Final remarks

Reconocer la relación de orden entre los números reales para poder expresar situaciones diversas con base en la simbología de desigualdades. Así mismo representar éstas en sus diferentes formas.

Objetivo

El conjunto de números reales posee la propiedad de que se puede establecer una relación de orden entre dichos números, por ejemplo:

1

3 es menor que 7, -2 es mayor que -6, - — es menor que 5. 2

Dadas las expresiones numéricas a y b, sucede que, o son iguales (a = b) o son diferentes (a ≠ b). Si

son diferentes, uno de los números es mayor o menor que el otro. A esta relación de ser “mayor que” o “menor que” le corresponden los signos >, <, respectivamente.

Podemos visualizar esta propiedad de los números reales si los representamos como puntos en la recta real.

0 1

2/3 7/5

2 3 4 5 6 7

2 7 Como sabemos, la numeración crece hacia la derecha. Observamos entonces que — es menor que —

3 5

2 7

porque — queda a la izquierda de — en la recta real.

3 5

Por otro lado, ¿quién no se ha topado con expresiones como las siguientes? Mi salario no llega a los $5 000.

La calificación aprobatoria es de 70 puntos mínimo. Por 50 litros de gasolina tuve que pagar más de $300.

Pues estas y otras expresiones parecidas son ejemplos de situaciones que corresponden a desigualda- des o inecuaciones.

Se llama desigualdad a cualquier expresión que hace referencia a la relación entre dos números y que, por lo tanto lleva el signo de “>” o “<”. Se llama inecuación a aquella des- igualdad en la que aparece una incógnita.

Actividad

Resumiendo, dados los números reales cualesquiera, a y b, ocurre una y sólo una de las siguientes cues- tiones: a es menor que b, b es menor que a, o a y b son iguales.

Simbólicamente representamos estas situaciones de la siguiente manera: a es menor que b: a < b

b es menor que a: b < a a y b son iguales: a = b

La relación en el último caso es la igualdad, mientras que en los dos primeros casos se trata de desigual- dades.

Que a sea menor que b (a < b) es equivalente a decir que b es mayor que a (b > a) así, es claro que da

lo mismo decir que 4 es menor que 10, a decir que 10 es mayor que 4. Al escribirlo con símbolos sólo hay que tener presente que la abertura del símbolo va con el número mayor y la punta con el número menor:

4 < 10 o 10 > 4

O incluso, podría escribirse sólo una de las desigualdades —por ejemplo, la primera— y leerla de izquier- da a derecha (4 es menor que 10) o leerla de derecha a izquierda (10 es mayor que 4).

La desigualdad a ≤ b se lee: a es menor o igual que b ; la desigualdad b ≥ a se lee: b es mayor o igual

que a.

Los símbolos <, ≤, > y ≥ representan la simbología de desigualdad.

1. Escribe la desigualdad correspondiente entre…

a) …tu estatura y la de uno de tus amigos. b) …el precio de un auto y el de una moto.

c) …la distancia que hay de Monterrey a Zacatecas y la que hay de Monterrey a Cancún.

2. ¿Cómo escribirías simbólicamente la relación entre…

a) …el número de miembros de tu familia y el número de estudiantes de tu salón? b) …el número de habitantes de Japón y el número de habitantes de Honduras? c) … la longitud del río Hudson y la del río Grijalva?

3. Proporciona tres ejemplos de expresiones que involucren desigualdades y compártelas con tus compa- ñeros.

La representación en una recta numérica de la gráfica de la desigualdad está formada por intervalos. Un intervalo de la forma (a, b) que no contiene sus puntos extremos se denomina intervalo abierto. El intervalo [a, b] que contiene sus puntos extremos se llama intervalo cerrado. Los intervalos de la forma [a, b) y (a, b] se denominan intervalos semiabiertos. Geométricamente un intervalo es un segmento de recta.

En la siguiente tabla se representan los tipos de intervalos de la recta lineal.

Sean a y b números reales con a < b. Los siguientes intervalos en la recta real son intervalos limita-

dos. Los números a y b son los puntos extremos de cada intervalo.

Notación Tipo de intervalo Desigualdad Gráfica

[a, b] Cerrado a ≤ x ≤ b

(a, b) Abierto a < x < b

[a, b) Semiabierto a ≤ x < b

(a, b] Semiabierto a < x ≤ b Los siguientes intervalos son intervalos ilimitados o infinitos.

[a, ∞) Semiabierto x ≥ a

(a, ∞) Abierto x > a

(– ∞, b) Abierto x < b

(– ∞, b] Semiabierto x ≤ b

(– ∞, ∞) Toda la recta real x e R

b a ( ( b a ( b a ( b a a ( a b( b b a ( ( b a ( b a ( b a a ( a b( b

Los símbolos –∞ (infinito negativo) y ∞ (infinito positivo) no representan números reales. Sólo son símbo- los para describir lo ilimitado de un intervalo.

1. La desigualdad x ≤ 4 denota todos los números reales x que son menores o iguales a 4. 2. La desigualdad – 1< x ≤ 3 significa que x > –1 y x ≤ 3. Esta “doble” desigualdad com- prende a todos los números reales entre –1 y 3, incluyendo al 3, pero sin incluir al –1. Como se muestra en la siguiente recta numérica.

0 1 2 3 4

–1 –2

( Notas

Actividad

Actividad

Escribe una desigualdad que represente a los siguientes intervalos e identifica qué tipo de inter- valo es:

a) (–4, 6) b) (– ∞, 24] c) [–17, – 8] d ) [6, 37)

Solución

a) (–4, 6) Significa que –4 < x < 6 y es un intervalo abierto.

b) (–∞, 24] Significa que x ≤ 24 y es un intervalo semiabierto, no limitado por la izquierda. c) [–17, – 8] Significa que –17 ≤ x ≤ – 8 y es un intervalo cerrado.

d) [6, 37) Significa que 6 ≤ x < 37 y es un intervalo semiabierto.

¿Cómo representarías en la recta numérica las siguientes expresiones?

a) “Todos los números negativos”.

b) “Todos los números que están entres 2 y 9”.

c) “Todos los números del 1 en adelante”.

d) “Horario de consultas de 1 a 5”.

Identifica en qué intervalo se encuentra la variable en cada uno de los siguientes casos:

1. Si digo que cumplo años en el mes de febrero, ¿qué puedes decir de la fecha de mi cumpleaños? 2. El abuelo de Felipe les da dinero a sus nietos según su edad: al más pequeño la da $20, mientras que el

mayor recibe $100. ¿Qué puedes decir de la cantidad de dinero que recibe el nieto de en medio? 3. Si en una región determinada la temperatura mínima es de -12° C en invierno y la temperatura máxima en

verano es de 38° C. ¿Qué puedes decir del resto de las temperaturas en dicha región en ese periodo?