FINANCIAL ASSETS 40

Nuestro próximo paso será considerar la medición de dos cantidades físicas compatibles A y B, respectivamente represen- tadas por los observables A y B. Puesto que A y B tienen al menos una base común, podemos escribir las ecuaciones de autovalores en la siguiente forma

A |an, bp, j〉 = an |an, bp, j〉 (2.48a)

y B |an, bp, j〉 = bp |an, bp, j〉 (2.48b)

donde n = 1, 2,…; p = 1, 2,…; y j es un índice que se incluye para dar cuenta del caso en que {A, B} no es un CC.

2.6.2.1. Supongamos que inmediatamente antes de efectuar la

medición de la cantidad física A, el estado del sistema es un autoestado del observable A correspondiente al autovalor an y

del observable B correspondiente al autovalor bp. Esto implica

que las cantidades físicas A y B tienen respectivamente los valo- res bien definidos an y bp. De acuerdo con los postulados de la

mecánica cuántica, el resultado de la medición de A sólo puede ser an y el vector que representa el estado del sistema no se pro-

yecta. Estos postulados también nos dicen que, si luego de me- dir A se mide B, el resultado sólo puede ser bp, y el sistema

permanece en el estado que tenía antes de efectuar ambas medi- ciones. La medición de A y B en orden inverso arroja los mis- mos resultados: se obtienen bp y an, y el estado del sistema no se

modifica. Como el orden de las mediciones es irrelevante, se puede hablar de mediciones simultáneas de A y B.

2.6.2.2. A continuación supongamos que inmediatamente antes

de efectuar la medición el estado del sistema es

|_ψ〉 = ∑n,p,j cn,p,j |an, bp, j〉 (2.49)

donde al menos dos coeficientes cn,p,j con subíndices n (p) dis-

tintos son no nulos. Como el estado |_ψ〉 no es un autovector del observable A (B), la cantidad física A (B) no tiene un valor bien definido. Sea Pam el proyector al autosubespacio correspondien-

de al autovalor am. De acuerdo con los postulados de la mecáni-

ca cuántica, la probabilidad de que el resultado de la medición de A sea am es

P(am) = ∑p,j |cm,p,j|2 (2.50a)

y si se obtiene este resultado el estado |_ψ〉 se proyecta a

|ψm〉 = Nm Pam |ψ〉 = Nm ∑p,j cm,p,j |am, bp, j〉 (2.50b)

con Nm = (∑p,j |cm,p,j|2)−1/2.

Ahora supongamos que luego de obtener este primer re- sultado se mide B. Sea Pbq el proyector al autosubespacio co-

rrespondiende al autovalor bq. Como la medición se efectúa

sobre un sistema que está en el estado |_ψm〉, de acuerdo con los

postulados de la mecánica cuántica la probabilidad de obtener bq es

Pam(bq) = (∑j |cm,q,j|2)/(∑q,j |cm,q,j|2) (2.51a)

y si se obtiene este resultado el estado |ψm〉 se proyecta a

con Nmq = (∑j |cm,q,j|2)−1/2; ver Fig. 2.1(a). Se puede probar que

si las mediciones de A y B se efectúan en orden inverso y si los resultados siguen siendo am y bq, luego de las dos mediciones el

sistema también queda en el estado |_ψmq〉; ver Fig. 2.1(b). Como

la probabilidad de obtener am y bq

P(am, bq) = P(am) Pam(bq) = P(bq) Pbq(am) (2.52)

Fig. 2.1. Medición de las cantidades físicas compatibles A y B sobre un sistema en el estado inicial

|ψ〉 = c1,1 |a1, b1〉 + c1,2 |a1, b2〉 + c2,2 |a2, b2〉

(a) Si primero se mide A y el resul- tado es a1, el estado |ψ〉 se pro-

yecta al autosubespacio corres- pondiende al autovalor a1; si lue-

go se mide B y el resultado es b2, el estado se proyecta nue-

vamente, esta vez a |a1, b2〉.

(b) Si se efectúan las mediciones en orden inverso y los resulta- dos son los mismos (b2 y a1),

el estado final es también |a1, b2〉.

no depende del orden en el que se efectúan las mediciones, y lo mismo ocurre con el estado final del sistema, también en este caso se puede hablar de mediciones simultáneas.

Es de particular interés el caso en que {A, B} es un CC (en este caso el índice j es superfluo). Si la medición de las can- tidades físicas A y B arroja los resultados am y bq, el estado se

proyecta de |ψ〉 = ∑n,p cn,p |an, bp〉 a |ψmq〉 = |am, bq〉, que es un

autoestado común a todos los observables que integran este CC. La extensión al caso en que el CC incluye tres o más observa- bles A, B, C,... es inmediata. El conjunto de mediciones de to- das las cantidades físicas compatibles cuyos correspondientes observables constituyen un CC, se denomina preparación de estado. Es importante notar que si se obtienen los resultados am,

bq, cr,…, luego de completar dichas mediciones el sistema está

en el estado |am, bq, cr,…〉; en otras palabras, el conjunto de ta-

les mediciones determina completamente el estado del sistema.

2.6.3. Medición de dos cantidades físicas incompatibles

Si A y B son dos cantidades físicas incompatibles, los ob- servables A y B que las representan no tienen una base común. No obstante, como es posible expresar el estado inicial |_ψ〉 del sistema tanto en la base {|anj〉} de los autovectores de A como

en la base {|bpk〉} de los autovectores de B, podemos escribir

|_ψ〉 = ∑n,j cnj |anj〉 (2.53a)

y |ψ〉 = ∑p,k dpk |bpk〉 (2.53b)

Si primero se mide A y después B, el vector |ψ〉 se proyec- ta en primer lugar a un autovector de A y luego a un autovector

de B; ver Fig. 2.2(a). Por el contra continuación A, el vector |_ψ〉

autovector de B y luego a un autovector de A; ver Fig. 2.2(b). Ahora bien, como los autovectores de A y B son, en general, diferentes, el estado del sistema al completar las dos mediciones depende del orden en que se hicieron. Lo mismo ocurre con las probabilidades; en general resulta

P(am) Pam(bq) ≠ P(bq) P

Fig. 2.2. Medición de las cantidades sistema en el estado inicial

|_ψ〉 = c1 |a1〉 + c2 |a

(a) Si se mide A y el resultado es a1, el

estado |ψ〉 se proyecta a |a1〉; si a

continuación se mide B y el resultado es b2, el estado se proyecta nuev

mente, esta vez a |b2〉.

g. 2.2(a). Por el contrario, si primero se mide B y a 〉 se proyecta en primer lugar a un autovector de B y luego a un autovector de A; ver Fig. 2.2(b). tovectores de A y B son, en general, diferentes, el estado del sistema al completar las dos mediciones depende del orden en que se hicieron. Lo mismo ocurre con las probabilidades; en general resulta

bq(am) (2.54)

ición de las cantidades físicas incompatibles A y B sobre un sistema en el estado inicial

|a2〉 = d1 |b1〉 + d2 |b2〉.

, el ; si a y el resultado se proyecta nueva-

(b) Si se efectúan las mediciones en orden inverso y los resultados son los mismos (b2 y a1), el estado final

Por lo tanto, en este caso no se puede hablar de mediciones si- multáneas.

Preguntas y ejercicios

2.36. Comparar probabilidades y frecuencias de resultados de lanzamientos de una moneda en los siguientes casos: (i) la moneda se lanza una sola vez y el resultado es “cara”; (ii) la moneda se lanza 10 veces y el resultado es “7 caras”; (iii) la moneda se lanza 100 veces y el resultado es “48 caras”; (iv) la moneda se lanza 100 veces y el resultado es “75 caras.” ¿Qué comentarios puede hacer sobre estos re- sultados?

2.37. Sean n, l y m respectivamente los números cuánticos prin- cipal, azimutal y magnético del átomo de H. Si inicial- mente el átomo está en el estado |_ψ〉 = |n=1, l=0, m=0〉 y se mide el cuadrado del momento angular orbital, ¿qué re- sultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondien- tes probabilidades? ¿Cuál es el estado del átomo inmedia- tamente después de efectuar la medición?

2.38. Si se mide primero la energía y luego el cuadrado del momento angular orbital de un átomo de H en el estado |_ψ〉 = |n=1, l=0, m=0〉, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿Cuál es el estado del átomo inmediatamente después de efec- tuar las mediciones? ¿Cambia alguno de estos resultados si las mediciones se efectúan en orden inverso?

|_ψ〉 = (1/2) |n=1, l=0, m=0〉 + (1/2) |n=2, l=0, m=0〉

+ (1/_√2) eiπ/4 |n=2, l=1, m=0〉 (2.55) y se mide el cuadrado del momento angular orbital, ¿qué resultados pueden obtenerse y cuáles son las correspon- dientes probabilidades? ¿A qué estado se proyecta |_ψ〉 si el resultado de la medición es 2 ħ2?

2.40. Si el estado inicial del átomo de H está dado por la ec. (2.55) y se mide la energía, ¿qué resultados pueden obte- nerse y cuáles son las correspondientes probabilidades? ¿A qué estado se proyecta |_ψ〉 si el resultado de la medi- ción es E2 = −EI/4, donde EI es la energía de ionización?

2.41. Sean A y B dos observables que representan repectiva- mente las cantidades físicas compatibles A y B. Si el esta- do del sistema es

|_ψ〉 = c1,1 |a1, b1〉 + c1,2 |a1, b2〉 + c2,1 |a2, b1〉

+ c2,2 |a2, b2〉 (2.56)

donde a1 y a2 (b1 y b2) son los autovalores de A (B) y los

cuatro coeficientes c1,1, c1,2, c2,1 y c2,2 son no nulos, probar

que si se obtiene el mismo par de resultados (por ej. a1,

b2) el estado final del sistema es independiente del orden

en que se efectúan las mediciones; ver Fig. 2.1(a) y 2.1(b).

2.42. Si el estado inicial del átomo de H está dado por la ec. (2.55), primero se mide la energía y luego se mide el cua- drado del momento angular orbital, ¿cuáles son las proba- bilidades de los distintos pares de resultados? Si la medi- ción de la energía arroja el resultado E2 y la medición del

¿cuál es el estado del átomo al completar ambas medicio- nes? ¿Qué ocurre si las mediciones se efectúan en orden inverso y se obtienen los mismos resultados?

2.43. ¿Puede alguna de las mediciones referidas desde el ejerci- cio 2.37 hasta el ejercicio 2.42 ser calificada de proceso de preparación de estado?