Chapter 4: Laminar-Turbulence Transition
4.3 Application Test Cases
4.3.4 Flow past a Circular Arc
Los campos de tensiones obtenidos en el estudio estacionario para el caso B pueden observarse en las figuras 9.1 y 9.2, que son muy similares a las obtenidas para el caso A (figuras 8.1, 8.2). Las diferencias existentes se deben ´unicamente a que se han adoptado valores diferentes de porosidad, y por tanto el peso efectivo del terreno es distinto.
En cuanto a las presiones de poro, se obtiene la misma gr´afica que para el caso A (figura 8.3), puesto que se obtiene una distribuci´on hidrost´atica de presiones.
9.1. Resultados para el estudio estacionario 95
Par´ametro S´ımbolo Valor Justificaci´on
Ancho del ´area de estudio a 20 km
´
Area suficientemente grande
Profundidad del ´area de estudio b 9 km
Espesor de los labios de cada falla aux 100 m Calibraci´on del modelo
Buzamiento de la falla superior α1 15◦
Simplificaci´on del corte de Ruiz (2006, [47]). Origen de coordenadas en la esquina superior izquierda
del ´area de estudio.
Longitud de la falla superior L1 8000 m
Abscisa de la esquina inferior izquierda de la falla superior
X1 6000 m
Ordenada de la esquina inferior izquierda de la falla superior
Y1 -1600 m
Buzamiento de la falla inferior α2 33◦
Longitud de la falla inferior L2 12000 m
Abscisa de la esquina inferior izquierda de la falla inferior
X2 2600 m
Ordenada de la esquina inferior izquierda de la falla inferior
Y2 -1600 m
Profundidad de la franja permeable hp 8500 m
Espesor de la franja permeable bp 1500 m
Posici´on de la franja permeable Xp 11 km Desplazada a la derecha
M´odulo el´astico del terreno E 1·1010 Pa
Valores habituales
Coeficiente de Poisson del terreno ν 0.25
Coeficiente tect´onico Kt 0.61 Valor propio de una falla normal.
Densidad del terreno ρt 2500 kg/m3 Valor habitual en rocas.
M´odulo de cortante G 4·109 Pa = E
2(1+ν) Coeficiente de fricci´on est´atica en
el extremo de la falla inferior
µext 0.7
Calibraci´on del modelo Incremento de la fricci´on est´atica
a lo largo de la falla inferior
∆µ 0.25
Par´ametrosRate and State
a 0.005
Calibraci´on del modelo.
b 0.02
L 10−4
96 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
Par´ametro S´ımbolo Valor Justificaci´on
Peso de la presa Pp 3,5·1010N Datos tomados del Informe del
Colegio de Ge´ologos
Longitud de la presa Lp 160 m
Carga puntual debida a la presa Qp 2.1875·108N =Pp/Lp
Velocidad de propagaci´on de las ondas S cS 1264.91 m/s = q G ρt Coeficiente de amortiguamiento por radiaci´on η 1581138.83 Pa·s/m = G 2cS
Densidad del fluido ρf 1000 kg/m3
Valores habituales para el agua Viscosidad din´amica del fluido µf 0.001 Pa s
Compresibilidad del fluido χf 4·10−10 Pa−1
Porosidad del terreno φ 0.24 Valor dentro de los m´argenes admisibles Densidad efectiva del medio poroso ρb 2140 kg/m3 =φ·ρf+ (1−φ)·ρt
Permeabilidad de la zona exterior K1 10−17 m2
M´aximo valor admisible para margas y areniscas Permeabilidad de la zona permeable K2 10−12 m2
M´ınimo valor admisible para calizas y dolom´ıas Permeabilidad de la falla superior K3 10−12 m2 Calibraci´on del modelo
Permeabilidad de la falla inferior K4 5·10−16m2 Permeabilidad sismog´enica
Coeficiente de Biot-Willis αB 1 Valor habitual en suelos
Altura de la semilla P 0.9·105 Pa
Calibraci´on del modelo
Ancho de la semilla D 500 m
Recentrado de la semilla R 1700 m
Tiempo de inicio de semilla (sin contar el prellenado)
T0 120 d´ıas
Tiempo de semilla completa (sin contar el prellenado)
T 260 d´ıas
Tiempo de prellenado Tpr 182.5 d´ıas
9.1. Resultados para el estudio estacionario 97
Figura 9.2: Componente horizontal del tensor de tensiones para el estudio estacionario.
9.1.2.
Desplazamientos relativos en las fallas
De nuevo, en el c´alculo estacionario no se obtienen desplazamientos para ninguna de las fallas (figuras 9.3 y 9.4), salvo por el ruido num´erico en los extremos.
9.1.3.
Curvas de tensi´on tangencial y capacidad resistente tangen-
cial
En este caso, la falla superior (figura 9.6) se mantiene demasiado alejada del fallo como para que las variaciones de tensi´on puedan desencadenar el deslizamiento, mientras que en la falla inferior (figura 9.5) las curvas est´an muy pr´oximas, lo cual significa que aunque de momento se mantiene el equilibrio al no igualarse la tensi´on con la resistencia, este equilibrio es inestable y susceptible de romperse ante cualquier perturbaci´on.
98 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
Figura 9.3: Desplazamiento en la falla inferior para el estado estacionario
9.1. Resultados para el estudio estacionario 99
Figura 9.5: Tensi´on tangencial (curva inferior) y capacidad resistente (curva superior) a lo largo de la falla inferior. Se ha a˜nadido la imagen inferior para ver con m´as claridad que las curvas no llegan a tocarse, aunque est´an muy pr´oximas.
100 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
Figura 9.6: Tensi´on tangencial (curva inferior) y capacidad resistente (curva superior) a lo largo de la falla superior.
9.2.
Resultados para el estudio dependiente del tiempo
9.2.1.
Campo de tensiones
Como se ha explicado anteriormente, para poder visualizar los resultados debe representarse el incremento de tensiones entre los resultados del estudio estacionario y el instante que se quiera estudiar, que en este caso es el final de la simulaci´on (1500 d´ıas). Esto queda representado en las figuras 9.7 y 9.8.
Los incrementos de tensiones son del mismo orden de magnitud que en el caso A, pero ahora el estado tensional previo en la falla inferior es mucho m´as pr´oximo al desequilibrio, de manera que estas fluctuaciones de tensi´on relativamente peque˜nas pueden desencadenar el fallo.
9.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 101
Figura 9.7: Variaci´on de la componente vertical del tensor de tensiones entre el instante inicial y final de la simulaci´on.
Figura 9.8: Variaci´on de la componente horizontal del tensor de tensiones entre el instante inicial y final de la simulaci´on.
102 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
Figura 9.9: Incremento de la presi´on de poro entre el instante inicial y final de la simulaci´on.
9.2.2.
Campo de presiones de poro
La figura 9.9 muestra la diferencia entre el valor de presi´on de poro al final de la simulaci´on y el resultado del estudio estacionario.
Como en el caso A, la variaci´on de la presi´on de poro es inferior en orden de magnitud al estado tensional previo, pero en este caso puede ser suficiente para desecandenar el movimiento, al estar la falla inferior tan cercana al fallo antes del comienzo del llenado del embalse.
9.2.3.
Desplazamientos relativos en las fallas
Las figuras 9.10 y 9.11 muestran los desplazamientos relativos entre los labios de las fallas inferior y superior, respectivamente.
Para la falla superior, y al igual que en el caso anterior, el desplazamiento es nulo, ya que el estado tensional previo (figura 9.6) est´a muy alejado del fallo, de forma que la falla es suficientemente estable.
9.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 103
Figura 9.10: Desplazamiento en la falla inferior para el estado estacionario
cm. Sin embargo, y como se ha indicado al inicio de este cap´ıtulo, este desplazamiento
no es debido a un terremoto, sino que es de tipo creep, ya que no ocurre de manera repentina sino a lo largo de varios d´ıas.
9.2.4.
Incremento de tensi´on en las fallas
De nuevo, se representa la evoluci´on de la diferencia entre la tensi´on normal y la presi´on de poro, que se representa en las figuras 9.12 y 9.13.
9.2.5.
Velocidad de deslizamiento en la falla superior
La velocidad, junto con la evoluci´on del paso de tiempo a lo largo de la simulaci´on, es lo que permite distinguir este movimiento como creep.
Aunque en este caso se produce el deslizamiento, la velocidad se mantiene igual a la velocidad de referencia, V0, durante toda la simulaci´on, como puede observarse en la figura 9.14.
104 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
Figura 9.11: Desplazamiento en la falla superior para el estado estacionario
Figura 9.12: Incremento de la diferencia de la presi´on de poro y la tensi´on normal en la falla inferior a los 500, 1000 y 1500 d´ıas.
9.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 105
Figura 9.13: Incremento de la diferencia de la presi´on de poro y la tensi´on normal en la falla superior a los 500, 1000 y 1500 d´ıas.
106 Cap´ıtulo 9. Caso B: Deslizamiento as´ısmico.
que aunque se produce un cierto deslizamiento a lo largo de un tiempo prolongado, no se produce la rotura abrupta que ser´ıa propia de un evento s´ısmico.
Cap´ıtulo 10
Caso C
Comprende aquellas simulaciones en que se ha conseguido un movimiento s´ısmico, que se pro- duce de forma brusca durante un tiempo relativamente corto (cuesti´on de minutos). En un principio se produce un peque˜no reptado que alcanza una amplitud m´axima de 3 mm, pero posteriormente se supera la velocidad de referencia y el paso de tiempo se reduce de forma considerable, obteni´endose un desplazamiento m´aximo de 20 cm y liber´andose una energ´ıa que equivale a una magnitud de 4.04 en la escala de momento s´ısmico, un valor razonablemente pr´oximo al sismo de 4.6mb(Lg) que se registr´o en Itoiz.
Los par´ametros adoptados para este caso est´an recogidos en la tabla 10.1
10.1.
Resultados para el estudio estacionario
10.1.1.
Campos de tensiones y presiones de poro
De nuevo, se obtienen campos de tensiones muy similares a los obtenidos para los dos casos anteriores, con un valor m´aximo ligeramente diferente debido a que la porosidad adoptada es distinta.
En cambio, las presiones de poro son id´enticas a las obtenidas en los casos anteriores (figura
108 Cap´ıtulo 10. Caso C
Par´ametro S´ımbolo Valor Justificaci´on
Ancho del ´area de estudio a 20 km
´
Area suficientemente grande
Profundidad del ´area de estudio b 9 km
Espesor de los labios de cada falla aux 100 m Calibraci´on del modelo
Buzamiento de la falla superior α1 15◦
Simplificaci´on del corte de Ruiz (2006, [47]). Origen de coordenadas en la esquina superior izquierda
del ´area de estudio.
Longitud de la falla superior L1 8000 m
Abscisa de la esquina inferior izquierda de la falla superior
X1 6000 m
Ordenada de la esquina inferior izquierda de la falla superior
Y1 -1600 m
Buzamiento de la falla inferior α2 26◦
Longitud de la falla inferior L2 12000 m
Abscisa de la esquina inferior izquierda de la falla inferior
X2 2600 m
Ordenada de la esquina inferior izquierda de la falla inferior
Y2 -1650 m
Profundidad de la franja permeable hp 8500 m
Espesor de la franja permeable bp 1000 m
Posici´on de la franja permeable Xp 10 km Centrada en el ´area de estudio
M´odulo el´astico del terreno E 1·1010 Pa
Valores habituales
Coeficiente de Poisson del terreno ν 0.25
Coeficiente tect´onico Kt 0.51 Valor propio de una falla normal.
Densidad del terreno ρt 2500 kg/m3 Valor habitual en rocas.
M´odulo de cortante G 4·109 Pa = E
2(1+ν) Coeficiente de fricci´on est´atica en
el extremo de la falla inferior
µext 0.85
Calibraci´on del modelo Incremento de la fricci´on est´atica
a lo largo de la falla inferior
∆µ 0.45
Par´ametrosRate and State
a 0.008
Calibraci´on del modelo.
b 0.01
L 10−4
10.1. Resultados para el estudio estacionario 109
Par´ametro S´ımbolo Valor Justificaci´on
Peso de la presa Pp 3,5·1010N Datos tomados del Informe del
Colegio de Ge´ologos
Longitud de la presa Lp 160 m
Carga puntual debida a la presa Qp 2.1875·108N =Pp/Lp
Velocidad de propagaci´on de las ondas S cS 1264.91 m/s = q G ρt Coeficiente de amortiguamiento por radiaci´on η 1581138.83 Pa·s/m = G 2cS
Densidad del fluido ρf 1000 kg/m3
Valores habituales para el agua Viscosidad din´amica del fluido µf 0.001 Pa s
Compresibilidad del fluido χf 4·10−10 Pa−1
Porosidad del terreno φ 0.1 Valor dentro de los m´argenes admisibles Densidad efectiva del medio poroso ρb 2140 kg/m3 =φ·ρf+ (1−φ)·ρt
Permeabilidad de la zona exterior K1 10−14 m2
Valor admisible para margas y areniscas Permeabilidad de la zona permeable K2 10−12 m2
M´ınimo valor admisible para calizas y dolom´ıas Permeabilidad de la falla superior K3 10−12 m2 Calibraci´on del modelo
Permeabilidad de la falla inferior K4 5·10−14m2 Permeabilidad sismog´enica
Coeficiente de Biot-Willis αB 1 Valor habitual en suelos
Altura de la semilla P 0.9·105 Pa
Calibraci´on del modelo
Ancho de la semilla D 500 m
Recentrado de la semilla R 1700 m
Tiempo de inicio de semilla (sin contar el prellenado)
T0 120 d´ıas
Tiempo de semilla completa (sin contar el prellenado)
T 260 d´ıas
Tiempo de prellenado Tpr 182.5 d´ıas
110 Cap´ıtulo 10. Caso C
Figura 10.1: Componente vertical del tensor de tensiones para el estudio estacionario.
8.3) pese a haber modificado la permeabilidad de la zona exterior y la falla inferior. C´omo se ha indicado en el cap´ıtulo 6 y posteriormente en el 9, antes de la actuaci´on la ley de presi´on de poro es la correspondiente a un r´egimen hidrost´atico, independientemente de los valores de permeabilidad que se adopten.
10.1.2.
Desplazamientos relativos en las fallas
Como en los casos A y B, en el c´alculo estacionario no se obtienen desplazamientos para ninguna de las fallas (figuras 10.3 y 10.4), salvo por el ruido num´erico en los extremos.
10.1.3.
Curvas de tensi´on tangencial y capacidad resistente tangen-
cial
Igual que ocurre para el caso B, la falla superior (figura 10.6) se mantiene demasiado alejada del fallo como para que las variaciones de tensi´on puedan desencadenar el deslizamiento, mientras que en la falla inferior (figura 10.5) las curvas est´an muy pr´oximas, luego el equilibrio es inestable
10.1. Resultados para el estudio estacionario 111
Figura 10.2: Componente horizontal del tensor de tensiones para el estudio estacionario.
112 Cap´ıtulo 10. Caso C
Figura 10.4: Desplazamiento en la falla superior para el estado estacionario
y susceptible de romperse ante cualquier perturbaci´on.
10.2.
Resultados para el estudio dependiente del tiempo
10.2.1.
Campo de tensiones
Una vez m´as, para poder visualizar los resultados debe representarse el incremento de tensiones entre los resultados del estudio estacionario y el instante que se quiera estudiar, que en este caso es en el momento en que se produce la rotura (1500 d´ıas). Esto queda representado en las figuras 10.7 y 10.8.
Los incrementos de tensiones son del mismo orden de magnitud que en los casos anteriores.
10.2.2.
Campo de presiones de poro
La figura 10.9 muestra la diferencia entre el valor de presi´on de poro en el momento en que se produce la rotura y el resultado del estudio estacionario.
10.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 113
Figura 10.5: Tensi´on tangencial (curva inferior) y capacidad resistente (curva superior) a lo largo de la falla inferior. Se ha a˜nadido la imagen inferior para ver con m´as claridad que las curvas no llegan a tocarse, aunque est´an muy pr´oximas.
114 Cap´ıtulo 10. Caso C
Figura 10.6: Tensi´on tangencial (curva inferior) y capacidad resistente (curva superior) a lo largo de la falla superior.
Figura 10.7: Variaci´on de la componente vertical del tensor de tensiones entre el instante inicial y final de la simulaci´on.
10.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 115
Figura 10.8: Variaci´on de la componente horizontal del tensor de tensiones entre el instante inicial y final de la simulaci´on.
116 Cap´ıtulo 10. Caso C
Figura 10.10: Desplazamiento en la falla inferior para el estado estacionario
Cabe destacar que, como en los casos anteriores, el incremento de presi´on de poro es del orden del 10 % de la carga aplicada en superficie (unos 50 MPa), tal y como indicaba de forma orientativa McGarr (2002, [34]), y dos ´ordenes de magnitud menos que las tensiones iniciales, luego para que el sismo llegue a producirse es necesario que el estado previo al llenado del embalse sea muy pr´oximo a la rotura.
10.2.3.
Desplazamientos relativos en las fallas
Las figuras 10.10 y 10.11 muestran los desplazamientos relativos entre los labios de las fallas inferior y superior, respectivamente.
Para la falla superior, y al igual que en los dos casos anteriores, el desplazamiento es pr´acti- camente nulo, aunque aparecen ciertas oscilaciones que pueden deberse a errores en el c´alculo num´erico al iniciarse la rotura. En cualquier caso, estos movimientos tienen una amplitud des- preciable.
En cambio, para la falla inferior se produce un deslizamiento considerable que alcanza un valor m´aximo de 20 cm. Este deslizamiento se produce de forma s´ubita, y se extiende a lo largo de
10.2. Resultados para el estudio dependiente del tiempo 117
Figura 10.11: Desplazamiento en la falla superior para el estado estacionario
una longitud de unos 1200 m.
En cuanto a la magnitud, se ha empleado la escala de magnitud momento (Mw), introducida
en 1979 por Hanks y Kanamori, y que est´a muy extendida porque, a diferencia de otras escalas logar´ıtmicas, no satura para magnitudes elevadas. Esta escala est´a definida por la siguiente f´ormula: Mw = 2 3 log10 M0 N ·m −9,1 (10.1)
dondeM0 =GAu, siendo G el m´odulo de cortante,Ala integral de la gr´afica de desplazamientos,
que es igual a 182.65 m2, y u un ancho representativo de la falla que se ha tomado de 2 km.
Con esos valores, se obtiene una magnitud igual a 4.04, razonablemente pr´oxima al 4.6 que registr´o el evento principal de Itoiz.
118 Cap´ıtulo 10. Caso C
10.2.4.
Incremento de tensi´on en las fallas
En este caso, para la falla superior se representa, en la figura 10.13 la evoluci´on de la diferencia entre la tensi´on normal y la presi´on de poro, como se ha hecho para ambas fallas en los casos A y B.
En cambio, para la falla inferior se representan en la figura 10.12 las curvas de tensi´on y resistencia en el momento en que se produce la rotura. La segunda imagen muestra la diferencia entre la tensi´on normal y la presi´on de poro, como en el resto de casos. En ambas gr´aficas aparecen l´ıneas quebradas debido a las variaciones bruscas de resistencia friccional y tensi´on a lo largo de la zona de rotura al iniciarse el movimiento.
10.2.5.
Velocidad de deslizamiento en la falla superior
A diferencia del caso B, en el C se supera la velocidad de referencia,V0, como puede observarse
en la figura 10.14.
De esta manera, se inicia el debilitamiento friccional calculado mediante la ley de Rate and State, lo cual permite que finalmente se produzca la rotura abrupta que es propia de un evento s´ısmico.