 CÁLCULO

El diagrama de bloques general que representa este sistema, está definido por 5 entradas y una salida (anteriormente especificadas), vistas de esta manera:

Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO.

Teniendo en cuenta las tareas que el sistema debe realizar, y las señales con las que interactúa externamente (entradas y salidas), se puede distinguir 3 entidades principales:

4.3.1 Modelo Multicapa

En este bloque se aplica el modelo matemático Multicapa para las constantes ópticas de la película orgánica semiconductora, está definido por las mismas entradas que el bloque general CÁLCULO y tiene dos salidas: la salida TransmisionMulticapa, que es el valor teórico de la transmisión evaluado para cada longitud de onda; la salida ReflexionMulticapa, que será la salida teórica de la reflexión evaluado para cada longitud de onda.

Figura 4.4Esquema del bloque Modelo Multicapa.

4.3.2 Comparador

Esta entidad contrasta los datos teóricos versus datos experimentales y calcula las constantes ópticas simultáneamente. Esta entidad representa el control sobre el sistema e indica en qué momento debe actualizar la salida del sistema. Podemos observar que posee 5 entradas y 4 salidas.

Figura 4.5Esquema del bloque Comparador.

La entrada TransmisionMulticapa, representa los valores de transmisión teóricos calculados para cada longitud de onda; la entrada ReflexionMulticapa, indica los valores de reflexión teóricos calculados para cada longitud de onda; la entrada resta_trans, es un valor de diferencia entre el dato teórico y el dato experimental de la transmisión; la entrada resta_reflex, también es un valor de diferencia, pero en este

caso, entre los datos de reflexión teóricos – experimentales; luego, sumando las diferencias,

respectivamente, se asignan a una variable de control (maximo), con la cual, se compara, encuentra y se actualiza iterativamente las salidas del sistema, tales como: trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que representan los arreglos de salida de transmisión, reflexión y las constantes ópticas, respectivamente, calculadas por el algoritmo multicapa.

En la práctica, para encontrar las constantes ópticas a partir de las mediciones de los espectros de transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora, se adaptó el siguiente principio, según [13].

(4.1) Donde es la transmisión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras es la transmisión teórica en función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.

(4.2) Donde es la reflexión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras es la reflexión teórica en función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.

(4.3)

Finalmente, mediante la suma de y , se compara, encuentra y actualiza las salidas del sistema

para cada longitud de onda. Recordar, que este proceso es iterativo, y por lo tanto, el proceso anterior busca los datos teórico-experimentales de transmisión y reflexión que coinciden (o son cercanos) para cada longitud de onda; de tal forma, que a partir de esta condición, se puede encontrar las constantes ópticas de la película semiconductora; en otras palabras, encontrar la pareja de las constantes ópticas que ajusta (fit) teóricamente los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda. 4.3.3 Producto

Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque Comparador y los arreglos datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda . Podemos observar que posee 4 entradas y 6 salidas.

Figura 4.6 Esquema del bloque Producto.

Las entradas a la entidad Producto son las salidas del bloque Comparador y las salidas son las gráficas de los arreglos trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que representan la transmisión, reflexión y constantes ópticas calculadas por el algoritmo multicapa, respectivamente; además de los arreglos TRA, REF y

ONDA que indican los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda . Es necesario graficar estos últimos para verificar que el ajuste teórico (fit) entre los datos teórico-experimental de transmisión y reflexión coinciden.

4.4 DERIVADOR

Es la segunda iteración del algoritmo, en esta etapa se adaptó el criterio de la derivada, según [13]. En este caso, no se conoce la expresión analítica que define tales puntos (iteración CÁLCULO), tan solo se dispone de su valor en un conjunto de puntos o datos; por lo tanto, no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada (pues se desconoce la expresión de las funciones de las constantes ópticas). Surge así, la conveniencia de implementar una técnica de análisis numérico que permita aproximar el valor de las derivadas de una función a partir de los valores o datos de tal función.

Por definición, la derivada de una función es

(4.4)

Fórmula que representa la derivada hacia adelante y donde h es la distancia entre nodos; podemos observar también, que esta definición es simplemente la pendiente de la secante definida por y , es decir, la derivada del polinomio interpolador (conjunto de datos obtenidos a partir de un experimento; de tal forma, que a partir de dichos puntos/datos encontrar un polinomio que pase por todos los puntos) de f en los nodos x, x+h. Sin embargo, podemos aproximar numéricamente la derivada (conjunto de datos) por medio del método de coeficientes indeterminados [32], procedimiento que produce la siguiente fórmula de derivación numérica

(4.5)

Donde son nodos predeterminados (x, x+h) y los los “pesos” correspondientes. Si expandimos la

expresión anterior, obtenemos que, ver [32].

(4.6)

Una vez prefijados los nodos, para determinar los pesos podemos recurrir al método de coeficientes indeterminados; entonces, por medio de una función llamada diff [31], desarrollada en MATLAB, se hace posible encontrar una solución de aproximación numérica de las derivadas de una función a partir de sus valores (conjunto de datos).

Si , entonces la derivada se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto

a x. Por lo tanto, la función diff, es una tasa instantánea de cambio de una variable con respecto a una

segunda variable, de la siguiente forma

En este caso, las constantes ópticas serán la razón de cambio ( ) y la longitud de onda la razón de cambio ( ). El principio que se aplicó, para encontrar las derivadas de las constantes ópticas es el siguiente.

(4.8)

(4.9)

Aquí, se identifica los datos de las constantes ópticas hallados en la primera iteración que no siguen un mismo patrón (decreciente, creciente o constante); proceso que va generar discontinuidades en el resultado final, o sea, en las gráficas de las constantes ópticas. En el bloque DERIVADOR podemos distinguir 3 entradas y 2 salidas.

Figura 4.7Esquema del bloque DERIVADOR.

Las entradas n_fijo y k_fijo son los arreglos del índice de refracción y coeficiente de extinción en función de la longitud de onda calculados en el comparador. Las salidas de la entidad DERIVADOR serán los arreglos n_fijoD y k_fijoD, e indican los datos que no son cercanos a cero, los cuales se registran como menos uno (-1), respectivamente; mientras los datos que son cercanos a cero permanecen sin cambios. 4.4.1 Discontinuidad

Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque DERIVADOR y los arreglos datos teóricos - experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda . Podemos observar que posee 2 entradas y 7 salidas.

Las entradas a la entidad Discontinuidad son las salidas del bloque DERIVADOR y las salidas son las gráficas de los arreglos trans_fijo y ref_fijo que representan la transmisión y reflexión teóricas respectivamente; las salidas n_fijoD y k_fijoD indican los datos derivados de las constantes ópticas; y finalmente, las salidas TRA, REF y ONDA que representan los datos experimentales de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda.