Ejercicios
Ejercicio 1. (a) Las bisectrices externas de los ángulos de un triángulo intersectan los lados opuestos en tres punto colineales.
(b) Dos bisectrices internas y la bisectriz externa del tercer ángulo de un triángulo intersectan los lados opuestos en tres puntos colineales.
Ejercicio 2. Las seis bisectrices de los ángulos de un triángulo determinan en los lados opuestos seis puntos, los cuales están por ternas en cuatro líneas rectas.
Ejercicio 3. Los lados del triángulo órtico intersectan a los lados del triángulo dado en tres puntos colineales.
Sugerencia. Los lados del triángulo son bisectrices externas del triángulo órtico.
Ejercicio 4. Demuestre que, si una línea que pase por el centroide G del triángulo ABC intersecta AB en M y AC en N , entonces en magnitud y en signo, AN M B + AM N C = AM AN:
Sugerencia. SiA0 es el punto medio de BC, aplique el Teorema de Menelao a los triángulosAA0C y ABA0 con transversalM N. Recuerde también queAG = 2GA0.
Ejercicio 5. Sean ABC un triángulo, M y N puntos sobre AB y CA: (a) Muestre que el centroide G de ABC está sobre M N si y sólo si BM
M A+ AN N C = 1:
(b) Muestre que si G está sobre M N; BMM A ANN C 14:
Sugerencia. ConsidereF la intersección deM N con la mediatrizAA0 y las proyeccionesB0; C0 deB; CsobreM N; vea queBB0+ CC0 = 2A0F:
Ejercicio 6: Dos segmentos iguales AE, AF son marcados sobre los lados AB, AC del triángulo ABC. Demuestre que la mediana trazada desde A divide EF en la razón de los lados AC, AB.
Sugerencia. SiAA0 es la mediana desdeA,J = AA0 EF yG = BC EF, aplique el Teorema de Menelao a los triángulosEBGyF CG, con la transversalAP A0.
Ejercicio 7. Con un punto M del lado BC del triángulo ABC como centro, se trazan círculos que pasen por B y por C, intersectando también a AB, AC, en N , P respectivamente. ¿Para qué posiciones de M , las líneas AM , BP , CN , son concurrentes?
Sugerencia. Considere las intersecciones deBC con las mediatrices deAByAC.
Ejercicio 8. Si el incírculo del triángulo ABC toca los lados BC, CA, AB en los puntos X, Y , Z, y M es el punto de intersección de AX, BY , CZ. Muestre que AM
M X =
a(s a)
(s a)(s c); demuestre también que AM M X BM M Y CM M Z = 4R r :
Sugerencia. Aplique el Teorema de Menelao al triánguloAXB con transversalCM Z. Recuerde las fórmulas del área del triángulo. rs = abc4R =ps(s a)(s b)(s c):
Ejercicio 9. Demuestre que la suma de los recíprocos de las tres cevianas que pasan por el circuncentro de un triángulo es igual al doble del recíproco del circunradio.
Ejercicio 10. Si las alturas AD, BE, CF , del triángulo ABC intersectan al circuncírculo de ABC también en P , Q, R, demuestre que: AP AD+ BQ BE + CR CF = 4:
Sugerencia. Use los corolarios de la sección 7.
Ejercicio 11. Las paralelas a los lados de un triángulo ABC por un mismo punto M , intersectan a las respectivas medianas en P; Q; R: Demuestre que en magnitud y signo GPGA +GQGB +GRGC = 0, donde G es el baricentro del triángulo ABC.
Sugerencia. Use los corolarios de la sección 7.
Ejercicio 12. Los circundiámetros AP , BQ, CR de un triángulo ABC intersectan los lados BC, CA, AB, en los puntos K, L, M . Demuestre que:
KP AK + LQ BL+ M R CM = 1:
Sugerencia. Observe primero que KPAK =APAKAK = AK2R 1, etcétera. Use ahora el ejercicio 9.
Ejercicio 13. Sea ABC un triángulo, una circunferencia corta a los lados BC; CA; AB en L y L0; M y
M0; N y N0; respectivamente. Muestre que AL; BM; CN son concurrentes si y sólo si AL0; BM0; CN0 son
concurrentes.
Sugerencia. Use la potencia de los vértices a la circunferencia.
Ejercicio 14. Dos paralelogramos ABCD y A0BC0D0 tienen un ángulo común en B: Muestre que AC0; A0C y DD0 son concurrentes.
Ejercicio 15. Dos puntos L y L0 sobre una recta por B y C se dirán isotómicos con respecto a BC; si son
simétricos con respecto al punto medio de BC: Sean L y L0, M y M0; N y N0puntos isotómicos con respecto
a BC; CA; AB; respectivamente. Muestre que AL; BM; CN son concurrentes si y sólo si AL0; BM0; CN0
son concurrentes. Los puntos de concurrencia se conocen como puntos isotómicos conjugados. (Los puntos de Gergonne y de Nagel son isotómicos conjugados).
Ejercicio 16. Sean L y L0, M y M0; N y N0puntos isotómicos con respecto a BC; CA; AB; respectivamente.
Muestre que L; M; N son colineales si y sólo si L0; M0; N0 son colineales. Las rectas donde se encuentran las
ternas de puntos se llaman transversales recíprocas.
Ejercicio 17. Sea L y L0puntos sobre la recta por B y C; si las rectas AL y AL0son simétricas con respecto a la bisectriz del6 BAC; se dirán que son isogonales con respecto a6 BAC: Sean AL y AL0; BM y BM0; CN y CN0 rectas isogonales con respecto a los ángulos A; B; C del triángulo ABC; respectivamente. Muestre
que AL; BM; CN son concurrentes si y sólo si AL0; BM0; CN0 son concurrentes. Los puntos de concurrencia
se conocen como puntos isogonales conjugados. (El ortocentro y el circuncentro son isogonales conjugados. Las rectas isogonales de las medianas se llaman simedianas, el punto de concurrencia de las simedianas se llama el punto simediano)
Ejercicio 18. Sean AL y AL0; BM y BM0; CN y CN0 rectas isogonales con respecto a los ángulos A; B; C
Problemas
Problema 1.
Una circunferencia que pasa por los vértices B y C del triángulo ABC, corta a AB en P y corta a CA en R. Si Q es el punto de intersección de P R con BC, muestre que QCQB =CR CABP BA:
Sugerencia: QP R es una transversal al triángulo ABC; use también la potencia de A con respecto a la circunferencia.
Problema 2.
Los lados AB y CD de un cuadrilátero convexo ABCD, se intersectan en P , mientras que los lados BC y DA se intersectan en Q: Las diagonales AC y BD cortan a P Q en L y L0 respectivamente. Muestre que
P L LQ=
P L0 L0Q:
Sugerencia. En el triángulo P QC, P B, QD y CL son concurrentes y DBL0 es una transversal.
Problema 3.
El incírculo de un triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en L, M y N respectivamente. Si M N intersecta a BC en P , N L intersecta a CA en Q y M L intersecta a AB y R, muestre que P , Q y R son colineales.
Sugerencia. Muestre primero que AL, BM y CN son concurrentes, después vea que los triángulos ABC y LM N están en perspectiva.
Problema 4
Sean AD, BE y CF las alturas del triángulo ABC y sean L, M y N las intersecciones de BA con EF , de CA con DF y de AB con DE. Muestre que L, M y N son colinales.
Sugerencia. Los triángulos ABC y DEF están en perspectiva desde H. Problema 5.
Una línea corta a los lados AB, BC, CD y DA de un cuadrilátero ABCD en K, L, M y N respectivamente. Muestre que AK KB BL LC CM M D DN N A = 1: Problema 6.
Si N y M son puntos sobre los lados AB y CA del triángulo ABC, de manera que M N es paralela a BC y si BM y CN se intersectan en P . Muestre que AP es una mediana.
Problema 7.
Dado un segmento de línea BC y su punto medio A0 Trazar con regla solamente, por un punto dado N la
línea paralela a BC. Problema 8.
Dados dos segmentos paralelos BC y M N , encontrar el punto medio de BC, usando solamente regla. Problema 9.
Si A0 es el punto medio del lado BC de un triángulo ABC, M y N se encuentran sobre los lados CA y AB,
Problema 10.
Sean A0, B0, C0 los puntos medios de los lados BC, CA y AB del triángulo ABC. Sean D, E, F puntos sobre tales lados de manera que AD, BE, CF son concurrentes. Si P , Q y R son los puntos medios de AD, BE y CF respetivamente, muestre que P A0, QB0 y RC0 son concurrentes.
Problema 11.
Si en el problema anterior, X, Y y Z son los puntos medios de EF , F D y DE respectivamente. Demuestre que AX, BY , CZ son concurrentes y que A0X, B0Y y C0Z son concurrentes.
Problema 12.
Sea A0 la proyección del centro de una circunferencia sobre uan recta dada l: Sean B y C sobre l; de manera
que BA0= A0C: Por B y C se trazan secantes a la circunferencia que corten en P; Q y M; N respectivamente.
Supongamos que las rectas N P y M Q cortan a l en los puntos R y S: Muestre que RA0= A0S:
Problema 13.
Desde un punto del circuncírculo del triángulo equilátero ABC; se trazan rectas paralelas a BC; CA; AB las cuales cortan a CA; AB; BC en los puntos M; N; L, respectivamente. Muestre que M; N y L son colineales. Problema 14.
Sean ABC un triángulo y M; N puntos sobre CA; AB; respectivamente. Muestre que, (i) el centroide G está sobre M N si y sólo si N B
AN + M C AM = 1:
(ii) el incentro I está sobre M N si y sólo si bN BAN + cM CAM = a:
(iii) el ortocentro H está sobre M N si y sólo si tanBN BAN + tanCM CAM = tanA: (iv) el centroide O está sobre M N si y sólo si sen2BN B
AN + sen2C M C
AM = sen2A:
Sugerencias. (i)siAL es mediana,BL = LC = 12BC yAG = 2GL: (ii)siAL es bisectriz interna,BL = b+cac ; LC = ab
b+c; LI AI =
a
b+c: (iii)siADes alturaBD = DH tanC; DC = DH tanByBC = AH tanA: (iv)use la ley de los senos.
Problema 15.
En un triángulo acutángulo ABC; BE y CF son alturas, BM y CN son bisectrices y los puntos I y O son el incentro y circuncentro del triángulo. Muestre que E; I; F son colineales si y sólo si M; O; N son colineales.
Sugerencia. Use Cristea, para ver que las dos colinealidades son equivalentes a cosBcosA +cosCcosA = 1:
Problema 16.
Sea ABC un triángulo y AL; BM; CN cevianas concurrentes. Sean P; Q; R puntos sobre LM; M N; N L respectivamente. Muestre que AQ; BR; CP concurren si y sólo si LQ; M R; N P concurren.
Problema 17.
Sea ABC un triángulo, los puntos X; Y; Z son tales que 6 ABZ = 6 XBC; 6 BCX = 6 Y CA; 6 CAY =