Chapter 8: Conclusions and Future Work
8.5 Final Conclusions
En esta secci´on, vamos a formular el teorema m´as importante de la teor´ıa de c´odigos correctores cu´anticos, que nos da una caracterizaci´on expl´ıcita para aquellos subes- pacios de Hilbert que son c´odigos correctores. Las condiciones que ha de cumplir un subespacio de Hilbert para ser c´odigo corrector surgen de manera natural al exami- nar el comportamiento necesario para que los errores se manifiesten de tal manera que se puedan identificar y corregir.
Siguiendo la notaci´on de la secci´on anterior, sea H0 el espacio de Hilbert de un
sistema de n qubits. H0 tiene pues dimensi´on 2n y tendr´a una base ortonormal
{|ii}i=0,...,2n−1}. Sea He el espacio de codificaci´on, que ser´a un sistema de m qubits
con dimensi´on 2m, siendo m > n. En este espacio de codificaci´on puede producirse un
error E que ha de ser una combinaci´on lineal de endomorfismos unitarios del grupo de Pauli Pm. Supondremos que los errores que se han de corregir son un subconjunto
de la totalidad de aplicaciones del grupo de Pauli, por lo que los posibles errores formar´an un espacio vectorial E de endomorfismos unitarios en el que existe una base ortonormal {Ei}i=1,...,k en donde k 6 22mes la dimensi´on de este espacio de errores y
cada Ei es una aplicaci´on del grupo de Pauli Pn. La identidad I ha de ser uno de los
Ei, pues siempre se incluye como caso trivial la posibilidad de que no se manifieste
ning´un error. As´ı, cualquier error sobrevenido en el espacio Heser´a un endomorfismo
unitario E =Pk
i=1λiEi. Asumimos, adem´as, que existe un c´odigo corrector Hc que
permite corregir estos errores. Tal como hemos visto en la secci´on anterior, Hc ha
de tener la misma dimensi´on, 2n, que el espacio original H0, luego tendr´a una base
ortonormal {|¯0i, . . . 2n− 1 } a cuyos elementos llamamos las palabras del c´odigo.
Bajo las hip´otesis del p´arrafo anterior, ¿que condiciones deber´a cumplir Hc para
que permita corregir los errores del espacio E ? En primer lugar, la condici´on m´as evidente consiste en que los errores Ea (0 6 a 6 k) nunca puedan convertir unas
palabras de c´odigo en otras, pues en tal caso ser´ıa imposible recuperar la palabra de c´odigo original. As´ı pues, dada una palabra de c´odigo |¯ii (0 6 i 6 2n− 1) de H
c, el
error Ea la convertir´a en un vector Ea|¯ii que ha de ser ortogonal no solo a cualquier
otra palabra de c´odigo |¯ji con j 6= i (0 6 j 6 2n−1), sino tambi´en a sus im´agenes por cualquier error Eb|¯ji (0 6 b 6 k) para eliminar cualquier ambig¨uedad respecto a la
palabra de c´odigo original. Esto implica que para todas las combinaciones de ´ındices a, b, i y j con i 6= j ha de cumplirse la condici´on de ortogonalidad h¯i|Ea†Eb|¯ji = 0.
M´as sutil es la situaci´on con las im´agenes por los diferentes errores de una mis- ma palabra de c´odigo. Dada una palabra |¯ii, ¿qu´e relacion habr´an de cumplir las im´agenes por errores diferentes Ea|¯ii y Eb|¯ii (0 6 a, b 6 k, a 6= b)? El caso m´as
sencillo ser´ıa aquel en el que estas im´agenes por errores diferentes son ortogonales, pues entonces se podr´a determinar con exactitud el error acaecido. La condici´on ser´ıa h¯i|Ea†Ea|¯ii = h¯i|E
†
bEb|¯ji = 0. No obstante, esa condici´on es suficiente, pero no
necesaria [13, p. 5], pues puede haber errores que se confundan en su manifestaci´on sobre el estado pero que se puedan corregir a trav´es de una detecci´on de s´ındro-
me com´un6. Sin embargo, si se impone simplemente la igualdad, no necesariamente
a cero, h¯i|Ea†Ea|¯ii = h¯i|E †
bEb|¯ji, la condici´on s´ı es suficiente. La demostraci´on, no
trivial, de este ´ultimo resultado puede encontrarse en las referencias [14, p. 14]. Apoy´andonos en los razonamientos anteriores, estamos ya en condiciones de enun- ciar el teorema fundamental de los c´odigos correctores:
Teorema 9.5. Sea H0 un espacio de Hilbert de dimensi´on 2n y sea He un espacio
de Hilbert de dimensi´on 2m, siendo m > n. Sea E un espacio vectorial de endo-
morfismos unitarios en He, que tiene como base ortonormal un conjunto {Ei}i=1,...,k
de endomorfismos del grupo de Pauli Pm incluyendo al menos la identidad. Enton-
ces un subespacio de Hilbert Hc de He de dimensi´on 2n con una base ortonormal
{|¯ii}i=0,...,2n−1 es un c´odigo corrector con espacio original H0 y espacio de codifica-
ci´on He para el conjunto de errores E si y solo si se cumple:
h¯i|Ea†Eb|¯ji = Cabδij (9.10)
Cab es una matriz cuadrada k × k herm´ıtica, independiente de los ´ındices i y j.
Estas condiciones nos dan un criterio para comprobar si una determinada elecci´on de subespacio de Hilbert constituye un c´odigo corrector para un conjunto de errores dado.
10
M´as c´odigos correctores cu´anticos
En la secci´on sobre la inversi´on de bit en un solo qubit, vimos c´omo construir un c´odigo corrector para ese tipo de error. Vamos a ver ahora otros dos c´odigos que nos permitir´an corregir cualquier error que pueda afectar al sistema de un ´unico qubit.
10.1
El c´odigo corrector de inversiones de signo
Como hemos visto, todo operador unitario que act´ue sobre un sistema de un qubit ser´a una combinaci´on lineal de los operadores de Pauli σx, σy y σz, m´as la identidad.
Hemos introducido ya un c´odigo corrector que reduce la aparici´on de errores de tipo σx. Vamos a estudiar ahora c´omo se pueden corregir los dem´as tipos de errores que,
en realidad, veremos que comprenden solamente un tipo adicional: la inversi´on de signo de una de las componentes del estado (tambi´en llamada inversi´on de fase, phase flip en ingl´es, pues equivale a multiplicar por eiπ una de las componentes).
Dado un sistema de un solo qubit, cuyo estado viene descrito por un vector |ψi =
6El c´odigo de Shor de nueve qubits, que veremos m´as adelante es un caso de c´odigo en el que se
a|0i + b|1i, con a, b ∈ C tales que |a|2+ |b|2 = 1, el operador de Pauli σ
z transforma
este estado en σz|ψi = a|0i−b|1i. Se trata de una transformaci´on unitaria que podr´ıa
manifestarse de manera indeseada, al igual que pasaba con las transformaciones σx
de inversi´on de bits.
El tratamiento de este nuevo tipo de error resulta extremadamente sencillo gracias a una caracter´ıstica llamativa de los dos tipos de errores: las inversiones de bit σx
en la base {|0i, |1i} se transforman en inversiones de signo σz en la base {|+i, |−i}
y viceversa. Este sorprendente car´acter dual de los dos tipos de error hace que el planteamiento que hab´ıamos seguido para la correcci´on de la inversi´on de bit sea aplicable tambi´en a los errores provocados por σz. Bastar´a con pasar a la base
{|+i, |−i} los tres qubits tras aplicar el c´odigo de repetici´on, de modo que en lugar de tener un estado a|000i + b|111i tendremos un estado a0|+ + +i + b0|− − −i . Este
cambio de base equivale a aplicar una transformaci´on de Hadamard a los qubits. Tras la correcci´on habr´a que aplicar de nuevo la transformaci´on de Hadamard (que coincide con su inversa) para volver a la base {|0i, |1i}.
El circuito corrector ser´a por consiguiente el que se muestra en la siguiente figura:
|ψi • • H E H • • |0i H H • |0i H H • |0i • • |0i • • (10.1)
Hasta aqu´ı hemos encontrado dos c´odigos correctores para los errores provocados por los operadores de Pauli σx y σz. Nos falta σy, pero en realidad este operador
cumple la relaci´on σy = iσxσz por lo que equivale a la aplicaci´on sucesiva de los
dos tipos de inversi´on vistos, que ya sabemos c´omo corregir (la multiplicaci´on por i a˜nade simplemente un factor complejo sin significado f´ısico, como se indic´o en una secci´on anterior).
De esta manera, disponemos ya de dos c´odigos correctores que corrigen todos los errores posibles sobre un sistema de un qubit suficientemente aislado de su entorno.