2 T HEORETICAL BACKGROUND
2.2 Forecasting Methods
Si un individuo contrata una renta o un seguro, la empresa aseguradora se estará comprometiendo a tener en un momento “n” la cantidad de dinero pactada; bien para pagarlo de golpe, o bien para repartirlo en forma de una renta. La cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener guardado en cada
momento es lo que se conoce como la provisión matemática y crecerá en el tiempo a medida que se acerque el momento de realizarse la prestación.
Si la empresa aseguradora tiene la provisión matemática correcta estará siendo eficiente. Si tuviera más provisión matemática de la que debería tener, está guardando un exceso de capital que le resta
competitividad, y si tuviera menos provisión de la que debiera tener, entonces tiene un problema de solvencia y sostenibilidad.
La provisión entonces es aquel importe que debe tener la empresa aseguradora en un momento
determinado, teniendo en cuenta las primas que aún tiene que recibir y los pagos obligados que hará más adelante.
En el caso más sencillo, el de la prima única y prestación única, la empresa aseguradora recibe un capital en un momento t=0, lo capitaliza durante n periodos, y en t=n se lo devuelve al asegurado. La provisión matemática en este caso es, en t=0, la propia prima que acaba de cobrar, porque la gracia de todo lo visto anteriormente es sacarle rendimiento a este capital año a año. En cualquier momento intermedio t=r entre el cobro de la prima y el pago del capital diferido, la provisión matemática será
1. el valor capitalizado hasta “r” de esa prima única, 2. o lo mismo: el valor en r de la prestación a pagar.
Y cuando se llega al momento t=n, la prima única se ha capitalizado todos estos años hasta convertirse en el capital que desembolsará la empresa aseguradora.
Si lo que se contrata es un seguro de fallecimiento, puede parecer un problema que el asegurado fallezca antes de que las primas pagadas se hayan capitalizado lo suficiente como para poder convertirse en el capital pactado. Esto es inevitable, pero se soluciona con una amplia cartera de clientes y con la suma de recargos. En el caso de las rentas de jubilación, el asegurado se obliga a pagar una serie de primas para recibir en un futuro una renta por parte de la aseguradora. En el momento t=0 la empresa aseguradora tendrá una provisión igual a cero, ya que espera recibir todas las primas por parte del asegurado. En un momento t=r, mientras el asegurado está pagando primas, la empresa aseguradora tendrá ya guardadas (y rindiendo) las primas ya pagadas, estará pendiente de recibir las primas que restan y tendrá en el horizonte el valor de la renta a pagar. En este momento la provisión matemática; el dinero que la entidad debe tener para garantizar la solvencia de la operación, se puede obtener como:
1. las primas ya cobradas y su rendimiento obtenido
2. la diferencia entre el valor en “r” de la renta de jubilación y las primas que sabe que tiene aún que cobrar. El problema de 1. es que es difícil saber cuál es el rendimiento obtenido. El cálculo de la reserva matemática siempre se hará por el método prospectivo, el 2.
De esta forma, se cumple que al aproximarse al momento de iniciar la renta de jubilación el valor de la provisión va en aumento hasta tocar su máximo. A partir de que se empiece a pagar la renta de jubilación, la cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener disponible va descendiendo, hasta llegar a un mínimo a medida que el individuo se aproxima al final de la renta o al infinito actuarial.
Las primas que ya se han pagado las guarda la empresa aseguradora y las va capitalizando con el paso del tiempo. Así que existe un momento inicial (todas las valoraciones hechas anteriormente), un momento final (donde la empresa ya dispondrá de todo el capital necesario para afrontar el pago al que se ha
comprometido), y todo el resto de momentos intermedios (donde a la empresa aseguradora cada vez irá recibiendo más primas hasta poder hacer frente al pago.
Si tenemos en cuenta el equilibrio actuarial:
Cuando calculamos la provisión matemática se tendrá:
En t=0, al inicio: No existe aún provisión porque la aseguradora está pendiente de recibir todas las primas; aún no ha recibido ningún pago.
En t=n, al final:
Las primas se habrán capitalizado hasta convertirse en la prestación: En t=r, en un momento intermedio: 1.
La provisión en las rentas
La provisión tendrá como expresión: un valor, para un individuo de edad x en un periodo r. Las primas serán P
Los pagos de una renta de jubilación serán La provisión mientras se pagan las primas:
Si se contrata una renta constante, vitalicia, diferida m, y para ella pagamos k primas, y todo es prepagable, la ecuación de equilibrio que nos daría el valor de las P sería:
De forma que pagando desde el momento inmediato hasta el año k, un total de k primas de valor P, se obtiene una renta desde el año m y hasta el infinito de α cada pago.
Si ahora llegamos al segundo año (r=2), cuál es el valor de la provisión matemática?
Por el método retrospectivo la reserva matemática sería el valor de las tres primas ya pagadas (porque son prepagables; una en el periodo cero, otra en el periodo uno, la tercera en el periodo dos), pero existe el problema de qué tipo de interés hay que suponer.
Y se leería como que la valoración en el periodo 2 de la provisión matemática del individuo x es igual al valor de la renta: corrigiendo que faltan dos años menos para que se inicie y que ahora el individuo tiene dos años más. Menos las primas pendientes: que es la prima inicial pero con 3 primas menos y corrigiendo también que ahora el individuo ya tiene dos años más.
En este punto ya se puede intuir un problema: cuando hablamos de “provisión matemática en el periodo 2” hay que concretar si ya se ha pagado la prima o si aún no se ha pagado.
Si nos referimos a que aún no se ha pagado la prima se entiende que estamos a un instante de pagarla; es el límite por la izquierda, es decir, se ha completado todo el primer periodo y estamos a un paso infinitesimal de iniciar el segundo periodo. Se expresa .
Si se acaba de pagar la prima, es que justo estamos en el instante donde se ha iniciado el segundo periodo. Es el límite por la derecha, en el sentido de que justo estamos iniciado el segundo periodo, y se expresa
Como es el momento exacto donde lo único que falta es pagar la prima, entonces, de forma general:
El ejemplo anterior, visto desde el límite por la izquierda se expresaría:
La provisión mientras se paga la renta:
Si ya ha pasado el periodo de recibir primas, y se ha iniciado la prestación, la aseguradora ahora espera ir pagando una renta hasta que el individuo fallezca o se llegue al final del plazo pactado. Por lo tanto ahora la provisión matemática irá decreciendo en el tiempo porque cada vez se espera pagar menos.
La provisión matemática, por el límite de la izquierda ahora será aquella provisión un instante antes de efectuar el pago de α, por ejemplo, si se hiciera el periodo 4 después de iniciarse la renta:
Y se lee como que el valor de la provisión en el periodo cuatro antes de pagar la renta de ese año es el valor de todas las pagas pendientes incluyendo el pago que se tendrá que hacer ya mismo: esto es una renta prepagable, inmediata, de un individuo con edad x+m+4, y por el precio de la prestación = α.
Si se calcula el límite por la derecha, se acaba de hacer ya mismo el pago de la renta que tocaba ese año, por lo que queda por pagar es una renta (que empieza el siguiente periodo), de pagos con valor= α, y para un individuo de edad x+m+4. Esto es: una renta pospagable:
Y se cumple que lo más inmediato tiene más valor:
La provisión en un periodo intranual:
Si nos encontramos en un momento τ entre “r-1” y “r”, sin importar si se está pagando primas o prestación, la provisión matemática en ese momento será como tomar el valor de la provisión en el límite de la izquierda y capitalizarlo hasta τ.
2.
0 k primas prepagables (de 0 a k-1) k-1 k m m+n-1 m+n Seguro C cubre de k a m Renta de n α prepagables de m a de (m a m+n-1)
Suponiendo que se contrata mediante el pago de una renta de primas inmediata, de k términos, y el seguro es de un capital C, diferido y vida entera, la ecuación de equilibrio es:
Como el seguro es continuo no se diferencia entre límites por la izquierda o la derecha; coinciden. La provisión durante la cobertura del seguro es:
Imaginando que estamos en el momento m+4:
La provisión intranual:
Suponiendo ahora que nos encontramos en un momento τ, entre m+3 y m+4, la provisión será:
3.
Ejemplos gráficos
Ejemplo 1:
Se contrata, mediante una renta de primas prepagables hasta k, un seguro C entre k y m, y una renta de m a m+n.
La ecuación de equilibrio será:
a) provisión matemática durante el periodo de pago de las primas:
Por el límite por la derecha, se ha pagado la prima del periodo r:
para el capital del seguro y la renta futura, hay que corregir el diferimiento y restar los “r” años que han pasado. Para las primas, si se ha pagado la prima del periodo ahora lo que queda es k-(r+1) primas, como no habrá pagado hasta el siguiente periodo: renta pospagable.
Por el límite por la izquierda, no se ha pagado la prima del periodo r:
El capital del seguro y la renta futura sufren las mismas correcciones que antes. Ahora para las primas; se han pagado “r” primas, falta la del periodo actual, de forma que queda una renta prepagable de k-r pagos. Además, como aún no se ha recibido la prima, el valor de es inferior al de
0
n primas prepagables (de 0 a n-1)
n-1 n m
Seguro de 0 a n que devuelve las primas
Capital C en m si vive b) provisión matemática durante el periodo de vigencia del seguro:
Ahora
La provisión será el valor del seguro inmediato y con vigencia durante m-r años, más la renta pendiente de pagar que se iniciará en m-r años y que dura n. En ambos, corrigiendo que ahora el individuo tiene x+r años. c) provisión matemática durante el periodo de la renta:
Ahora
La provisión matemática del límite por la izquierda; cuando aún no se ha realizado el pago del periodo,
Y por el límite por la derecha, cuando ya se ha realizado el pago del periodo,
Ejemplo 2:
Se contrata un capital cierto, que recibirá el asegurado o sus beneficiarios sí o sí en el año k (superior a n) pero sólo se pagará primas mientras viva y durante n periodos.
La ecuación de equilibrio será:
a) provisión en un momento r, mientras se pagan las primas, SI el individuo aún está vivo:
b) provisión en un momento r, después de haber pagado las primas, SI el individuo aún está vivo:
c) provisión en el momento de fallecimiento,
Para todo “r”, ya no se esperan cobrar primas y sólo queda el importe que se convertirá en C el año k
Ejemplo 3:
Mediante unas primas prepagables inmediatas y hasta el año n, se contrata un capital C en m a cobrar sólo si se llega vivo. Pero si se fallece antes de llegar a m, se devuelven las que se hayan pagado.
La ecuación de equilibrio será:
Lo que se tiene es que la renta de n primas de valor P permitirá tener un capital C, si se llega vivo a m, ó bien recuperar las primas que haya pagado si fallece antes de n, o bien recuperará todas las n primas de importe
P si fallece en el periodo que va de n (cuando termina de pagar las primas) a m (cuando cobraría el capital
C).
a) la provisión matemática en el periodo de pago de primas será: Por el límite de la derecha:
Por el límite de la izquierda:
b) la provisión matemática después de terminar de pagar las primas será:
Ejemplo 4:
Se contrata un seguro geométrico en β, diferido m, temporal n, pagando primas trimestrales hasta m crecientes en “h” cada año. Plantear el cálculo de la prima, y calcular las provisiones matemáticas en r<m y en m<r<m+n.
La ecuación de equilibrio es:
Ahora las primas no son “P * renta unitaria” sino que están dentro de la expresión:
y la función de intensidad de cuantía es:
de forma que la expresión de la renta de las primas es:
Pues bien, se puede descomponer en dos sumas: una que recoja la suma de las primas y otra que recoja la suma de los incrementos:
Donde se ha podido simplificar el ¼ con los 4P y los 4h. Y con esto ya será posible aislar la P. Ahora las provisiones.
En r<m, aún se están pagando primas, a partir de la ecuación de equilibrio,
la provisión matemática por el límite de la izquierda (aún no se ha pagado la prima), es:
Se complicaría un poquito si “r” no fuera entero, pero no vamos a llegar a tanto y suponemos que r=entero. La provisión matemática por el límite de la derecha (se acaba de pagar la prima), es:
En m<r<m+n, ya no hay primas,
El capital C se tiene que actualizar al crecimiento que haya registrado hasta r, y por esto se expresa
Ejemplo 5:
Se contrata un seguro de cuantía C creciente en h anualmente, inmediato y vida entera, a pagar mediante primas P anuales, constantes, inmediatas y temporales n. Se incluye que si se llega vivo al final del pago de las primas, te las devuelven. Plantear la ecuación de equilibrio y calcular la provisión en r<n-1, en r=n-1, y en r>n.
La ecuación de equilibrio,
La provisión en r<n-1, es decir, mientras se pagan las primas,
La provisión en r=n-1, justo en el periodo donde se paga la última prima,
En r>n-1, ya no se pagan más primas,
Ejemplo 6:
Se pagan unas primas anuales P, constantes, prepagables, inmediata y hasta k, para obtener un capital diferido C, en n, si llega vivo,… o bien cobrar un seguro M si fallece, inmediato y hasta n. Plantear la ecuación de equilibrio, y calcular la provisión en r<k-1,
La ecuación de equilibrio,
si se expresa en sumas, asumiendo la hipótesis de fallecimiento a mitad de periodo (porque sí),
2.2 Gastos
Hasta ahora se ha visto cómo relacionar las prestaciones con el pago de unas primas. Éstas podían ser primas únicas, o una renta de primas, pero en todo caso eran “primas puras”. Pero la realidad es que la gestión de la empresa aseguradora conlleva unos gastos internos y externos que también tienen que ser financiados por las primas; los gastos internos son aquellos que deben permitir que se cubran los gastos administrativos; los gastos externos son aquellos que recompensan al comercial que ha vendido el seguro, es una comisión.
Como los gastos internos son de la administración del contrato de seguro se deben valorar a lo largo de toda la existencia del contrato, porque hay que contar con la posibilidad de que, por ejemplo, si se contrata una renta vitalicia y el sujeto vive hasta el infinito acturial, habrá que administrar este contrato hasta ese año. Es decir, los gastos internos se calcularán como una renta que durará tanto como duren las prestaciones del seguro. La prima a la que se le ha añadido los gastos internos será mayor que la prima pura, y se le conoce como prima de inventario (nota mnemotécnica: interno e inventario empiezan por “i”). Se simboliza como Π’ para cuando hablemos de primas únicas, y P’ para cuando hablemos de rentas de primas.
Los gastos internos suelen considerarse como un % del capital de la prestación, al año. Si estamos
trabajando con seguros de vida será directo: la cuantía del seguro C por el % de los gastos internos y todo ello por el valor de una renta unitaria de la misma duración que las prestaciones.
Como ejemplo:
Si tenemos una prima única para contratar un seguro continuo de cuantía C, para un individuo de 35 años durante un plazo de 30 años, Expresar la prima pura única y la prima única de inventario si los gastos de gestión interna son del 0,1% sobre la prima pura:
Prima pura única
Prima única de inventario
Un detalle: los gastos de gestión interna se pueden calcular sobre la prima pura o sobre la prima de inventario.
Otro ejemplo:
El individuo del caso anterior, pero ahora contrata una renta vitalicia diferida 20 años, de α al año, y no es prima única, sino una renta de primas durante 5 años, además los gastos de gestión interna son una comisión sobre las primas de inventario:
Prima pura:
Prima de inventario:
El último componente; , es lo que permite que los gastos internos existan durante toda la vida del contrato, desde hoy que es cuando se contrata, hasta el infinito actuarial dado que es una renta vitalicia. Como los gastos externos son una comisión a pagar, serán, por lo general, un pago único con un valor igual a un tanto por ciento sobre la prima única o bien igual a las primas pagadas durante uno o dos años de una renta de primas. Es decir, los gastos externos se calcularán como un pago único. La prima a la que se le ha
añadido además de los gastos internos los gastos externos se le conoce como prima de tarifa. Se simboliza como Π’’ o bien P’’:
Ejemplo:
El individuo de 35 años, que contrata una renta vitalicia diferida 20 años, de α al año, mediante una renta de primas anuales durante 5 años, y donde los gastos de gestión interna son una comisión sobre las primas de inventario. Ahora se le añade como gastos de gestión externa que se le pagará al comercial la primera prima
y la mitad de la segunda y de la tercera si el individuo la paga (es decir, si sobrevive al primer y segundo
año).
Prima de tarifa:
Como ya se puede ir observando, normalmente los gastos de gestión interna se calculan sobre las primas de inventario, mientras que los gastos de gestión externa se calculan sobre las primas de tarifa.
TEMA 3. GRUPOS DE 2 Y MÁS CABEZAS