Section – 6 Procedural Requirements for EFC/PIB
63. Format of PIB Memorandum
En esta secci´on se propone una funci´on de similitud de m-triplets que toma en cuenta las tres rotaciones de las minucias de acuerdo al sentido de las manecillas del reloj para evitar encontrar tr´ıos reflejados como coincidentes. Los m-triplets se comparan componente a componente teniendo en cuenta umbrales de similitud; esta es una estrategia seguida por los trabajos previos sobre tr´ıos de minucias (Jiang y Yau 2000, Kov´acs-Vajna 2000, Parziale y Niel 2004, Jea 2005, Jea y Govindaraju 2005, Reisman et al. 2005, Tan y Bhanu 2006, Feng et al. 2006, Chen, Tian, Yang y Zhang 2006, Xu et al. 2007, Zheng et al. 2009, Hoyle y Hsiao 2011) para tolerar las deformaciones impl´ıcitas en las huellas a nivel local. La funci´on de comparaci´on integra en un valor las similitudes entre los lados del tri´angulo, los ´angulos de las minucias, las direcciones de las minucias relativas a los lados y los ´angulos entre las direcciones de las minucias.
La siguiente ecuaci´on compara dos m-triplets t y r:
ss(t, r) = m´ax sb(t, r), sb t, shift(r), sb t, shift shift(r) (3.4)
Donde shift(r) retorna el m-triplet r rotado de acuerdo al sentido de las manecillas del reloj y se define como sigue:
shift((p1, p2, p3, d1, d2, d3, dmax, dmid, dmin, α1, α2, α3, α4, α5, α6, β1, β2, β3)) = (p3, p1, p2, d3, d1, d2, dmax, dmid, dmin, α5, α6, α1, α2, α3, α4, β3, β1, β2)
(3.5)
Por su parte, la funci´on sb se define con la expresi´on:
sb(t, r) = 0 si sθ(t, r) = 0 ∨ sd(t, r) = 0 ∨ sα(t, r) = 0 ∨ sβ(t, r) = 0 1 − 1 − sd(t, r) 1 − sα(t, r) 1 − sβ(t, r), en caso contrario (3.6)
3.2. Funci´on de similitud de m-triplets 39 La funci´on 3.6 est´a compuesta por las funciones sθ, sd, sα y sβ, que consideran las simili- tudes entre los ´angulos de las minucias, los lados del tri´angulo, las direcciones de las minucias relativas a los lados y los ´angulos entre las direcciones de las minucias respectivamente. De acuerdo con 3.6, dos m-triplets son totalmente distintos si difieren en al menos una funci´on componente. Si todas las funciones componentes retornan un valor superior a cero, la regla del producto devuelve una alta similitud cuando al menos una funci´on componente est´a cerca de 1. N´otese que la funci´on sθ solo es tomada en cuenta para descartar tr´ıos no similares puesto que sθ no toma valores entre 0 y 1 ya que esto significar´ıa que dos huellas tendr´ıan un valor de similitud que variar´ıa con la rotaci´on lo cual es falso.
La funci´on sθ toma ventaja de la limitada rotaci´on presente en los problemas de verifi- caci´on (Medina-P´erez et al. 2009). Se incorpor´o esta informaci´on en la funci´on de similitud de m-triplets para incrementar la discriminaci´on de minucias en este tipo de problemas. De esta manera, dos m-triplets son diferentes si al menos una de las diferencias de los ´angulos de las minucias es superior a π/4 (Medina-P´erez et al. 2011). Esta funci´on toma valor 1 si las direcciones de las minucias comparadas entre los tr´ıos difieren no m´as de π/4 y toma valor 0 si las direcciones de al menos un par de minucias comparadas difieren m´as de π/4. La funci´on sθ se define como sigue:
sθ(t, r) = 0 si ∃i = 1 . . . 3(ad
π(θit, θir) > π/4
1 en caso contrario (3.7)
donde las minucias pt
i = (xti, xti, θti) (i = 1 . . . 3) forman el m-triplet t y las minucias pri = (xr
i, xri, θir) (i = 1 . . . 3) forman el m-triplet r; mientras que la funci´on adπ calcula la diferencia entre las direcciones de las minucias y se define como sigue:
adπ(θit, θ r i) = m´ın|θ t i − θ r i|, 2π − |θ t i − θ r i| (3.8)
La funci´on sdcompara m-triplets a partir de la longitud de los lados del tri´angulo formado por las minucias y se define por:
sd(t, r) =
0 si ∃i = 1 . . . 3(|dt
i − dri| > td) 1 − m´axi=1...3{|dti − dri|}/td en caso contrario
(3.9)
siendo dt
i y dri (i = 1 . . . 3) los valores de las distancias en los m-triplets t y r respectivamente; mientras que td = 15 es el umbral reportado en (Pankanti et al. 2002) para hacer coincidir el 97.5 % de las minucias de acuerdo a la distancia euclidiana en huellas con resoluci´on de 500 ppp. La funci´on 3.9 retorna 0 si al menos la diferencia entre un par de lados es mayor que el
40 3. Algoritmos de comparaci´on de huellas basados en tr´ıos de minucias umbral td. Devuelve 1 si las tres diferencias de lados son 0; esto es, los tri´angulos formados por ambos m-triplets son iguales.
La funci´on sα compara m-triplets basada en los ´angulos formados por las direcciones de las minucias relativas a los lados de los tri´angulos (vea los ´angulos α en la Figura 3.1) y se define:
sα(t, r) =
0 si ∃i = 1 . . . 6(adπ(αti, αri) > ta) 1 − m´axi=1...6{adπ(αti, αri)}/ta en caso contrario
(3.10)
siendo αt
i y αri (i = 1 . . . 6) los valores de las direcciones de las minucias relativas a los lados de los tri´angulos en los m-triplets t y r respectivamente; mientras que ta= π/8 es el umbral reportado en (Pankanti et al. 2002) para hacer coincidir el 97.5 % de las minucias de acuerdo a la diferencia de sus direcciones en huellas con resoluci´on de 500 ppp.
La funci´on sβ compara m-triplets basada en las direcciones relativas entre las minucias (ver los ´angulos β en la Figura 3.1):
sβ(t, r) =
0 si ∃i = 1 . . . 3(adπ(βit, βir) > ta) 1 − m´axi=1...3{adπ(βit, βir)}/ta en caso contrario
(3.11)
siendo βt
i y βir (i = 1 . . . 3) las direcciones relativas entre las minucias en los m-triplets t y r respectivamente.
Las funciones 3.10 y 3.11 retornan 0 si al menos dos de los ´angulos comparados difieren m´as que el umbral ta. Mientras menos difieren los ´angulos, mayor ser´a el valor retornado por las ecuaciones; as´ı retornan 1 si los ´angulos comparados son iguales.
Para evitar comparar todos los componentes de tr´ıos no similares se proponen los siguien- tes teoremas:
3.1. Teorema. Dados dos m-triplets t y r cuyas dimensiones de los lados mayores son
dt
max y drmax respectivamente, si |dtmax− drmax| > td entonces ss(t, r) = 0.
3.2. Teorema. Dados dos m-triplets t y r cuyas dimensiones de los lados medios son dt mid
y dr
mid respectivamente, si |dtmid− drmid| > td entonces ss(t, r) = 0.
3.3. Teorema. Dados dos m-triplets t y r cuyas dimensiones de los lados menores son
dt
3.2. Funci´on de similitud de m-triplets 41 Las pruebas de estos teoremas aparecen en las siguientes secciones. Obviamos la prueba del Teorema 3.3 porque es muy similar a la del Teorema 3.1.
Basada en estos teoremas se modifica la funci´on 3.4 para detectar si t y r no son simi- lares sin evaluar sb(t, r), sb t, shift(r) y sb
t, shift shift(r)
; reduciendo as´ı el tiempo de c´alculo de la similitud. Finalmente, la funci´on de comparaci´on de m-triplets se define como sigue: st(t, r) = 0 si |dt
max− drmax| > td ∨ |dtmid− dmidr | > td ∨ |dtmin− drmin| > td m´ax sb(t, r), sb t,shift(r), sb t,shift shift(r) , en caso contrario (3.12)
Prueba del Teorema 3.1
De la definici´on de m-triplets se infiere que: dr max ≥ d r mid, (3.13) dr max≥ d r min, (3.14) dr mid ≥ d r min. (3.15)
As´umase sin p´erdida de generalidad que dt
max > drmax; entonces de la hip´otesis del teorema 3.1 se infiere que: dt max− drmax > td, (3.16) que es equivalente a: dt max− td> drmax. (3.17)
A partir de 3.17 y 3.13 se infiere que dt
max− td> drmid; lo cual equivale a: dt
max− drmid > td. (3.18)
A partir de 3.17 y 3.14 se infiere que dt
max− td> drmin; lo cual equivale a: dt
max− d r
min > td. (3.19)
Las expresiones 3.16, 3.18 y 3.19 muestran que dt
42 3. Algoritmos de comparaci´on de huellas basados en tr´ıos de minucias respecto a dr
max, drmid y drmin respectivamente. Por tanto, sd(t, r) retorna 0 por cada rotaci´on de r de acuerdo al sentido de las manecillas del reloj y consecuentemente ss(t, r) tambi´en retorna 0.
Prueba del Teorema 3.2
De la definici´on de m-triplets se infiere que: dtmax ≥ d
t
mid. (3.20)
As´umase sin p´erdida de generalidad que dt
mid > drmid; entonces de la hip´otesis del teorema 3.2 se infiere que: dt mid− drmid > td, (3.21) que es equivalente a: dt mid− td> drmid. (3.22)
A partir de 3.22 y 3.15 se infiere que dt
mid− td> drmin; lo cual equivale a: dtmid− d
r
min > td. (3.23)
A partir de 3.20 y 3.21 se infiere que dt
max− d r
mid > td. (3.24)
A partir de 3.20 y 3.23 se infiere que dt
max− drmin > td. (3.25)
Las expresiones 3.21, 3.23, 3.24 y 3.25 muestran que dt
midy dtmax difiere m´as que el umbral td con respecto a drmid y drmin. Por tanto, sd(t, r) retorna 0 por cada rotaci´on de r de acuerdo al sentido de las manecillas del reloj y consecuentemente ss(t, r) tambi´en retorna 0.