6.5 ANALYSIS OF QUALITATIVE DATA
6.5.3 Feedback from semi-structured and focus group interviews
Al borde del cambio de siglo, Ponter et al. (2000) resumen el estado actual de la teoría general para materiales no standard, que se transcribe ampliamente a continuación:
"Teoremas de Análisis Límite No Standard.
Los teoremas de análisis límite se fundan en el postulado de máxima disipación plástica y, por ello, sobre la normalidad de la regla de flujo o, equivalentemente, sobre la asociatividad del criterio de fluencia (yield criterion), que es un ingrediente esencial para su demostración. De hecho (los teoremas) no son aplicables a los materiales no standard.
En el contexto de los materiales no standard, como los suelos, una teoría de análisis límite fue propuesta por Radenkovic, con modificaciones de Josseling de Jong, Palmer y Salencon. Como se observa en Lubliner, los teoremas fundamentales del análisis límite en este contexto quedan establecidos en la forma de "teorema límite superior" e "inferior" como sigue:
Primer teorema de Radenkovic
La carga límite, para un cuerpo cuyo material sigue una regla de flujo no asociativa, está limitada superiormente por la carga límite referida a un material standard cuya superficie de fluencia (yield surface) contenga (i.e. sea mayor que) o coincida con la del material no standard.
Segundo teorema de Radenkovic
Sean f(
σ
)=0 y g(σ
)=const. la superficie de fluencia y la función del potencial plásticodel material no standard ( ambas convexas por hipótesis). Además se asume que
. )
( const
g
σ
= se ha construido de tal modo que se cumplen las dos siguientes propiedades.1. g(
σ
)=0 implica que f(σ
)≤0 de tal modo que la superficie g(σ
)=0está completamentecontenida en la superficie de fluencia f(
σ
)=0.2. a cualquier
σ
cuyaf(σ)
=0
le corresponde unσ
' tal que: a)ε
´pes normal aσ
' para lasuperficie g(
σ
)=0, b) se cumple que(σ
ij−σ
ij´)ε
ij·≥0
Una posibilidad de cómo construir tal potencial plástico ha sido dada por Palmer. El segundo teorema puede establecerse en la siguiente forma:
La carga límite para un cuerpo constituido de un material standard que cumpla el criterio de
fluencia g(
σ
)=0, es un límite superior para la carga límite para el mismo cuerpo constituidode un material no standard que cumpla el criterio f(
σ
)=0A fin de obtener el mejor límite inferior posible, el potencial plástico debería construirse de tal
modo que la superficie g(
σ
)=0 esté tan cercana como sea posible af(σ)=
0
, al menos enel rango de tensiones que se espera encontrar en el análisis.
Las pruebas para los dos teoremas están en el artículo de Radenkovic.
En particular, todo valor de la carga límite para un cuerpo constituido de material no standard se encuentra entre dos límites fijos definidos por los valores de las cargas límites de dos materiales standard correspondientes.
Obviamente, estos teoremas no tienen la misma fuerza que los teoremas límites para materiales standard . En el caso de un material no estándar, estando fijados los límites superior e inferior, no hay manera de encontrar la carga límite por aproximación, lo cual es comprensible puesto que incluso la unicidad de la carga límite es, en este contexto, incierta. Debido a la ausencia de una demostración de la unicidad del campo de tensiones en un cuerpo constituido de un material perfectamente plástico no estándar".
1.2.10 De Saxcé (1998)
Una de las más recientes extensiones de la teoría de la plasticidad hacia el presente caso es debida a Géry De Saxcé, que acuña el concepto de "Material Estándar Implícito", (ISM - "Implicit Standard
Materials"), de Saxcé et al. (1998). Se puede encontrar una descripción concisa, aunque muy técnica,
de dicho concepto en C.Vallée et al. (2009).
Principalmente para representar leyes constitutivas multivaloradas fueron extendidos a los llamados "Materiales Estándar Generalizados", (GSM - "Generalized Standard Materials"), B. Halphen et al. (1975), modelados por potenciales convexos y semi-continuos inferiormente aunque no necesariamente diferenciables. Esta extensión falla al describir la ley de rozamiento en seco de Coulomb.
En 1991 Géry De Saxcé y Z. Q. Feng proponen una nueva generalización que llaman "Material Estándar Implícito" (ISM). Esta nueva clase de materiales es modelada mediante una función punto a punto a la que dan el nombre de bipotencial22, y que depende tanto de las tensiones como de las deformaciones. En el artículo citado, de Saxcé et al. (1998), señalan como características de los ISM la no-unicidad de la carga límite y el acoplamiento de los enfoques de límite superior e inferior El concepto de Material Estándar Implícito ha mostrado ser relevante para la descripción de muchos fenómenos "no asociados", entre ellos: Contacto unilateral con rozamiento en seco de Coulomb, Plasticidad generalizada de Drucker-Prager; Modelos Cam-Clay modificados, Regla de endurecimiento cinemático no lineal para la plasticidad cíclica de los metales y Ley de daño plástico- dúctil de Lemaìtre.
Una reciente aplicación específica de la teoría del bipotencial es la debida a Bousshine et al. (2002) figura 1.17.
Figura 1.17
En este planteamiento, y a causa del contacto con rozamiento, los dos enfoques están acoplados, el análisis límite cinemático contiene variables estáticas y viceversa. Para hacer frente al acoplamiento utilizan un algoritmo iterativo basado en aproximaciones sucesivas.
Respecto a este último artículo, F. Tin-Loi et al. (2007) señalan que el ejemplo elegido tiene una única solución y hace difícil evaluar como se comportaría el método para estructuras más complejas que, invariablemente, tienen soluciones múltiples.
22 En el caso de un Material Estándar Generalizado (GSM) dicho bipotencial se reduce a la suma del potencial y su "potencial conjugado"
Esta nueva generalización, en lo que respecta a su formulación matemática, hace un uso intensivo de conceptos de las teorías del análisis convexo y de inclusiones diferenciales, y en lo que respecta a la extensión del campo de aplicación de la teoría de la plasticidad, según sus autores, promete ser muy potente.
Para el caso en estudio, la formulación como Problema de Complementariedad (CP) que se expone al final del capítulo es más simple, y no requiere el conocimiento del análisis convexo o la teoría del bipotencial, sino que usa el mismo conjunto de relaciones que caracterizan el análisis límite rígido- plástico a las que se añaden las condiciones de contacto con rozamiento, expresadas como restricciones de complementariedad.
Por otra parte, Acary et al. (2004) han estudiado las relaciones entre los formulismos como inclusiones diferenciales unilaterales y como sistemas de complementariedad para sistemas dinámicos unilaterales, y Acary et al. (2008) específicamente para sistemas mecánicos con rozamiento de Coulomb.
Debe, además, tenerse en cuenta que mientras que la formulación del contacto unilateral como un problema de complementariedad está amplísimamente extendida, la formulación mediante el uso de ISM y bipotenciales está restringida, hasta el momento presente, a un núcleo más reducido de investigadores.
La vía de investigación que se va a desarrollar en esta tesis, es la formulación como un problema de contacto, representado a través de restricciones de complementariedad y resuelto numéricamente.