Desigualdad:Sean 2 números a y b Q, tal que a b. Desigualdad es una
relación entre a y b que se representa así:
a > b ; “a es mayor que b”, si (a – b) es positiva. a < b ; “a es menor que b”, si (a – b) es negativa.
Ejemplos:
(1) 7 > 4 es correcto ya que 7 – 4 = 3 (2) 5 > -3 es correcto ya que 5 – (-3) = 8
Tipos de Desigualdad 1. Desigualdad Absolutas
Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas.
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le asignemos a sus variables.
Ejemplos: (1) x2 0 (2) (x + 1)2+ 5 0
2. Desigualdad Relativas
Son aquellas que se verifican o satisface solo para ciertos valores de sus variables. Estos reciben también el nombre de inecuaciones:
Ejemplos:
(1) x + 3 > 7 Si x recibe e valor 2; tendríamos 2 + 3 > 7 ó 5 > 7, lo cual no es cierto. En este caso; x puede admitir solo valores mayores que 4. Entonces: x + 3 > 7 es una inecuación cuya solución es x > 4.
Propiedades de la Desigualdad.-
1. Siendo una cantidad mayor que otra y esta mayor que una tercera; entonces la primera cantidad será mayor que la tercera (PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD)
1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas
0 (2) (x + 1) Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas.
1. Desigualdad Absolutas
Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas.
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le
0 (2) (x + 1) 1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas 0 (2) (x + 1) Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas.
1. Desigualdad Absolutas 1. Desigualdad Absolutas
Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Son aquellas que son indiscutiblemente ciertas. Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también: Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también: Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también: Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también: Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también: Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 o también:
Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le Son aquellas que se verifican para cualquier número racional que le
0 (2) (x + 1) 0 (2) (x + 1) 0 (2) (x + 1) 0 (2) (x + 1)
Es decir: Si a > b y b > c; entonces: a > c Ejemplo:
Si 15 > 6 y 6 > 2; entonces 15 > 2
2. Si una cantidad es mayor que otra; entonces esta será menor que la primera.
Es decir: Si a > b; entonces b < a Ejemplo:
(1) Si 18 > 10; entonces 10 < 18 (2) Si 2 < x; entonces x > 2
3. Si ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA
Si: a > b y m Q
Entonces: a + m > b + m
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad 6 > 2
Adicionemos 5 a 6 + 5 > 2 + 5
Cada miembro 11 > 7 ¡Cierto!
(2) Dado la desigualdad 3 > -9
Restemos 4 a cada miembro 3 – 4 > -9 – 4 -1 > -13 ¡Cierto! 4. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma
cantidad positiva; el sentido de la desigualdad no se altera. Es decir: Si a > b y m > 0
Entonces: am > bm Veamos algunos ejemplos:
(1) Dado la desigualdad entonces:
5 > 3 y además; m = 8 5 x 8 > 3 x 8
40 > 24 ¡Verdadero!
3. Si ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma 3. Si ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma
cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA
cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA
Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
Adicionemos 5 a
Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
3. Si ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma 3. Si ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma
cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA cantidad el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA
Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Entonces: a + m > b + m Ejemplos: (1) Dado la desigualdad Ejemplos: (1) Dado la desigualdad Ejemplos: (1) Dado la desigualdad Ejemplos: (1) Dado la desigualdad Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
Adicionemos 5 a Ejemplos: (1) Dado la desigualdad Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
5. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa; el sentido de la desigualdad. SE ALTERA
Es decir: Si a > b y m < 0 Entonces: am < bm
Ejemplo: Dado la desigualdad
7 > 2 y m = -4 7(-4) < 2(-4) ¡Se invierte el sentido!
-28 < -8
6. Si dividimos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad m positiva; el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! Es decir: Si a > b y m > 0 Entonces: m b m a Ejemplo: Si: 30 > 18 y m = 6 Entonces: 6 18 6 30 ó 5 > 3 Además: Si a > b y m < 0 Entonces: m b m a Ejemplo: Si 12 > 6 y m = -2 Entonces 2 6 2 12 ó -6 < -3
cantidad m positiva; el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA. Si cantidad m positiva; el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!
dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!
Es decir: Si a > b y m > 0
cantidad m positiva; el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA. Si cantidad m positiva; el sentido de la desigualdad NO SE ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! dicha cantidad m es negativa el sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA! Es decir: Si a > b y m > 0
Es decir: Si a > b y m > 0 Es decir: Si a > b y m > 0 Es decir: Si a > b y m > 0