4.3 Wishart Process
4.3.2 Factor model
7.2.4. Capítulo6. Problema tridimensional
Desde el punto de vista teórico, los resultados son generalizaciones prácticamente directas, de los ya analizados en los dos capítulos anteriores. Sin embargo, resulta de especial interés el detalle con que he abordado el proceso de semi-discretización de la ecuación diferencial (5.1) (pág.81). Me ha parecido interesante su inclusión pues, no es habitual encontrar este tipo de desarrollos a la hora de discretizar ecuaciones no lineales del tipo (5.1), con condiciones de contorno Neumann. Por otra parte, creo que la exposición detallada de todo el proceso, ayuda a entender cómo debe formularse un planteamiento discreto en 3D y permite además, ser modelo para mejorar futuros esquemas discretos.
La parte experimental, supone la realización del objetivo planteado en la presentación de este tra- bajo. Para ello, se ha validado la utilización de la función de difusividad propuesta en (3.25) (pág.36), dentro del marco evolutivo no lineal de Perona-Malik (2.5), para obtener imágenes constantes a trozos. Las pruebas se han dirigido hacia la problemática real de la segmentación del hígado, adaptándose al protocolo internacionalmente aceptado y establecido por Heimannet al.[35], utilizando diferentes imá- genes adquiridas mediante TAC, correspondientes a máquinas distintas y a una variedad de pacientes. En este caso, se ha realizado un proceso de estimación deγ y de sintonización de P a partir de una base de imágenes de entrenamiento. Se han utilizado las medidas de MAD (o MEDA), para estimar el valor deγ y lasensibilidadyprecisión, junto con laF-medida, para sintonizar el valor deP, ya definidas y utilizadas en las imágenes bidimensionales.
Como conclusión de toda la investigación desarrollada en esta tesis, he podido contribuir en trabajos relacionados con los procesos de segmentación (véase Plateroet al.[70,74,73,69]) .
7.3.
Líneas de investigación
Con el trabajo que se ha expuesto, queda por describir algunas direcciones de investigación que pueden desarrollarse.
1. Un primer paso sería emplear algunos de los métodos variacionales ya descritos en lasección2.2
(pág.13) con la función de difusividad propuesta (3.25), en lugar del funcional relacionado con la norma TV. Es claro, que la existencia y unicidad del problema de minimización ya no está garan- tizado, pero puede dar lugar a resultados interesantes, como sucede en el caso derestauración de la imagen(véase Aubert y Kornprobst [5, pág.90]).
2. Otra parte que queda por analizar, es el planteamiento de una comparativa con otras funciones de difusividad (véasesección2.3en la página18). En este estudio habría que plantear claramente unos criterios de comparación relacionados con el proceso de obtención de regiones constantes a trozos y no en el contexto de eliminación de ruido. En este sentido, resultan de gran importancia los criterios de parada. En un proceso de difusión no lineal, es clave saber cuándo y bajo qué con- diciones, detener el proceso para obtener unos resultados óptimos y evitar una difusión excesiva. Sin embargo, los criterios de parada más habituales están relacionados con procesos deeliminación de ruidoy pueden no ser adecuados en el contexto de la obtención de regiones constantes a trozos. 3. Un análisis más detallado sobre la estimación del parámetroγ también resulta importante. Ya se ha comentado (véasecapítulo5pág.117ycapítulo6pág.151), que en ciertas ocasiones un valor de
γglobal puede no ser suficiente. Es necesario hacer un estudiolocalde este parámetro, que permita una mejor estimación.
4. Otro tema en el que es necesario profundizar es en la modificación propuesta en (4.47) (pág.66) sobre la matriz de iteración. En este caso era inevitable eliminar la matrizC (4.21) (pág.51) para que la matriz de iteración fuese inversible y poder aplicar un método iterativo. Como ya se ha comentado, este cambio de la matriz de iteración hace que este tratamiento sobre la imagen se transforme en un proceso de preservación de bordes (edge preserving), en lugar de un proceso de realzado(edge enhancement). En este sentido, si se quiere utilizar un método implícito que permita elrealzado de la imagen, se hace necesario la manipulación oamortiguaciónde la esta matriz C,
Capítulo – 7. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
para permitir la existencia de inversa en la matriz de iteración. Esto abre la via hacia un nuevo trabajo de investigación.
Otra posibilidad es emplear esquemas explícitos, pero con el inconveniente de la restricción en el incremento de tiempo y por ende, un posible aumento del coste computacional. En este sentido cabría el estudio de métodos del tipo Runge-Kutta-Chebyshev (véase LeVeque [46]), que se ajustan a problemas medio-stiff y que sería una buena puerta de entrada para aplicar y analizar otros posibles esquemas explícitos.
5. La línea de investigación comentada en el punto anterior, surge de manera natural al plantearse la segmentación delhipocampocerebral (véase figura7.3). La detección correcta de los bordes de esta
Figura 7.3– Ilustración del hipocampo dentro del cerebro
estructura subcortical, resulta enormemente complicado. En las imágenes médicas obtenidas, la textura es prácticamente inexistente dentro del hipocampo. Es por ello, que un proceso depreser- vación de bordes(edge-preserving) tal y como se ha desarrollado en este trabajo resulta insuficiente. Es necesario implementar procesos derealzado de bordes(edge-enhancement), que permitan definir más claramente el contorno de esta estructura subcortical. Sirva como ejemplo las imágenes7.4. La imagen original está accesible en
http://www.radiologyresearch.org/HippocampusSegmentationDatabase/
como parte de un conjunto de 50 imágenes de Resonancia magnética con su segmentación manual. Esta dirección contiene una base de datos, formada por40 imágenes dehipocamposde pacientes afectados deepilepsiay10imágenes de pacientes sanos (véase Jafari-Khouzaniet al.[38]). Son imá- genes de Resonancia magnética del tipoT1-ponderado(T1-weighted(T1W −M R) ) adquiridas en coronalcon un diferencial de volumen:0.39mm×2mm×0.39mm(dx×dy×dz). Para su proce- samiento se ha utilizado la función de difusividad propuestag(3.25) con un valorγ = 2.5·10−5y
P = 4; un incremento temporal dedt=k= 700y11iteraciones y además, una normalización de la intensidad en el rango[0,1].
Estos son algunos puntos que permitirían desarrollar el trabajo expuesto en esta tesis y podría me- jorar el conocimiento y los resultados sobre el proceso de obtención de imágenes constantes a trozos.
7.3. Líneas de investigación
(a) Imágenes del hipocampo original sin procesar (b) Imágenes del hipocampo procesadas
APÉNDICE
A
ALGUNOS PRELIMINARES
MATEMÁTICOS
A.1.
Definiciones básicas
La mayor parte de las definiciones que se plantean, son las habituales en textos de ecuaciones dife- renciales o análisis funcional aplicado. En este trabajo se han seguido principalmente, las establecidas por el libro de Zeidler [109].
Se considera R+0 ≡ [0,+∞) y R+ ≡ (0,+∞). El símbolo de Ω representa un conjunto no vacío abierto, conexo y acotado enRn(n>1). Por tanto al suponerΩ, como un conjunto abierto y conexo, nos referiremos a él como undominio. Análogamente,Ωindicará la clausura deΩ, esto es:
Ω = Ω∪∂Ω
El conjunto de las funciones continuas sobreΩse representará de la forma:C(Ω)y aquellas funciones que tienen las derivadas de primer orden también continuas:C1(Ω). Similarmente para k ∈ N, Ck(Ω) representa el conjunto de todas las funciones que tienen las derivadas continuas hasta el ordenksobre
Ω. Además
C∞(Ω) = ∩
k∈N Ck(Ω)
Por otra parte, el conjuntoC1(Ω)representa las funcionesf ∈ C1(Ω)para las cuales la propia función y su primera derivada se extiende de forma continua a Ω. Análogamente para C(Ω) y Ck(Ω). Como el dominio Ωes acotado, entonces resulta que las funciones de C(Ω)están acotadas y en general las funciones deCk(Ω)son aquellas con derivadas continuas hasta el ordenky acotadas enΩ.
Elsoportede una funciónf(x)continuadefinida sobre el dominioΩes laclausura, cierre o adherencia del conjunto (abierto) dondef(x)es distinta de cero, esto es:
sop(f) ={x∈Ω : f(x)̸= 0}
Puesto queΩes acotado, este conjunto es tambiénacotadoy por tanto,compacto. Si este conjuntocom- pactoes subconjunto deΩentonces se dice quef tienesoporte compacto respectoΩ. Puesto queΩes un conjuntoacotado, decir quef tienesoporte compacto respectoΩes equivalente a afirmar quef se anula en
∂Ω. El conjunto de estas funciones se representa medianteC0(Ω). Análogamente se defineC0k(Ω)y C0∞(Ω) =
∩ k∈N
Ck 0(Ω)