van Hiele
Los niveles de razonamiento, tambi´en llamados la parte descriptiva del modelo, permiten ubicar a un alumno en alguno de ellos, de acuerdo con la comprensi´on que tenga frente a un concepto matem´atico.
Van Hiele propone que un alumno pasa por cinco (5) niveles de razonamiento en la estructuraci´on de un concepto matem´atico en su red de relaciones, describi´endolos para la geometr´ıa. En la presente investigaci´on se utiliza la nomenclatura propuesta por J. L. Llorens ([14], pp. 139 - 141), en donde se describen los niveles de razonamiento de la siguiente manera:
Nivel 0, predescriptivo. Los alumnos reconocen las figuras por su apariencia global. Pero no son capaces de identificar expl´ıcitamente las propiedades de las figuras. Nivel I, de reconocimiento visual. Los alumnos analizan las propiedades de las
figuras. Pero no interrelacion expl´ıcitamente las figuras con sus propiedades.
Nivel II, de an´alisis. Los alumnos relacionan las figuras con sus propiedades. Pero
no organizan los enunciados en forma secuencial, para justificar sus observaciones.
Nivel III, de clasificaci´on y relaci´on. Los alumnos organizan sucesiones de enun-
ciados que les permiten deducir un enunciado a partir de otro. Pero no reconocen la necesidad de rigor y no alcanzan a comprender las relaciones entre varios sis- temas deductivos.
Nivel IV, de deducci´on formal. Los alumnos analizan diversos sistemas deductivos
con un grado de rigor comparable al exigido por D. Hilbert en su tratamiento de la geometr´ıa, comprenden ahora las propiedades de las que puede gozar un sistema deductivo, como la consistencia, la independencia y la completitud de los postulados.
9Esta es la traducci´on realizada por los autores al p´arrafo “Insight exists when a person acts in a new situation adequately and with intention”.
1.4 El modelo educativo de van Hiele 21 Cabe resaltar, que estas descripciones son presentadas, tal y como se indic´o anteriormente para la geometr´ıa, sin embargo, Hoffer ([18], pp. 205 - 227), describe en forma general, los objetos para cada uno de los niveles de razonamiento en los siguientes t´erminos:
Nivel 0: Los objetos son los elementos b´asicos de estudio.
Nivel 1: Los objetos son propiedades que analizan los elementos b´asicos. Nivel 2: Los objetos son enunciados que relacionan las propiedades.
Nivel 3: Los objetos son ordenaciones parciales (o sucesiones) de los enunciados. Nivel 4: Los objetos son propiedades que analizan las ordenaciones parciales. As´ı mismo, van Hiele en su tratado de 1986, Structure and Insight. A Theory of
Mathematics Education; condujo sus metas en t´erminos de su teor´ıa. Dichas metas,
apuntan, a que los alumnos aprendan a pensar con respecto a las matem´aticas, pero m´as importante que esto, es que aprendan a pensar matem´aticamente. Primero, ´el disert´o sobre la adquisici´on del conocimiento, donde cree que se alcanza mejor a trav´es del aprendizaje de estructuras y segundo, sobre el desarrollo de la habilidad para pensar matem´aticamente, es decir, adquirir conocimiento a trav´es de la aplicaci´on de pensamiento puro, de percibir una estructura matem´atica, de desarrollar el insight. Pero, para lograr esto, se necesita que los alumnos sean clasificados de acuerdo a su nivel de razonamiento.
Para poder realizar una clasificaci´on de un grupo de alumnos, frente a un concepto
espec´ıfico, se necesitan los descriptores de los niveles de razonamiento y seg´un Esteban
([12], p. 22), se definen como las principales caracter´ısticas que permiten reconocer cada uno de esos niveles de razonamiento matem´atico, a partir de la actividad de los estudiantes. Para cada nivel, se pueden clasificar en descriptores de detecci´on y separaci´on, que son respectivamente, los que permiten establecer que criterios debe cumplir un alumno para ser adscrito en un nivel de razonamiento determinado y cu´ales debe superar para que sea promovido al nivel inmediatamente superior.
Propiedades de los niveles de razonamiento
En investigaciones recientes, se ha comprobado que los niveles de razonamiento cumplen las siguientes propiedades:
Secuencialidad fija: Un estudiante no puede estar en un nivel n de van Hiele sin haber superado el nivel n − 1.
22 Marco Te´orico Adyacencia: El objeto de percepci´on del nivel n − 1 se convierte en el objeto de
razonamiento del nivel n. Esta propiedad fue descubierta por Mayberry ([23]).
Distinci´on: Para alcanzar el nivel n el aprendiz debe reorganizar y reinterpretar el
conocimiento adquirido en el nivel n − 1, de modo que llegue a la percepci´on de una nueva estructura.
Separaci´on: De acuerdo con esta propiedad, dos personas que razonen en diferentes
niveles no podr´an entenderse, en lo que se refiere al objeto de su razonamiento matem´atico.
Especificidad del lenguaje: Cada nivel tiene un lenguaje espec´ıfico, a tal punto que las distintas capacidades de razonamiento que van unidas a cada uno de los niveles de van Hiele, se manifiestan de una manera notoria en la expresi´on verbal y en el significado que se da o se puede dar al vocabulario espec´ıfico.
Seg´un Jaramillo ([21], p. 31), la idea central de van Hiele, en lo que respecta
a la relaci´on entre la ense˜nanza de las matem´aticas y el desarrollo de la capacidad
de razonamiento, es que “la adquisici´on, por una persona, de buenas habilidades de razonamiento es fruto de su propia experiencia”, pero el t´ermino experiencia se utiliza aqu´ı no s´olo en su acepci´on de experiencia de aprendizaje, sino en su sentido amplio, de modo que no s´olo se refiere a lo que se adquiere en las aulas, sino a todas las experiencias que pueden afectar la comprensi´on del concepto.
Van Hiele describe el paso de un alumno, de un nivel al siguiente, como una funci´on del aprendizaje: “La transici´on de un nivel al siguiente no es un proceso natural, tiene
lugar bajo la influencia del programa de ense˜nanza y de aprendizaje. La transici´on no
es posible sin el aprendizaje de un nuevo lenguaje10
” ([17], p. 50). El paso de un nivel al siguiente sigue una acordada y espec´ıfica secuencia de fases de progreso.